2017版高考数学(文 全国乙卷)大二轮总复习与增分策略三轮增分练 高考压轴大题突破练(二) 含解析

（二）直线与圆锥曲线（2)
1．(2015·课标全国Ⅰ）已知过点A(0，1）且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．
(1）求k的取值范围;
(2)若错误!·错误!＝12，其中O为坐标原点，求｜MN|.
解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点,所以错误!〈1，
解得错误!<k<错误!。

所以k的取值范围为错误!。

(2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程（x－2)2＋（y－3）2＝1，整理得
（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0.
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
x2＋y1y2
错误!·错误!＝x1
＝（1＋k2)x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝错误!＋8.
由题设可得错误!＋8＝12，
解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1。

故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
2．（2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的离心率为错误!，点（2，错误!)在C上．
(1)求C的方程;
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M，证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
（1)解由题意得错误!＝错误!，错误!＋错误!＝1，
解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x2
8
＋错误!＝1.
(2)证明设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0），A（x1，y1），
B(x2，y2），M（x M，y M)．将y＝kx＋b代入错误!＋错误!＝1,
得(2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－8＝0。

故x M＝错误!＝错误!，y M＝k·x M＋b＝错误!。

于是直线OM的斜率k OM＝错误!＝－错误!,
即k OM·k＝－错误!。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．3．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0）交y轴于点M，交抛物线C:y2＝2px（p>0）于点P,M关于点P的对称
点为N,连接ON并延长交C于点H.
（1)求错误!；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1）如图，由已知得M（0，t)，P错误!，
又N为M关于点P的对称点，故N错误!，ON的方程为y＝错误!x,代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝错误!，因此H错误!.
所以N为OH的中点，即错误!＝2。

（2)直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下:
直线MH的方程为y－t＝错误!x，即x＝错误!（y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．4．（2016·浙江)如图，设椭圆错误!＋y2＝1（a＞1）．
（1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示);
（2)若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解（1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由错误!得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－错误!，
因此｜AM｜＝错误!|x1－x2|＝错误!·错误!.
（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足｜AP|＝|AQ|。

记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2，且k1，k2＞0,k1≠k2.
由(1)知｜AP|＝错误!,|AQ｜＝错误!，
故错误!＝错误!，
所以（k2，1－k错误!）[1＋k错误!＋k错误!＋a2(2－a2）k错误!k错误!］＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k错误!＋k错误!＋a2(2－a2）k错误!k错误!＝0，因此错误!错误!＝1＋a2(a2－2)，①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是
1＋a2（a2－2）＞1，所以a＞错误!.
因此任意以点A（0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤错误!，
由e＝错误!＝错误!，得0〈e≤错误!。

所以离心率的取值范围为(0,错误!]．。