2002年山东省初中数学竞赛

DC
2002年山东省初中数学竞赛
(2002 - 12 - 01)
一、选择题(每小题 6 分 ,共 48 分)
1. 磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通
工具. 它有速度快、爬坡能力强、能耗低等优点. 它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的 (C ) 4 3
(D ) 3 3
6. 如图 3 ,在梯形 ABCD 中 , AD ∥BC , AD = 3 , BC = 9 , AB = 6 , CD = 4. 若 EF ∥BC ,且梯形 A EFD 与梯
形 EBCF 的周长相等 ,则 EF 的长为(
) .
三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70 %. 那么 , 汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的 ( ) .
(A)
45
7
(B)
33 5
(C)
39 5
(D)
15 2
(A) 3
7
(B) 7
3
(C)
10 21
(D)
21
10 2. 已知 a 、b 、c 、d 都是正实数 ,且 a < c
. 给出
下列 4 个不等式 :
b d
图 3 图 4
7. 如图 4 ,在 Rt △ABC 中 , ∠ACB = 90°, AC = b ,
① a > c
; ② a < c ;
AB = c . 若 D 、E 分别是 AB 和 AB 延长线上的两点 , a + b b c + d d a + b b c + d d BD = BC , CE ⊥CD ,则以 AD 和 A E 的长为根的一元
③
a +
b >
c + d
;
④
a +
b <
c + d
其中正确的是( ) .
(A ) ①③ (B ) ①④ (C ) ②④ (D ) ②③ 3. 如 图 1 , 在 等 腰 Rt △ABC 中 , ∠C = 90°, ∠CBD = 30°. 则
AD
的值是( ) . 二次方程是( ) .
(A ) x 2 - 2 cx + b 2 = 0 (B ) x 2 - cx + b 2 = 0 (C ) x 2 - 2 cx + b = 0 (D ) x 2 - cx + b = 0
8. 已知实数 a 、b 、c 满足 a < b < c , ab + bc + ca = 0 , abc = 1. 则(
) .
(A ) | a + b | > | c | (B ) | a + b | < | c | (A)
3 3
(B)
2
2
图 1
(C ) | a + b | = | c |
(D ) | a + b | 与| c | 的大小关系不能确定
(C ) 2 - 1 (D ) 3 - 1
4. 世界杯足球赛小组赛 ,每个小组 4 个队进行
单循环比赛 ,每场比赛胜队得 3 分 ,败队得 0 分 ,平局时两队各得 1 分. 小组赛完以后 ,总积分最高的 2 个队出线进入下轮比赛. 如果总积分相同 ,还要按净胜球数排序. 一个队要保证出线 ,这个队至少要积
( ) 分 .
二、填空题(每小题 8 分 ,共 32 分)
9. M 是个位数字不为零的两位数 ,将 M 的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数 N . 若 M -
N 恰是某正整数的立方 , 则这样的 M 共有
个.
10. 设 x 1 、 x 2 是 方 程 x 2 - 2 ( k + 1) x + k 2 + 2 = 0
的两个实数根 ,且( x 1 + 1) ( x 2 + 1) = 8. 则 k 的值是
(A ) 5
(B ) 6
(C ) 7
(D ) 8
.
5. 如图 2 , 四边形 ABCD 中 ,
∠A = 60°, ∠B = ∠D = 90°, AD =
8 , AB = 7. 则 BC + CD 等 于( ) .
(A ) 6 3
(B ) 5 3
图 2
11. 已知实数 x 、y 、z 满足 x + y = 5 及 z 2 = xy + y - 9. 则 x + 2 y + 3 z =
.
12. 如图 5 , P 是矩形 ABCD 内
一点 ,若 PA = 3 , PB = 4 , PC = 5 ,则
PD =
.
图 5
3 CPQ 2 ABC 2 BMN 2
38
三、解答题(每小题20 分,共60分)CD = EB = AB - A E = 414 (m) .
中等数学
13.如图6 ,甲楼楼高16 m ,乙楼坐落在甲楼的正北面. 已知当地冬至中午12 时太阳光线与水平面的夹角为30°. 此时,求:
(1)如果两楼相距20 m ,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少?
图6 图7
14.如图7 , △ABC 是等腰直角三角形, ∠C = 90°, O 是△ABC 内一点,点O 到△ABC 各边的距离都等于1. 将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°得△A1B1C1,两三角形公共部分为多边形KLMN PQ.
(1)证明: △A K L、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形;
(2)求△ABC 与△A1B 1C1公共部分的面积.
15.某乡镇小学的师生到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7 时到达学校,接参观的师生立即出发去县城. 由于汽车在赴校的途中发生了故障,不得不停车修理. 学校师生等到7 时10 分,仍未见汽车来接,就步行走向县城. 在行进途中遇到了已经修理好的汽车,立即上车赶赴县城,结果比原定到达县城的时间晚了30 min. 如果汽车的速度是步行速度的6 倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间?
参考答案
一、1. (C) 2. (D) 3. (D) 4. ( C) 5. (B)
6. (C)
7. (A)
8. (A)
二、9. 6 10. 1 11. 8 12. 3 2
(2) 设点 A 的影子落到地面上某一点 F , 则在△AB F中, ∠A FB = 30°, AB = 16 m. 所以,
B F = AB ·cot ∠A F B = 16 ×3≈2717 (m) .
故要使甲楼的影子刚好不落在乙楼上,甲、乙两楼的距离至少要2717 m.
