普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷，解析
版）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
【答案】A 【解析】
..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=
2.对任意等比数列
{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）
139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列
【答案】D 【解析】
.∴D 选要求角码成等差
3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）
.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+
【答案】A 【解析】
.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+=
4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=
9
.2A -
.0B C.3 D. 152
【答案】C 【解析】
.
∴3),42(3)32(2,32,0)3-2(∴⊥)3-2(C k k bc ac c b a c b a 选解得即即=+=+==
5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框
内可填入的条件是。

A ．12s >
B.1224abc ≤≤ 35s >
C. 710s >
D.4
5
s >
【答案】C
【解析】
.∴10
7
87981091C S 选=•••
=
6.已知命题
:p 对任意x R ∈，总有20x
>；
:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）
.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝
【答案】D 【解析】
.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.54
B.60
C.66
D.72 【答案】B 【解析】
B
S S S S S S 选，，，何体表的面积
的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2
27
3392318152156344*3=++=+=•++===
8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
,49
||||,3||||2
121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）
A.34
B.35
C.49
D.3
【答案】B 【解析】
.
,3
5
,5,4,3,34∴,2-,4
9
,3,,,2
2221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==
9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.72
B.120
C.144
D.3
【答案】B
【解析】解析完成时间2014-6-12qq373780592
.
.120)A A A A A (A ∴A A A 2(2).A A (1),A 22
221212233322221
21
22333B 选共有个：歌舞中间有法：歌舞中间有一个，插空再排其它：
先排歌舞有=+
10.已知ABC ∆的内角
21
)sin()sin(2sin ,+
--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足
C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）
A.8)(>+c b bc
B.)(c a ac +
C.126≤≤abc
D. 1224abc ≤≤
【答案】A
【解析】2014-6-12qq373780592
.
..8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]
8,4[∈∴]2,1[∈4
nC sinAsinBsi 2sin 21.
1inC 8sinAsinBs ∴2
1
inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(A
in 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴2
1
-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222
Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+=====
=+=+=+=+=++=+++
=+=+=++
二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11.设全集
=⋂==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______.
【答案】}9,7{ 【解析】
}.9,7{}.9,7{},10,9,7,6,4{所以是=∩∴=B A C A C U U
12.函数
)
2(log log )(2x x x f ⋅=的最小值为_________.
【答案】41-
【解析】
.41
-41-)21-1()21-()log 1(log 2
log 2log log 21)(22222所以是∴=•≥+•=•=x x x x x f
13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2
=-+-a y x 相交于B A ，
两点，且
ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________. 【答案】154± 【解析】
.
154.∴154,018-,31
)1-(21|2-|.
302-),1(∴2),,1(Δ2
22±±==+=+=++===+=所以是解得又的距离到直线圆心半径为正三角形，圆心a a a a a a a a d d y ax a r a ABC
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，
若6=PA ，AC=8，BC=9，则AB=________. 【答案】4
【解析】
.4AB ∴4AB 3,PB ,8
B
6B 9PB 6∴CA B PA B PC A ΔPCA AB Δ=====+==所以相似，与A P A P P P
15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴
线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________. 【答案】5 【解析】
.
5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x
16. 若不等式2
21
2122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是
____________.
【答案】
]
21
1-[， 【解析】
]
2
1
1-[∈1-2≥0221
≥25221≥)(∴2
5
)21f(|2||21-||21-|)(222，解得，，即恒成立，即有最小值由数轴可知，a a a a a a a x f x x x x f +++++=
+++=
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）
已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=
x 对称，且图像上相
邻两个最高点的距离为π.
（I ）求ω和ϕ的值；
（II ）若⎪
⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭
⎫
⎝⎛326432παπαf ，求⎪
⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.
【答案】（I ） 6π
-φ2ω==， （II ）8153+
【解析】 （I ）
6π
-φ2ω,.6π-φ)6π-2sin(3)12π-(2sin 3f(x)∴2
π
φ≤2π-0)12π()4-3π(∴3π2ω⇒|ω|π2∴π=====<=====
=，所以，，且为对称轴由题可知，周期x x f T f x T T
（II ）
8
15
3)23παcos(,.8153214152341)23παcos(∴.4
15)6π-αcos(2π6π-α0∴32πα6π2
1
)6π-αcos(23)6π-αsin(]6π)6π-αsin[(αsin )23παcos(4
1)6π-αsin(43)6π-αsin(3∴43)2α(+=
++=•+•=+=<<<<•
+•=+==+=
==所以，，即 f
18.（本小题满分13分）
一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.
【答案】（I ）
845
（II ）8153+
【解析】 （I ）
84
5
3,.84
5
578923)(∴533
2789393
933343
3343
9是
个完全不同卡片的概率取所以的概率所求事件，个完全相同共有种，共有中取=••••=+==+•••=
C C C A p A C C C （II ）
28
47
8414138472844318434,12
1
847)2()3)(3)(2,1(38443
)2()3,2)(2)(2,1(242
17
8434)1()3,2,1)(1)(1(13
,2,1392
2173
912233312131423143
9152434==•+•+•=
======+++=====+===EX C C C X p X C C C C C C C C C X p X C C C C X p X X 所以，
，时，如当，，时，如当，，时，如当可以取中位数 X 的分布列如下：
x 1 2 3
p
4217 8443 121
19.（本小题满分12分）
如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，
3,2π
=
∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且
AP MP BM ⊥=
,21
.
