鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟基础测试题1(附答案详解)

鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟基础测试题1（附答案详解）
一、单选题
1．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为（ ）A ．1 10 B ．1
5 C ．3 10 D ．2
5
2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA =4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A ．4s i n θ米2
B ．4c o s θ
米2C ．4(4)tan θ+米2D ．(44t a n )θ+米2 4．已知反比例函数y=﹣4x
，则下列有关该函数的说法正确的是（ ） A ．该函数的图象经过点（2，2） B ．该函数的图象位于第一、三象限
C ．当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大
D ．当x ＞﹣1时，y ＞4 5．一次函数y k
x k =-，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数k y x =满足（ ） A ．当x ＞0时，y ＞0
B ．y 随x 的增大而增大
C ．图象分布在第一、三象限
D ．图象分布在第二、四象限 6．抛物线()
2ya x b x c a0=++≠的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为()4,0，抛物线的对称轴是x 1.=下列结论中：
a b c 0>①；2a b 0+=②；③方程2a x b xc 3
++=有两个不相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()2,0-；⑤若点
()A m ,n 在该抛物线上，则2a m b m c a b c
++≤++．
7．比较抛物线y=x 2、y=2x 2﹣1、y=0.5（x ﹣1）2的共同点，其中说法正确的是（ ） A ．顶点都是原点 B ．对称轴都是y 轴
C ．开口方向都向上
D ．开口大小相同
8．《九章算术》中“今有勾七步，股有二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形的容圆(内切圆)直径是多少？”( )
A ．4步
B ．5步
C ．6步
D ．8步 9．已知函数()
22(3)416y x x =--≤≤的最大值与最小值的和为（ ） A ．18
B ．0
C ．10
D ．无法确定 10．反比例函数m 2y x -=
的图像在第二、四象限内，则m 的取值范围（ ） A ．m 0>
B ．m 2>
C ．m 0<
D ．m 2<
二、填空题
11．如图，C 岛在A 岛的北偏东50，C 岛在B 岛的北偏西40方向，且B C 为5海里，
AC 为12海里，则s i n C A B ∠=________．
12．计算：|﹣2|﹣4+（12
）﹣1+tan45°=_____． 13．老师在一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象，请同学们观察此图象有什么特点，小付说：与直线y=﹣x 有两个交点；小楠：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5，请你根据他们俩的说法写出此反比例函数的表达式：________．
14．如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____．
15．两个反比例函数3y x =
，6y x
=在第一象限内的图象如图所示，点
在反比例函数6y x =图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2011，纵坐标分别是1，3，5，…，共2011个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2011分别作y 轴的平行线，与3y x
=的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2011，y 2011），则
y 2011=________．
16．二次函数y ＝2x 2＋bx －5的图象过点(－1，3)，则b ＝________.
17．把抛物线y ＝12
(x －1)2＋2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为________．
18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2，b ＝1，则a ＝_____，∠B ＝___．
19．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m x
(m≠0)的图象相交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则关于x 的不等式kx ＋b ＞m x
的解集是________. 20．如图，一次函数y k
x b =+的图象与反比例函数m y x
=的图象交于点()2,5A --，C ()5,n ，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ，那么不等式0m kx b x +->的解集是______ ． 三、解答题
21．在A B C 中，90B ∠=，D 是AC 上一点，以O 为圆心，
O B 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2A D =，
3C D =．求O 的半径．
22．阅读下列材料：
题目：如图1，在A B C ∆中，已知A ∠(45)A ∠<︒，90C ∠=︒，1A B =，请用
sin A 、cos A 表示s in2A
.
解：如图2，作AB 边上的中线C E ，C D A B ⊥于D ，
则1122C
E A B ==，2C E D A ∠=，s i n C D A C A =，c o s c o s A C A B A A == 在R t C E D
∆中， s i n s i n 2s i n 2s i n 12
C DA C A A C E
D A C A C E
=∠=== 2c o s s i n A A
= 根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在A B C ∆中，90C ∠
=︒，1B C =，3A B =，求sin A ，s in2A 的值 (2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用sin A 或cos A 表示c o s2A .