14. (1) 连结OC 、OC1,分别交PQ 、PN 于点D 、
E. 依题意得∠COC1= 45 °. 又点O 到△ABC 各边的距离都等于1 ,则OC 平分∠ACB .
因∠ACB = 90°,所以∠OCE = ∠OCQ = 45°.
同理, ∠OC1D = ∠OC1N = 45°.
故∠OEC = ∠ODC1= 90°.
则∠CQP = ∠CPQ = ∠C1PN = ∠C1N P = 45°.
从而△CPQ 和△C1N P 均为等腰直角三角形.
因为∠BNM = ∠C1N P = ∠A1QK = ∠CQP
= ∠B = ∠A1= 45°,
所以, △BMN 和△A1KQ 均为等腰直角三角形.
有∠B 1ML = ∠BMN = ∠A K L= ∠A1KQ = 90°,
∠B1= ∠A = 45°,
故△B 1ML 和△A KL 均为等腰直角三角形.
(2) 由(1) 知,在Rt △ODC1和Rt △OEC 中,有
OD = OE = 1 , ∠COC1= 45°,
所以, OC = OC1= 2 , CD = C1E = 2 - 1.
于是, PQ = PN = 2 ×( 2 - 1) = 2 2 - 2 ,
CQ = CP = C1P = C1N = 2 ×( 2 - 1) = 2 - 2 .
从而, S △=
1
×(2 - 2) 2 = 3 - 2 2 .
延长CO 交AB 于点H.
由CO 平分∠ACB 且AC = BC ,知CH ⊥AB .
所以, CH = CO + OH = 2 + 1.
于是, AC = BC = A1C1= B 1C1
= 2 ×( 2 + 1) = 2 + 2 .
因此, S △=
1
×(2 + 2) 2 = 3 + 2 2 .
三、13. (1) 设冬天太阳最低时,甲楼最高处点A 的影子在乙楼的C 处,那么, CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度.
设CE ⊥AB 于点E. 在△A EC 中,
∠A EC = 90°, ∠ACE = 30°, EC = 20 m. 又A1Q = BN = (2 + 2) - (2 2 - 2) - (2 - 2) = 2 , 则KQ = MN = 2 .
所以, S △=
1
×( 2) 2 = 1.
因为 A K = (2 + 2) - (2 - 2) - 2 = 2 ,
所以, A E = EC·tan ∠ACE = 20 ×3
所以, S △AKL= 1
2
×( 2) 2 = 1.
≈1116 (m) .
- 1
x
- x 6 - 1
a b c
课 外 训 练
数学奥林匹克初中训练题(63)
第 一 试
一、选择题(每小题 7 分 ,共 42 分)
1. 若 a 、b 都是质数 ,且 a 2
+ b = 2 003 ,
则 a + b 的值等于( ) .
(A ) 1 999 (B ) 2 000 (C ) 2 001 (D ) 2 002 2. 设 a > 0 > b > c , a + b + c = 1 , M = b + c , N = a + c , P = a + b . 则 M 、 N 、 P 之 间的大小关系是(
) .
(A ) M > N > P (B ) N > P > M (C ) P > M > N
(D ) M > P > N
3. △ABC 的三边长 a 、b 、c 满足 b + c = 8 , bc = a 2
- 12 a + 52. 则 △ABC 的周长等于( ) .
(A ) 10 (B ) 14 (C ) 16 (D ) 不能确定 4. 下面 4 个命题 :
①直角三角形的两边长为 3 、4 , 则第三边长为 5 ;
②x
= ;
③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 ;
④若四边形 ABCD 中 , AD ∥BC , 且 AB
+ BC = AD + DC ,则四边形 ABCD 是平行四
边形.
其中正确的命题有(
) 个.
(A ) 0
(B ) 1 (C ) 2
(D ) 3
5. 一个四位数 aabb 为平方数. 则 a + b
的值等于(
) . (A ) 11
(B ) 10
(C ) 9 (D ) 8
6. 如果满足 ∠ABC = 60°, AC = 12 , BC = k 的 △ABC 恰有一个 ,那么 , k 的取值范围是
( ) . (A ) k = 8 3
(B ) 0 < k ≤12 (C ) k ≥12
(D ) 0 < k ≤12 或 k = 8 3
二、填空题(每小题 7 分 ,共 28 分)
1. 已知 a 、b 、c 为实数 , 且多项式 x 3
+
ax 2
+ bx + c 能被 x 2
+ 3 x - 4 整除. 则 2 a - 2 b
- c = .
2. 若正整数 a 、b 、c 满足 ab + bc = 518 ,
故 S 多边形KLMN PQ = S △ABC - S △CPQ - S △BMN - S △A KL
= 4 2 - 2.
15. 假定汽车排除故障
花了 x min. 如图 8 ,设点 A 为县城所在地 ,点 C 为学校 图 8
所在地 ,点 B 为师生途中与汽车相遇之处.
在师生们晚到县城的 30 min 里 ,有 10 min 是因晚出发造成的 ,还有 20 min 是由于从 C 到 B 步行代替乘车而耽误的.
汽车所晚的 30 min ,一方面是排除故障耽误了x
min ,另一方面是少跑了 B 到 C 之间的一个来回而
省下的时间.
已知汽车速度是步行速度的 6 倍 ,而从 C 到 B
步行比乘车要多花 20 min. 由此知汽车由 C 到 B 应花
20
= 4 (min ) . 一个来回省下了 8 min. 所以 , x - 8 = 30 ,知 x = 38.
即汽车在途中排除故障花了 38 min.
(李耀文 提供)。