基于MATLAB电磁波传播的可视化仿真

基于MATLAB电磁波传播的可视化仿真
余建立;刘双兵
【摘要】The course of electromagnetic field and electromagnetic wave has the characteristics of complex theory, complete structure and abstract concept. The propagation of the electromagnetic wave is simulated visually with MATLAB language. The simulation results can display the distribution of electromagnetic waves dynamically in the free space and the dielectric interface. The simulation results are in agreement with the theory. The application of simulation animation in classroom teaching can deepen students' learning and understanding of concepts and improve classroom teaching effect.%针对电磁场与电磁波课程具有理论复杂、结构完整和概念抽象等特点, 利用MATLAB语言编程对电磁波的传播进行了可视化仿真.仿真结果能够形象动态地演示电磁波在自由空间和媒质分界面上电磁场的分布, 将仿真动画用于课堂教学中, 能够加深学生对概念的学习和理解, 可提高课堂教学效果.【期刊名称】《宜春学院学报》
【年(卷),期】2018(040)012
【总页数】6页(P50-55)
【关键词】电磁场与电磁波;MATLAB;可视化
【作者】余建立;刘双兵
【作者单位】安徽省巢湖学院机械与电子工程学院,安徽巢湖 238000;安徽省巢湖学院机械与电子工程学院,安徽巢湖 238000
【正文语种】中文
【中图分类】G642.0
“电磁场与电磁波”是电子信息工程、通信工程等专业的一门重要的必修基础课，该课程具有结构严谨、理论性强、数学公式复杂及概念抽象等特点，学生在学习过程中普遍存在理解和数学运算等方面的困难。

电磁波在空间中的传播是“电磁场与电磁波”课程中的重要教学内容之一，电磁波为电场和磁场矢量的空间分布随时间以波动形式向特定方向的传播，具有动态时变特征，且电场和磁场具有不可见和不可触摸性，在学习过程中很难建立起电磁波动特性的感性认识，且电磁波在介质分界面上的传播情况复杂，教学中仅有理论和公式推导，很难达到好的教学效果。

MATLAB具有强大的矩阵运算和图形处理技术，且编程语言简单易学，将MATLAB应用到电磁波在空间传播的教学中，建立相应的模型，编程对复杂的理论进行数值计算，并动态可视化计算结果，将复杂抽象的电磁波传播理论与形象直观的图形、动画有机结合起来，学生容易理解和接受，可以激发学生的学习兴趣，从而使教学效果得到提高。

电磁波在空间中传播仿真已有文献报道，文献[1-5]利用MATLAB仿真了电磁波的传播，但都是仿真了电磁波在无界空间中的传播，没有对电磁波在不同媒质以及媒质分界面上的传播进行模拟，本文根据电磁波传播理论，编写MATLAB程序对电磁波在理想介质和一般导电媒质中的传播以及媒质平面分界面上的传播进行了动态可视化仿真，并对仿真结果进行了分析。

1 均匀平面电磁波在无界空间中传播的仿真
均匀平面电磁波是指电磁波的电场和磁场矢量只沿着它的传播方向变化，在垂直于传播方向的无限大平面内，电场和磁场的大小、方向和相位都保持不变的电磁波[6]。

若电磁波沿着z轴传播时，电场和磁场仅是坐标z的函数。

假设空间充满均匀媒质，其媒质对应的介电常数、磁导率和电导率分别为ε、μ和σ，若电磁波为沿+z轴方向传播的均匀平面波，电场和磁场强度矢量的复矢量表示为
E(z)=exEme-γz
(1)
(2)
式中为电磁波的传播常数，其中α和β分别为衰减常数和相位常数，为媒质的本征阻抗，一般情况下为一复数，在均匀媒质中α、β的以及ηc可表示为
(3)
(4)
(5)
当σ=0时，α=0表示电磁波无衰减，相位常数与电磁波频率成线性关系，为一实数，电场与磁场同相。

当σ≠0时，α≠0，电磁波有衰减，相位常数与电磁波频率不是线性关系，ηc为一复数，磁场相位滞后电场相位。

编写程序仿真，首先根据电场、磁场及传播方向建立三维坐标系，电场图形与x 轴平行，磁场图形与y轴平行，传播方向与z轴平行；然后以时间t为变量进行循环，将空间z坐标离散，并利用MATLAB矩阵运算，计算各时刻空间点的场值，画出电场、磁场的空间分布，实现场量随时间动态演示；最后将数值计算的结果进行可视化，程序实现框图如图1所示，具体程序代码如下：
clc;clear；%清除屏幕，清除变量。