（1）求PO 的长；
（2）求二面角C PM A --的正弦值。

【答案】（I ）
23
（II ）510
【解析】 （I ）
2
3433421.
4
3,3421
π32cos 2122-414Δ.BC ⊥OM CD Δ,Δ,⊥2222222222222222=+++=+=+=+=+=+==
•••+=+=PO PO PO PO OM PO OM PO PM PO AO PO PA AM ABM PM PA AM B ABD ABCD PO ，解得即中，在都为正三角形，且面由题知，
（II ）解析完成时间2014-6-12-qq-373780592
5
10--510
52|,sin |53-83
408-|
|||,cos )2-,3-,1(0),,,()
2,35
,1(0),,,().
2
3
03(),23-4343-()23,03-().0,03-(),
04
3
43-(),2300(),0,03(,,,,2121212122222221111111的正弦值为
二面角，解得一个则法向量设面，解得一个则法向量设面，，，，，，，，，，，，建立坐标系，则为据题分别以C PM A n n n n n n n PM n CP n z y x n PMC n PM n AP n z y x n APM CP PM AP C M P A z y x OP OB OA ∴==><∴=<∴===========
20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）
已知函数
22()(,,)x x
f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.
（1）确定,a b 的值； （2）若3c =，判断()f x 的单调性；
（3）若
()f x 有极值，求c 的取值范围.
【答案】（1）
a=b=1 （2）在R 上单调递增
（3）)4(+∞，
【解析】 （1）
1
,-4-22∴-4)0(b.a ∴)-()()(-22)(∴--)(2-22-2===+=′=′=′′+=′=b a c c b a c f x f x f x f c be ae x f cx be ae x f x x x x 解得为偶函数，且
（2）解析完成时间2014-6-12-qq-373780592
上单调递增
在，则时，）知，当由（R x f e e e e x f c x x x x )(013-222≥3-22)(312-22-2>=•+=′=
（3）解析完成时间2014-6-12-qq-373780592
有极值
时，，所以，当存在极值即有正又有负，时，当无极值恒成立，时，当(x))4(c .(x)∴)(4c .f(x)0≥)(4≤c ∴.-4-222≥-22)(2-22-2f f x f x f c c e e c e e x f x x x x +∞∈′>′=•+=′
21.
如题（21）图，设椭圆
22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12
,F F ，点
D 在椭圆上，
112DF F F ⊥，121||22
||F F DF =，
12DF F ∆的面积为22.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
【答案】（I ） 1
y 2x 22
=+ （II ）234
【解析】 （I ）
1y 2
x
,,1b ,2a ,1c ∴.
b c a ,2222b 222b 22
22222222121211Δ21=+===+===•==•=•=椭圆方程为
所以且，c a
c DF F F c a OF DF S F DF
（II ）解析完成时间2014-6-12-qq-373780592
2
3
4
,.
)3
5
,0(,23414),1-2
r
,2r (
),1-2,0(,).0,1(),0,1-(.11-1-1,2221半径为圆所以，存在符合条件的点在第一象限，圆心坐标，解得代入椭圆方程中第一象限切点则圆心坐标设半径为符合题意，如图所示和切线的斜率分别为不符合题意；左右两条和别为左右两条切线的斜率分知，根据题意和对称性可假设存在符合条件的圆P r y x P r r F F ==+
22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
设
111,(*)
n a a b n N +==+∈
（1）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
（2）若1b =-，问：是否存在实数c 使得2n a <看不清
【答案】（I ）
1
2,2.∈11-32+==+=+a a N n n a n ， （II ）
41=
c 存在
【解析】 （I ）
1
2,2.∈11-∴,11-)1-()1-(1})1-{(∴1
)1-()1-(∴1122-132122122212
1+==+===+=>++==+++a a N n n a a n a a a a a a a a b n n n n n n n
n ，，的等差数列，即，首项为是公差为时，当 （II ）解析完成时间2014-6-12-qq-373780592
+
++
++++++++++++++++
++<<=<<<<+=<<>
<
<<=<<>=<==<<><<>+====+==N n a a c N n a a a a k n a a a a a a a a a a k n a a a a n a a a a a a a N n a a a a a a a a a a a b n n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n k k k k k n n
n ∈,4
1
,41∈,41
)3(4
1
1,41∴41
],1-241∈∴)410[∈41
),410[∈∴]1-2,41(∈4
1
)2(41
∴411-2,4101)1(.
.4
1
2
3-141;41∈],1-2,0[∈∴]1-2,0[∈1-22-],1-2,0[∈1
-2,0,1.1-22-1-1221221
22322232322222221212212232122112
13212
1使得所以，存在综上，时，即成立即，（，即，成立，则
时，假设成立
时，当用数学归纳法证明猜测，则令，则令则假设时，当。