23．水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动．每一位来采摘
水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A ，B ，C ，D 四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张． （1）请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况； （2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
A B C D
24．已知：抛物线1C ：226
y x b x =++与抛物线2C 关于y 轴对称， 抛物线1C 与x 轴分别交于点A （-3， 0）， B （m ， 0）， 顶点为M ．
（1）求b 和m 的值；
（2）求抛物线2C 的解析式；
（3）在x 轴， y 轴上分别有点P （t ， 0）， Q （0， -2t ）， 其中t ＞0， 当线段PQ 与抛物线2C 有且只有一个公共点时，求t 的取值范围．
25．某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？
（请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果）
26．已知抛物线y ＝a （x 2－cx －2c 2）（a ＞0）交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．
（1）取A（－1，0），则点B的坐标为___________；
（2）若A（－1，0），a＝1，点P为第一象限的抛物线，以P为圆心，125
5
为半径
的圆恰好与AC相切，求P点坐标；
（3）如图，点R（0，n）在y轴负半轴上，直线RB交抛物线于另一点D，直线RA
交抛物线于E．若DR＝DB，EF⊥y轴于F，求E F
A B
的值．
27．箱子里有3个红球和2个黄球，从箱子中一次拿两个球出来．
（1）请你用列举法（树形图或列表）求一次拿出的两个球中时一红一黄的概率；（2）往箱子中再加入x个白球，从箱子里一次拿出的两个球，多次实验统计如下
取出两个球的次数20 30 50 100 150 200 400 至少有一个球是白球的次
数
13 20 35 71 107 146 288 至少有一个球是白球的频
率
0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72 请你估计至少有一个球是白球的概率是多少？
（3）在（2）的条件下求x的值．（13
18
=0.7222222…）
28．已知抛物线的表达式是y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a（a为不等于0的常数），上述抛物线无论a为何值始终经过定点A和定点B；A为x轴上的点，B为第一象限内的点．
（1）请写出A，B两点的坐标：A（，0）；B（，）；
（2）如图1，当抛物线与x轴只有一个公共点时，求a的值；
（3）如图2，当a＜0时，若上述抛物线顶点是D，与x轴的另一交点为点C，且点A，B，C，D中没有两个点相互重合．
求：①△ABC能否是直角三角形，为什么？
②若使得△ABD是直角三角形，请你求出a的值．（求出1个a的值即可）
参考答案1．C
【解析】
【分析】
让绿色的笔的个数除以笔的总个数即为所求的概率．【详解】
解：∵一共有5+3+2=10支笔，其中有3支绿色的，
∴随机赠送的笔为绿色的概率为
3
10
．
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，明确概率的意义是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1，
左视图如下：
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图以及空间想象能力，视图中每一个闭合的线
框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
3．D
【解析】
【分析】
【详解】
解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanq，
∴所需地毯的长度为AC+BC=4+4tanq（米）．
面积为：（4+4tanq）×1=4+4tanq（米2）．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用．
4．C
【解析】
【详解】
∵当x＝2时，y＝-2,故不正确；
∵-4<0, ∴该函数的图象位于第二、四象限，故不正确；
∵该函数的图象位于第二、四象限，∴当x＞0时，y的值随x的增大而增大，故正确；∵当x＞﹣1时，y<4, 故不正确；
故选C.
5．D
【解析】
分析：根据一次函数图象的性质推知k的取值范围．然后利用反比例函数系数与图象的关系对各选项进行判断．
详解：∵一次函数y=kx﹣k，y随x的增大而减小，∴k＜0，∴反比例函数y=k
x
图象
经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
综上所述：D选项正确．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数的性质，一次函数图象与系数的关系．对于反比例函数
y=k
x
，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，
在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
6．B
【解析】
【分析】
结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
【详解】
①对称轴是y轴的右侧，
a b 0∴<，
抛物线与y 轴交于正半轴，
c 0∴>，
a b c 0
∴<，故①错误； b
12a
-
=②， b 2a ∴=-，2a b 0
+=，故②正确； ③由图象得：y 3=时，与抛物线有两个交点，
∴方程2a x b xc 3
++=有两个不相等的实数根，故③正确； ④
抛物线与x 轴的一个交点坐标为()4,0，抛物线的对称轴是x 1=，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()2,0-，故④正确；
⑤抛物线的对称轴是x 1=，
y ∴有最大值是a b c ++，
点()A m ,n 在该抛物线上，
2
a m
b m
c a b c
∴++≤++，故⑤正确， 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选B ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数()
2
ya x b x c a0=++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a 0>时，抛物线向上开口；当a 0<时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即a b 0)>，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时(即a b 0)<，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于()0,c ；也考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质． 7．C 【解析】 【分析】
本题主要考查二次函数的性质，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征,分别求出三个函数的相关特征即可.
【详解】
①y=2x2﹣1、y=0.5（x﹣1）2顶点为（0，-1），（1,0），不是原点，A错误.
②由①可得对称轴都是y轴错误.
③三个函数的系数均为正，所以开口方向都向上正确.
④由于a大小不同,所以其开口大小不同.
【点睛】
掌握二次函数的性质，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征是解题关键.