set(gcf，'color'，'w');%设置画图背景白色。

Epsilon0=(1/36/pi)*1e-9;Mu0=4*pi*1e-7;%真空介电常数和真空磁导率。

Epsilon=Epsilon0*4;Mu=Mu0*1;Sigma=1000000;%媒质的电磁参数设置。

Em=1;Omega=2*pi*6e8；T=2*pi/Omega;%入射电磁波的电场振幅、频率和周期。

Eta=sqrt(Mu/(Epsilon*(1-j*(Sigma/(Omega*Epsilon)))));%媒质的本征阻抗，为一复数。

Eta_real=real(Eta);Eta_imag=imag(Eta);%本征阻抗的实部和虚部。

Eta_abs=sqrt(Eta_real^2+Eta_imag^2);%本征阻抗的模值。

Phi=acos(Eta_real/Eta_abs);%本征阻抗的相角。

Gamma=j*Omega*sqrt(Mu*Epsilon*(1-j*Sigma/Omega/Epsilon));%传播常数。

Alpha=real(Gamma);Beta=imag(Gamma);%电磁波的衰减常数和相位常数。

Lamda=2*pi/Beta;%电磁波的波长。

xmax=3*Lamda;%传播方向上的传播距离预设值。

n=0;m=0;Emax=0;Hmax=0;%用于动态可视化的辅助变量预设值。

%以下循环是可视化时控制坐标最大值。

for t=0：0.05*T：1*T
x=0：0.05*Lamda：xmax;%传播方向上坐标离散，区域为0到3倍波长范围。

E=Em*exp(-1*Alpha*x).*cos(Omega*t-Beta*x);%电磁波的电场值。

H=(1/Eta_abs)*Em*exp(-1*Alpha*x).*cos(Omega*t-Beta*x-Phi);%电磁波的磁场值。

Emax1=max(abs(E));Emax=max([Emax Emax1]);%用于控制可视化图形的电场
坐标。

Hmax1=max(abs(H));Hmax=max([Hmax Hmax1]);%用于控制可视化图形的磁
场坐标。

end
%以下循环是可视化图形。

for t=0：0.05*T：2.75*T
clf;%清楚上一循环的图形。

x=0：0.05*Lamda：xmax;%传播方向上的坐标离散。

y=zeros(size(x));%产生与x坐标维数相同的y坐标向量。

%以下计算空间各离散点的电场和磁场值。

E=Em*exp(-1*Alpha*x).*cos(Omega*t-Beta*x);%电磁波的电场值。

H=(1/Eta_abs)*Em*exp(-1*Alpha*x).*cos(Omega*t-Beta*x-Phi);%电磁波的磁场值。

%以下是对产生动画图的初始效果数据处理。

n=n+1;N=length(x);%坐标向量的维数。

if n<N;x(n：N)=[];y(n：N)=[];E(n：N)=[];H(n：N)=[];else;E=E*1;H=H*1;end %以下绘制可视化图形的辅助坐标轴线条，电场与磁场的分布图。

grid on;box off;axis([0，xmax，-Emax，Emax，-Hmax，Hmax]);
line([0，xmax]，[0，0]，[0，0]，'Color'，'k'，'LineWidth'，2);
line([0，0]，[-Emax，Emax]，[0，0]，'Color'，'b'，'LineWidth'，2);
line([0，0]，[0，0]，[-Hmax，Hmax]，'Color'，'r'，'LineWidth'，2);
hold on;
plot3(x，E，y，'b'，'LineWidth'，2);stem(x，E，'b.');%绘制电场分布图。

plot3(x，y，H，'r'，'LineWidth'，2);stem3(x，y，H，'r.');%绘制磁场分布图。

pause(0.1);
end
假设入射电磁波电场振幅为1V/m，电磁波频率为600MHz，媒质的相对介电常
数εr=1、相对磁导率μr=1及电导率σ=0时，对应于理想介质，运行程序后，得到如图2所示仿真图，图中仅给出了某一时刻的波形图。

由图2可以看出，电场、磁场及传播方向三者两两垂直，满足右手螺旋关系，电场、磁场同相位且振幅不衰减。

图1 程序实现框图
图2 理想介质中的平面波仿真图
当输入相对介电常数εr=4和相对磁导率μr=1，电导率σ分别0.0001、0.001、0.01、1、103、106S/m时，即对应于不同的导电媒质，仿真结果如图3所示，
图中亦仅给出了某一时刻的波形图。

由图可以看出，随着电导率的增大，电场和磁场振幅衰减增大，即电磁波在媒质中的损耗增大，且电磁波波长减小，磁场的振幅值逐渐增加，磁场相位滞后于电场相位，随着电导率的增加相位差也随之增大。

(a)σ=0.0001
(b)σ=0.01
(c)σ=0.1
(d)σ=1
(e)σ=103
(f)σ=106
图3 导电媒质中的均匀平面波
2 均匀平面波垂直入射媒质分界平面传播的仿真
当电磁波垂直入射两种不同媒质分界平面时，在分界面处电磁波会发生反射和透射。

假设z=0处为介质分界平面，z>0区域的媒质参数为ε2、μ2、σ2，z<0区域的
媒质参数为ε1、μ1、σ1。

当电磁波从媒质1垂直入射媒质2时，在分界面处电磁波的反射系数和透射系数分别为
(6)
(7)
其中分别为两种媒质的本征阻抗，一般情况下，由于η1c、η2c为一复数，所以Γ和τ为一复数。

