【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案)

知识点一指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质
一般地，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示：
R
注意(1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用到分类讨论思想.
(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0<a<1时，a值越小，图象向上越靠近y轴，递减速度越快.
(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
知识点二对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质
定义域是(0，＋∞)
知识点三对数函数与指数函数的关系
对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称.(如图)
知识点四幂函数y＝xα的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；
(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.
题型一 有关指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.
例1 (1)
化简：
4133
2
23
3
84-+a a b b a
÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2
3b a ×3
ab ； (2)计算：2log 32－log 3
329
＋log 38－5log 3
25. 解 (1)原式＝
11113
3
33
1111112
2
33
3
33
3
(8)(2)2()
2-⨯
⨯++-a a b a
a b b a b a a b
＝
11
11
3
3
33(8)8-⨯⨯=-a a b a a b a b
(2)原式＝log 34－log 3329
＋log 38－52log 3
5
＝log 3(4×932×8)－52log 3
5＝log 39－9＝2－9＝－7.
跟踪训练1 (1681)3
4-＋log 354＋log 34
5＝________.
答案
278
解析 (1681)3
4-＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 31＝278＋0＝27
8
.
题型二 函数的图象
函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、
图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.
例2 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )
答案 A
解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象.
跟踪训练2 函数y ＝xa x
|x |
(0<a <1)的图象的大致形状是( )
答案 D
解析 当x >0时，y ＝xa x |x |＝a x .又0<a <1，可排除A 、C ；当x <0时，y ＝xa x
|x |＝－a x .又0<a <1，
可排除B. 题型三 比较大小
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：
(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；
(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决. 例3 设a ＝log 2
13，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝23
1
，则( )
A.a ＜b ＜c
B.c ＜b ＜a
C.c ＜a ＜b
D.b ＜a ＜c
答案 A
解析 a ＝log 2
13＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭
⎫130.2＜1，c ＝23
1
＞1，故有a ＜b ＜c . 跟踪训练3 设a ＝log 2π，b ＝log 2
1π，c ＝π－
2，则( )
A.a >b >c
B.b >a >c
C.a >c >b
D.c >b >a 答案 C
解析 因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 2
1π<0.因为π>1，所以0<π－
2<1，即0<c <1.所
以a >c >b .
题型四 换元法的应用
换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题.本章中，常设u ＝log a x 或u ＝a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u 的取值范围. 例4 求函数y ＝f (x )＝－(12)2x －4(1
2)x ＋5的值域.
解 函数的定义域是R .
设u ＝(1
2)x ，由于x ∈R ，则u ∈(0，＋∞).
则有y ＝－u 2－4u ＋5＝－(u ＋2)2＋9. ∵u ∈(0，＋∞)，∴y ∈(－∞，5)， 故函数y ＝f (x )的值域是(－∞，5).
跟踪训练4 已知实数x 满足－3≤log 2
1x ≤－12，求函数y ＝(log 2x 2)·(log 2x
4
)的值域.
解 y ＝(log 2x 2)·(log 2x
4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)
＝(log 2x )2－3log 2x ＋2.
∵－3≤log 2
1x ≤－12，∴1
2
≤log 2x ≤3.
令t ＝log 2x ，则t ∈[1
2，3]，
y ＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－1
4
，
∴t ＝32时，y min ＝－1
4；t ＝3时，y max ＝2.
故函数的值域为[－1
4
，2].
分类讨论思想
应用指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论.
例5 函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值. 解 y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2.
令a x ＝t ，则y ＝(t ＋1)2－2，对称轴方程为t ＝－1. ①当a >1时，因为－1≤x ≤1，所以1
a ≤a x ≤a ，
即1
a ≤t ≤a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的， 所以当t ＝a 时有最大值，所以(a ＋1)2－2＝14， 所以a ＝3.
②当0<a <1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x ≤1
a ，
即a ≤t ≤1
a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，
所以当t ＝1a 时有最大值，所以(1
a ＋1)2－2＝14，
所以a ＝1
3
.
所以a 的值为3或1
3
.
跟踪训练5 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫
12＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集.
解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.
①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－1
2，
得x ＞a 或0＜x ＜
a a
. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－1
2
，
得0＜x ＜a 或x ＞
a a
. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝
⎛⎭
⎫
0，
a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭
⎫a a ，＋∞.。