最值问题——胡不归

• ∵a,b是定 值 ,所 求 问 题 即 转 化为 求 b AD BD 的最值.
a

• 在图中构造出长度 b AD 的替换线段：在直线AC下方作一条射线AM,使得sin∠MAC=
a
DE⊥AM,则 DE =sin∠MAC= b
AD
a
b ,过点D作
a
• ∴DE= b AD，因为垂线段最短,即过点B做AM的垂线,与AC交点D1即为折往点
• 如图,A是出发点,B是目的地,直线AC是一条驿道,而驿道靠目的地一侧全是砂石,为了选择合适的路线,根据不 同路面速度不同(驿道速度为a米/秒,砂士速度为b米/秒),小伙子需要在AC上选取一点D,再折往至B
• 他需要的时间是: t= AD BD
ab
• 式子变形得 : 1 b AD BD
ba
“化折为直”, 将三条线段和转化为PA+kPB型最值问题
步骤: ① 求角：sinα=m（注意有无特殊角） ② 找定点 ③ 画角：过定点作一个角,使其等于α (在另一固定点异侧同向） ④ 过动点做垂直，边长转化 ⑤ 垂线段最短
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19湖南长沙
最值问题求解
胡不归
胡不归模型的由来
从前有一个身在他乡的小伙子,得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.小伙子 考虑到“两点之间线段最短”的数学知识,就选择走布满沙石的直线路径。当赶 到家时,老人刚咽了气.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡 不归?”
这个故事引起了人们的思索：小伙子能否提前到 家？由于在驿道行走比在砂砾地行走的速度快， 有没有可能先在驿道上走一段再走砂砾地，虽然 走的多了，反而用时更短呢？如果有，如何找到 这个点呢？
a
模型特征和使用步骤
• 胡不归：动点是在直线上运动 两 条 线 段 和 （ PA + m P B ， 0 ＜ m ＜ 1 ） ： 锐 角 三 角 函 数 构 造 直 角 三 角 形 , 利 用 垂 线 段 最 短 的 性 质 求 解 三条线段和： ① 一条线段是定值 ；② 其中两条线段的和用将军饮马型最值问题的辅助线作法