2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练 文

2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练 文
一、选择题
1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0
D ．1或0
解析：由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋2，y 2
＝8x
得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，
则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.
答案：D
2．已知椭圆C 的方程是x 2
16＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝2
2
x 与椭圆的一个交点M 在x
轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )
A ．2
B ．2 2
C ．8
D ．2 3 解析：根据已知条件c ＝16－m 2
，
则点16－m 2
，2216－m 2
在椭圆x 2
16＋y 2
m
2＝1(m >0)上，
所以16－m 216＋16－m
2
2m 2＝1.
从而解得m ＝2 2. 答案：B
3．(xx·合肥第二次模拟)过椭圆C ：x 2
5＋y 2
＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B
两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →
，则λ1＋λ2＝( )
A ．10
B ．5
C ．－5
D ．－10
解析：特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0).MA →
＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →
＝(2＋5，0)．
∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D
4．P 是双曲线x 29－y 2
16＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y
2
＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，易知(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2×3＋3＝9，故选D.
答案：D
5．过抛物线y 2
＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．只有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．
答案：D
6．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支
分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A ．2 B.7 C.13 D.15 解析：
画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.
∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2
－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a ＝7，故选B.
答案：B 二、填空题
7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点1，12作圆x 2＋y 2
＝1的切线，切点分别为A ，
B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．
解析：因为一条切线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1， 设点P 1，1
2
，
连接OP (图略)，则OP ⊥AB ， 因为k OP ＝1
2，所以k AB ＝－2.
又因为直线AB 过点(1,0)， 所以直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0. 因为点(0，b )在直线AB 上， 所以b ＝2.
又因为c ＝1，所以a 2
＝5， 故椭圆方程是x 25＋y 2
4＝1.
答案：x 25＋y 2
4
＝1
8．已知点F1，F2分别是双曲线x2 a2－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为________．
解析：据题意由双曲线的对称性可得若△ABF2为锐角三角形，只需∠BF2F1<45°即可，故在Rt△BF2F1中，tan∠BF2F1＝
b2
a
2c
＝
b2
2ac
<tan45°＝1，整理可得c2－a2<2ac，两侧同除以a2，e2－1<2e，解不等式结合e>1，可得离心率的取值范围是(1,1＋2)．答案：(1,1＋2)
9．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为__________．
解析：设P(x P，y P)(y P>0，由抛物线定义知，x P＋2＝42，
∴x P＝32，y P＝42×32＝26，
因此S△POF＝
1
2
×26×2＝2 3.
答案：2 3
三、解答题
10．(xx·绵阳市第三次诊断)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若OA
→
＝λFB
→
(λ∈R)，求k的值．
解：如图，直线y＝k(x＋1)过点F′(－1,0)，F(1,0)，所以O为F′F的中点．
由OA
→
＝λFB
→
知OA∥FB，所以A为F′B的中点，
设B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
24，y 2， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－48
，y 22，代入y 2
＝4x ，得y 2＝22，B (2,22)，∴k ＝222－－1＝223. 11．(xx·东城区检测)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点P 3，1
2，
离心率是
32
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线l 过点E (－1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|EA |＝2|EB |，求直线l 的方程．
解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝3
2
，3a 2＋1
4b 2＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得a 2＝4，b 2
＝1.
故椭圆C 的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点E (－1,0)的直线l 的方程为x ＝－1，此时令A －1，
32，B －1，－32
， 显然|EA |＝2|EB |不成立．
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2＝1，
y ＝k x ＋1，
整理得(4k 2
＋1)x 2
＋8k 2x ＋4k 2
－4＝0.
由Δ＝(8k 2)2
－4(4k 2
＋1)(4k 2
－4)＝48k 2
＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 故x 1＋x 2＝－8k 2
4k 2＋1，①
x 1x 2＝4k 2
－4
4k 2＋1
.②
因为|EA |＝2|EB |，即x 1＋2x 2＝－3.③
①②③联立解得k ＝±
156
. 所以直线l 的方程为15x ＋6y ＋15＝0和15x －6y ＋15＝0. 12．(xx·焦作一模)已知椭圆的离心率e ＝2
2
，左、右焦点分别为F 1、F 2，定点P (2，3)，点F 2在线段PF 1的中垂线上． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M ，F 2N 的倾斜角满足α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．
解：(1)由椭圆C 的离心率e ＝
22，得c a ＝22
，其中c ＝a 2－b 2
， 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 又点F 2在线段PF 1的中垂线上，
∴|F 1F 2|＝|PF 2|，∴(2c )2
＝(3)2
＋(2－c )2
. 解得c ＝1，a 2
＝2，b 2
＝1， ∴椭圆的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2
＋y 2＝1，
y ＝kx ＋m
消去y ，
得(2k 2
＋1)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－2＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2
－22k 2＋1，且kF 2M ＝kx 1＋m
x 1－1，kF 2N
＝
kx 2＋m
x 2－1
. 由已知α＋β＝π，得kF 2M ＋kF 2N ＝0， 即
kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m
x 2－1
＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， ∴2k ·2m 2
－22k 2＋1－4km m －k 2k 2
＋1
－2m ＝0，整理得m ＝－2k .
∴直线MN 的方程为y ＝k (x －2)，
因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)．23308 5B0C 嬌38404 9604 阄T30367 769F 皟28135 6DE7 淧B34917 8865 补28581
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