2017届高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用 理 新人教版

课时跟踪检测(三十四) 数列的综合应用
一保高考，全练题型做到高考达标
1．在数列{a n }中，a 1＝1，数列{a n ＋1－3a n }是首项为9，公比为3的等比数列． (1)求a 2，a 3；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 3n 的前n 项和S n .
解：(1)∵数列{a n ＋1－3a n }是首项为9，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝9×3
n －1
＝3
n ＋1
，
∴a 2－3a 1＝9，a 3－3a 2＝27， ∴a 2＝12，a 3＝63. (2)∵a n ＋1－3a n ＝3
n ＋1
，∴a n ＋13n ＋1－a n
3
n ＝1，
∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是首项为1
3，公差为1的等差数列，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n ＝n 3＋
n
n －
2＝3n 2
－n
6
.
2．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *
)． (1)求f (x )的解析式； (2)若数列{a n }满足
1
a n ＋1
＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，
得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2
a －4n
b ＝0， 解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *
)．
(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *
)， 所以
1
a n ＋1＝1a n
＋2n ，即1a n ＋1－1a n
＝2n .
所以1a n －1
a n －1
＝2(n －1)，
1a n －1－1
a n －2
＝2(n －2)，
(1)
a 2－1
a 1
＝2，
以上各式相加得1a n －14
＝n 2
－n ，所以a n ＝
1
n 2
－n ＋
1
4
，
即a n ＝
4n －
2
(n ∈N *
)．
3．(2016·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若λb n >a n 对n ∈N *
均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴3a 1＋3d ＝6， ∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .
由题知，⎩
⎪⎨
⎪⎧
b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ， ①
b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1n ， ②
①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n
(n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21
＝2，满足上式，故b n ＝2n
. (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n
2n 恒成立，
设c n ＝n
2
n ，
当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝12，故λ>1
2
.
所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.
4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *
)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝
1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12
.
解：(1)由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝a 1·2
n －1
＝2
n －1
.
∴S n ＝2n
－1.
设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7， ∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)证明：∵log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1
＝2n ＋1，
∴c n ＝
1
b n ·log 2a 2n ＋2
＝
1
n －n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1＝
∵n ∈N *
，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，
12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n
2n ＋1
. 当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1
＝
1
n ＋n －
>0，
∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝1
3.
综上所述，13≤T n <1
2
.
二上台阶，自主选做志在冲刺名校
(2015·湖南师大附中调研)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *
，都有
x n ＋x n ＋2
2
<x n ＋1成立，则
称数列{x n }为“减差数列”．设数列{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且
a 1＝1，S 3＝74
.
(1)求数列{a n }的通项公式，并判断数列{S n }是否为“减差数列”；
(2)设b n ＝(2－na n )t ＋a n ，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，求实数t 的取值范围．
解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 1＝1，S 3＝7
4，
所以1＋q ＋q 2
＝74，
即4q 2
＋4q －3＝0， 所以(2q －1)(2q ＋3)＝0.
因为q >0，所以q ＝12，所以a n ＝1
2n －1，
S n ＝1－1
2n
1－12＝2－1
2n －1，
所以
S n ＋S n ＋2
2＝2－12n －12n ＋2<2－1
2
n ＝S n ＋1，
所以数列{S n }是“减差数列”．
(2)由题设知，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－n 2n －1t ＋12
n －1＝2t －tn －12n －1.
由
b n ＋b n ＋2
2<b n ＋1(n ≥3，n ∈N *
)， 得t －tn －1
2
n
＋t －
t n ＋
－12
n ＋2
<2t －
t
n ＋
－12
n
，
即
tn －12
n
＋
t n ＋
－12
n ＋2
>
t n ＋
－1
2
n
，化简得t (n －2)>1.
又当n ≥3时，t (n －2)>1恒成立，即t >1
n －2
恒成立， 所以t >⎝
⎛⎭
⎪⎫1n －2max
＝1.
故t 的取值范围是(1，＋∞)．。