若入射波电场为沿x方向的线极化波，在媒质1中，电场和磁场的复振幅分别为E1(z)=Ei(z)+Er(z)=exEim(e-γz+Γeγz)
(8)
(9)
在媒质2中，电场和磁场的复振幅分别为
E2(z)=exEimτe-γ2z
(10)
(11)
编写MATLAB程序，与无界空间中电磁波传播程序类似，不同之处在于，需要定义两种不同参数的媒质及其相关量的计算，且分别计算出两种媒质中的电场和磁场值；在可视化图形时，使用plot3、stem和stem3绘制电场和磁场的图形，利用使用meshgrid、surf和alpha函数绘制两种媒质的分界平面，利用line函数绘制分界面的边界和三维坐标线，使得图形具有更好的三维效果。

同样，假设入射电磁波电场振幅为1V/m，电磁波频率为600MHz，当媒质参数
ε1r=1、μ1r=1、σ1=0和ε2r=4、μ1r=1、σ1=0时，此时两种媒质对应为理想介质的情况，此时对应的反射系数Γ=-0.333<0，透射系数τ=0.667，仿真结果如图4所示，图4仅给出了某一个时刻的仿真图。

(a)入射、反射和透射波仿真图
(b)合成波仿真图
图4 平面波垂直入射理想介质分界平面仿真图
从图4(a)的动态图可以直观的看出，入射波与反射波之间电场存在半波损失，而磁场相位和入射波同相，这是因为透射波磁场的振幅大于入射电磁波磁场的振幅，而磁场在分界面处要保持连续。

由合成波图4(b)的动态图可以看出，在分界平面处，电场为最小值，媒质1中的合成波为行驻波，且电场在分界面处为最小值，磁场在分界面处为最大值。

因两种媒质均为理想介质，故在分界面处合成波电场和磁场连续，且电磁波从一种媒质进入另一种媒质后，电磁波的波长发生了变化，比简单的纯理论的公式推导形象直观。

当媒质参数ε1r=1、μ1r=1、σ1=0.005和ε2r=4、μ2r=1、σ1=0.05时，此时平面电磁波从一种导电媒质入射另一种导电媒质，电磁波在分界面处反射系数
Γ=0.333ej172.3°、透射系数τ=0.6696ej2.83°，仿真结果如图5所示，图5也仅给出了一个时刻的仿真图。

(a)入射、反射和透射波仿真图
(b)合成波仿真图
图5 平面波垂直入射导电媒质分界平面仿真图
从图5(a)的动态图可以直观的看出，入射波和反射波电场近似反相，而磁场相位和入射波近似同相，电磁波在导电媒质中随着传播距离的增加振幅逐渐衰减。

从合
成波图5(b)的动态图可以看出，电场在分界面处连续，而磁场在分界面处发生突变，因为此时在分界面上存在有传导电流，突变值的大小与导电媒质的电导率有关，且电场在分界面处为最小值，媒质1中合成波为振幅衰减的行驻波。

当媒质参数ε1r=1、μ1r=1、σ1=0和ε2r=4、μ2r=1、σ2=∞时，此时平面电磁
波由理想介质垂直入射理想导体，电磁波不能进入导体内部，仿真结果如图6所示，图中上图为入射、反射和透射波图，下图为合成波图，图6给出了四个不同
时刻的仿真图。

(a)T /4 (b)T 2
(c)3 T /4 (d)T
图6 平面波垂直入射理想导体分界平面仿真图
从图6可得，媒质1中的合成波为纯驻波，电场在z=(-2n)λ1/4(n为整数)处，电场振幅始终为零，在z=(-2n-1)λ1/4(n为整数)处，电场振幅最大，电场在z=0平面处为零，这是由于理想导体内部没有电场存在，在理想导体表面电场的切向分量为零，保证了电场在分界面连续。

磁场在z=(-2n)λ1/4(n为整数)处，磁场振幅最大，在z=(-2n-1)λ1/4(n为整数)处，磁场振幅始终为零，表明在z=0平面处，磁场发生突变，导体表明存在有自由电流。

E1和H1驻波在空间位置上错开λ1/4，在时间上有π/2的相移。

3 总结
利用MATLAB软件编写程序，对平面电磁波在空间的传播进行了仿真。

首先仿真了电磁波在无界空间中的传播的情况，可形象直观的演示电场、磁场的大小和相位情况，以及电场、磁场与传播方向之间的关系；然后对电磁波在不同媒质分界平面上的传播进行了仿真，分别给出了电磁波由导电媒质垂直入射另一种导电媒质、电磁波由理想介质垂直入射另一种理想介质及电磁波由理想介质垂直入射理想导体三
种不同情况下的仿真结果，仿真的结果可作为电磁场与电磁波课程的教学辅助，能够帮助初学者更好的理解电磁波的传播特征，有助于学生分析和理解教学内容，激发学生的学习兴趣，从而提高了教学效果。

由于MATLAB编程简单，利用矩阵运行及绘图功能，能将复杂繁琐的电磁波传播问题转变为简单、形象直观的图形和动态图像。

在教学中，鼓励学生自己利用MATLAB解决电磁波问题，提高学生计算机程序设计的能力，符合提高学生综合素质为目标的教学要求。

参考文献：
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