山东省华侨中学届高三数学上学期开学考试试题理【含答案】

山东省华侨中学2015-2016学年新高三开学检测
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，每题4分，共80分）
1、复数123,1z i z i =-+=-，则复数12z z z =⋅在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2、求曲线2()x f x e =在点(0,1)处的切线方程为（ ） A ．1
12
y x =
+ B ．21y x =-+ C ．21y x =+ D ．21y x =- 3、“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（ ）. A ．演绎推理 B ．类比推理 C.合情推理 D ．归纳推理
4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ． 假设三内角至多有两个大于60度
5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）
A ．319823C C 种
B ． )
C -(C 41975200种 C ．219733319723C C C C +种
D ．)C C C (4197135200-种
6．下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误．．的是（ ） ① 复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；
② 由向量a 的性质22a a = 可以类比复数的性质22
z z =；
③ 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义。

A ．② B ．①② C ．①③ D ．③
7、先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为,x y ,则满足2log y x 的概率是（ ） A ．
61 B ． 36
5 C ． 121 D ． 21 8. 在二项展开式1021001210(1)x a a x a x a x +=++++ 中，13579a a a a a ++++=（ ） A ．1024 B ．512 C ． 25
6 D ．128
9．已知随机变量ξ服从正态分布2(1)N σ，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，
内取值
的概率为（ ）
A ． 0.8
B ． 0.6
C ． 0.5
D ． 0.4
10．已知'''121321()cos ,()(),()(),...,()(),n n f x x f x f x f x f x f x f x -====则2015()f x 为 （ ） A ．sin x
B ．sin x -
C ．cos x
D ．cos x -
11、函数()3
2
3922y x x x x =---<<有（ ）
A ．极大值5，无极小值
B ．极小值－27，无极大值
C ．极大值5，极小值－27
D ．极大值5，极小值－11
12、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从
n k =到1n k =+时，左边应增添的式子是（ ）
A ．21k +
B ．)12(2+k
C ．
112++k k D ．1
2
2++k k
13.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点， 则点B 恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
1
4
B ．1/2
C ．1/3
D ．1/5 14. 设离散型随机变量X 的概率分布如下：则随机变量X 的数学期望为（ ）
A ．
23 B ． 43 C ． 53 D ． 76
15、设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ） A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 16、已知()3sin f x x x π=-，对任意的(0,
)2
x π
∈，给出以下四个结论：
①()0f x '>； ②()0f x '<； ③()0f x >； ④()0f x <，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
17．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须在A 的右边，A 、B 可以不相邻，那么不同的排法共有（ ）
A ．24
B ． 60
C ．90
D ．120
18、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A ． ]3,3[-
B ． )3,3(-
C ． ),3()3,(+∞--∞
D ．),3[]3,(+∞--∞ 19、现有5种不同颜色的染料,要对如图中的四个不同区域进行着色,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色,则不同的着色方法的种数是（ ） A ．120 B ．140 C ．240 D ．260
20、设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得
0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）
A ． 3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ． 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷（非选择题，共70分，填空每题4分）
21、已知函数ln ()x
f x x
=
，则函数()f x 的单调递增区间为 22、设()dx x a ⎰-=2
012，则二项式4
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x a x 的展开式中的常数项为 .
23、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
24、四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_ _种(用数字作答)．
25、已知函数3
2
()21f x x x ax =+-+在区间(1,1)-上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

26、（本小题满分12分）
D
C
B A
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ； （Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率； 27、（本小题满分12分）
已知函数()32f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在点0x =处的切线为:450l x y +-=，若2x =-时，()y f x =有极值。

（Ⅰ）求,,a b c 的值； （Ⅱ）求()y f x =在[]3,1-上的最大值和最小值。

28．（本小题满分12分）
某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望. 29．（本小题满分14分）
已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）设函数1()()a
h x f x x
+=+
，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若1()a
g x x
+=-
，在[1,]( 2.71828)e e =⋯上存在一点0x ，使得00()()f x g x ≤成立，
求a 的取值范围．
数学答案
一、选择题：BCABC ACBAD ABCCD DBADD
二、填空题： 21、 (0,)e (或(]0,e ) 22、 24 23、 1560 24、42 25、
[)1,7-
三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

26、解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得()()()161112
2
=
-=-p B P 解得43=p 或4
5（舍去），所以乙投球的命中率为43
．
解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．
由题意得1()()16P B P B =
，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3
1()4
p P B =-=．
所以乙投球的命中率为3
4
．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()2
1
,21==A P A P ．
故甲投球2次至少命中1次的概率为(
)
4
3
1=⋅-A A P
解法二：由题设和（Ⅰ）知()()
2
1
,21==A P A P
故甲投球2次至少命中1次的概率为()()
()()4
31
2=+A P A P A P A P C
27. 解：（1）由32()f x x ax bx c =+++得，'2()32f x x ax b =++
当0x =时，切线l 的斜率为4-，可得4b =- ① ……………2分 当2x =-时，()y f x =有极值，得()'20f -= ……………3分 可得1240a b -+= ②
由①②解得2,4a b ==- ……………4分 由于切点的横坐标为()0,05x f =∴=
52,4,5c a b c ∴=∴==-= ……………6分
（2）由（1）可得3
2
()245f x x x x =+-+2
'()344f x x x ∴=+- ……7分 令'()0f x =，得2x =-或2
3
x =
……………8分 当x 变化时，,'y y 的取值及变化如下表：
x
3-
()
3,2--
2-
22,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭
2
3
2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
1
'y
+
0 -
+
y
8
13
9527
4
()y f x ∴=在[]3,1-上的最大值为13，最小值为
95
27
12分 28、解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为3
20C ，选出3人中任意两个均不属于同一
学院的方法数为111111111111464466446646
C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分 所以111111111111
4644664466463
208
19
C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,3
321
1616433202057162881548
(0),(1),32019573201919
C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯
123164433
2020166841
(2),(3)320199532019285
C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分 所以ξ的分布列为
所以2888157
()012357199528595
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=
……………………………………12分 29．解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分
x
x f 21)('-
=∴，121)1('
-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=． ……4分
（Ⅱ）1()ln a
h x x a x x
+=-+
，定义域为),0(+∞， 2
222'
)]
1()[1()1(11)(x a x x x a ax x x a x a x h +-+=
+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('
>x h ，a x x +>∴>1,0
令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('
>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln a
h x x a x x
+=-+
在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，
01)()]([min
≤-++==∴a e
a
e e h x h ，112-+≥
∴e e a ， 1112->-+e e e ，1
1
2-+≥
∴e e a ； ……10分 ②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，
011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分
③当e a <+<11，即10-<<e a 时，
0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h
1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h
此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分
综上可得所求a 的范围是：1
12-+≥e e a 或2-≤a ．………………14分。