高中数学第1章集合与函数概念1.3.2奇偶性(第2课时)奇偶性的应用aa高一数学

2021/12/7
第一章 集合(jíhé)与函数概念
1.3.2 奇偶性
第二课时(kèshí) 奇偶性的应用
第一页，共二十七页。
学习目标：1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式. 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单(jiǎndān)的 问题．
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第二页，共二十七页。
[合 作 探 究·攻 重 难]
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第二十一页，共二十七页。
2．（2019 年重庆模拟）已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)<f(2)
C．f(1)＝f(2)
D．以上都有可能
[答案]A [∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选 A.]
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2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数”，再求 f(x)，g(x)的解析式． [[解解]] ∵∵ff(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴∴ff((－－xx))＝＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 又又 ff((xx))＋＋gg(x)＝x－1 1，① 用用－－xx 代代替替上式中的 x，得 ff((－－xx))＋＋gg((－x)＝－x1－1，
用奇偶性求解析式 例 1 (1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，求 f(x)的 解析式； (2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1，求函数 f(x)，g(x)的解 析式.
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思路探究：(1) 设x<0，则－x>0 fx―＝当―－x>→x0＋1 求f－x 奇――函→数 得x<0时fx的解析式 奇 的――函 性→数 质 f0＝0 分―段―函→数 fx的解析式 (2) fx＋gx＝x－1 1 ―用―－―x―代―式―中→x 得f－x＋g－x＝－x1－1 奇――偶→性 得fx－gx＝－x＋1 1 解―方―程→组 得fx，gx的解析式
(①－②)÷2，得 g(x)＝x2－x 1.
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母题探究：1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x>0”改为 “x≥0”，再求 f(x)的解析式． [解] 设 x≤0，则－x≥0，则 f(－x)＝x＋1. 又 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)＝x＋1. 故 f(x)的解析式为 f(x)＝x－＋x＋1，1，x≤x0>，0.
1．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，
f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，若 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 x∈ (－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则 其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选 A.]
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[当 堂 达 标·固 双 基]
1．（2019 年武昌区期末）已知函数 y＝f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2－2x
＋3，则当 x<0 时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝－x2＋2x－3
B．f(x)＝－x2－2x－3
C．f(x)＝x2－2x＋3
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[解] (1)设 x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1. 又 x＝0 时，f(0)＝0，
－x－1，x<0， 所以 f(x)＝0，x＝0，
D．f(x)＝－x2－2x＋3
[答案]B [若 x<0，则－x>0，因为当 x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，所以 f(－x)＝x2
＋2x＋3，因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以 f(x)＝
－x2－2x－3，所以 x<0 时，f(x)＝－x2－2x－3.故选 B.]
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[规律方法] 解不等式的策略 1 解 决 不 等 式 问 题 时 一 定 要 充 分 利 用 已 知 的 条 件 ， 把 已 知 不 等 式 转 化 为 fx1>fx2或 fx1<fx2的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式组， 要注意函数定义域对参数的影响. 2本题的关键是利用偶函数的性质：fx＝f－x＝f|x|，从而由 fx－1>f2转 化得 f|x－1|>f2，再由 fx在[0，＋∞上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|<2. 其优点在于避免了讨论.
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3．（2019 年古冶区模拟）定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
若 f(a)<f(b)，则一定可得( )
A．a<b
B．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤a<b 或 a>b≥0
[答案]C [∵f(x)是 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
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内容 总结 (nèiróng)
第一章 集合与函数概念。第二课时 奇偶性的应用。1.3.2 奇偶性。2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单(jiǎndān)的问 题．
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角度一 比较大小问题
例 2 函数 y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数 f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立
的是( )
A．f(1)<f
5 2<f
7 2
B．f
7 2<f(1)<f
5 2
C．f
7 2<f
5 2<f(1)
D．f
5 2<f(1)<f
7 2
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[规律方法] 比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上. ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上， 然后利用单调性比较大小.
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[跟踪训练]
－x＋1，x>0.
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(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由 f(x)＋g(x)＝x－1 1，①
用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－x1－1，
∴f(x)－g(x)＝－x1－1，②
(①＋②)÷2，得 f(x)＝x2－1 1；
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[跟踪训练]
2．函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a
＋1)，则 a 的取值范围是( )
A．a>1
B．a<－2
C．a>1 或 a<－2
D．－1<a<2
C [因为函数 f(x)在实数集上是偶函数，且 f(3)<f(2a＋1)，所以 f(3)<f(|2a＋1|)， 又函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以 3<|2a＋1|，解之得 a>1 或 a<－2.故选 C.]
思路探究： y＝fx＋2是偶函数 ―→
fx的图象关于x＝2对称 ―[0―，递―2增―]上→ 比较大小
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B [∵函数 f(x＋2)是偶函数， ∴函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，∴f 52＝f 32，f 72＝f 12，又 f(x)在[0,2] 上单调递增， ∴f 12<f(1)<f 32，即 f 72<f(1)<f 52.]
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角度二 解不等式问题 例 3 已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值 范围是________．
(－1,3) [∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)， 又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(|x－1|)>f(2)，∴|x－1|<2，∴－2<x－1<2， ∴－1<x<3，∴x∈(－1,3)．故填(－1,3)．]
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即 f(x)－g(x)＝x＋1 1.② 联立①②得 f(x)＝x2－x 1，g(x)＝x2－1 .
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[规律方法] 利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用 fx的奇偶性写出－fx或 f－x，从而解出 fx. 提醒：若函数 fx的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f0＝0，但若为偶函数， 未必有 f0＝0.
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函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题] 1．如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(－b，－a)上的单调性 如何？ 如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(－b，－a)上的单调性如 何？
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∴由 f(a)<f(b)可得|a|<|b|.]
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4．（2019 年潮州期末）偶函数 f(x)在(0，＋∞)内的最小值为 2 016，则 f(x)在 (－∞，0)上的最小值为________.
[答案]2 016 [由于偶函数的图象关于 y 轴对称， 所以 f(x)在对称区间内的最值相等． 又当 x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 016， 故当 x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 016.]
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提示：如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(－b，－a)上单调 递增；如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(－b，－a)上单调 递增．
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2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？ 提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的 区间上单调性相反． 3．若偶函数 f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么 f(3)和 f(－2)的大小关系如何？ 若 f(a)>f(b)，你能得到什么结论？ 提示：f(－2)>f(3)，若 f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
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5．（2018 年杭州期末）已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋x －2，求 f(x)，g(x)的表达式．
[答案] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x) ＝x2－x－2，又 f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得 f(x)＝x2－2，g(x)＝x.