8．C
【解析】
【分析】
设三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r，由S△ABC=1 2
（AB+BC+CA）•r可求得半径，则可求得直径．【详解】
解：设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=7，BC=24，
∴=25，
设内切圆的半径为r，则S△ABC=1
2
（AB+BC+CA）•r，
∴1
2
AC•BC=
1
2
（AB+BC+CA）•r，即
1
2
×7×24=
1
2
×（7+24+25）•r，
解得r=3，
∴内切圆的直径是6步，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．9．C
【解析】
【分析】
根据抛物线的自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．
【详解】
∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3， 当x=3时，函数有最小值−4， ∵1≤x ≤6，
∴当x=6时，函数的最大值为14， ∴最大值与最小值的和为−4+14=10. 故答案选C. 【点睛】
本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据抛物线与取值范围求出最值. 10．D 【解析】 【分析】
由于反比例函数y ＝m 2
x
-的图象在二、四限内，则1-2m ＜0，解得m 的取值范围即可． 【详解】
由题意得，反比例函数y=m 2
x
-的图象在二、四象限内， 则m-2＜0， 解得m ＜2． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=
m 2
x
-（k≠0）中k 的取值，①当k ＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当k ＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限． 11．
513
【解析】 【分析】
过C 点作//C D A E ，根据C 岛在A 岛的北偏东50，C 岛在B 岛的北偏西40方向，即可
得出90A C B ∠=，根据三角函数s i n C A B ∠． 【详解】
过 C 点作 CD ∥AE ，如下图所示，
∵C 岛在A 岛的北偏东 50°，C 岛在B岛的北偏西 40°方向， AE∥CD， CD∥BF，∴∠EAC=∠ACD=50°，∠FBC=∠DCB=40°．
∴∠ACB=90°．
∴sin∠CAB=B C
A B
．
∵BC为5海里，AC为12海里，∴AB=13 海里．
∴sin∠CAB=B C
A B
=
5
13
．
故答案为：
5
13
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键突破口是通过作辅助线来构建出与条件和问题相关的直角三角形，然后通过解直角三角形来达到求出答案的目的．
12．3
【解析】
【分析】按顺序先进行绝对值的化简、二次根式的化简、负指数幂的运算，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】|﹣2|4+（1
2
）﹣1+tan45°
=2﹣2+2+1
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值的化简、二次根式的化简、负指数幂的运算、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
13．y=﹣5 x
【解析】【分析】
由小付的说法可知反比例函数过二四象限,由小楠的说法可知反比例系数的绝对值为5,则可求得答案.
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=k
x
(k≠0),
反比例函数图象与直线y=-x有两个交点,∴反比例函数图象过二、四象限, ∴k<0,
图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5,
∴k=5,
∴k=-5,
∴反比例函数解析式为y=
5
x -，
故答案为:y=
5 x -.
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，注意根据谈话得出性质求k.
14．4
【解析】
【分析】
分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，根据是的中点得到为
的中位线，然后设，，，根据，得到，最后根据面积求得，从而求得.
【详解】
分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，如图
点为的中点，
为的中位线，
，，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：. 【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变. 15．
4021
2
【解析】
根据已知给出的条件， 连续代入便寻找出规律，
当y 分别为1,3,5,…2011时,1x ,2x ,3x ,…,2011x ， 分别为6,2,
65,…,62011
， 再将2x ,3x ,…,2011x ， 分别代入y =
3
x
x ， 得：1y ,2y 3y ,…2011y ，
分别为135222，，,…
4021
2
，
∴则2011y =4021
2，
故答案为：4021
2
. 点睛：本题考查了反比例函数的性质，并且本题具有一定的规律性，要求解本题，找出规律是关键，要求学生在今后的学习中认真分析、总结所遇到的规律性问题. 16．-6
【分析】
把(－1，3)直接代入函数解析式y=2x 2＋bx-5，再解关于b 的方程即可． 【详解】
∵二次函数y=2x 2＋bx －5的图象过点(－1，3)， ∴()2
2153b ⨯---=， 6b =-， 故答案为 6.- 【点睛】
考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入二次函数解析式是解题的关键. 17．y ＝
12
x 2
【解析】
试题分析：抛物线左右平移规律是左加右减，y ＝1
2
(x －1)2＋2向左平移1个单位长度则 变成y=
12x 2＋2,再向下平移2个单位就得到y ＝12
x 2
18 30° 【解析】
试题解析：根据勾股定理，a .在Rt △ABC 中，1
sin 2
B ∠= ，所以30B ∠
=︒.
故本题的正确答案为30B ∠=︒ . 19．2x >，60x -<< 【解析】 【分析】
不等式可理解为一次函数大于反比例函数时对应x 的取值范围，从图像上看，就是一次函数在反比例函数图像上方，观察图像可得，一次函数在反比例函数上方时，对应的x 取值范围为﹣6＜x ＜0或x ＞2． 【详解】
由图像可得，不等式kx +b ＞
m
x
的解集为：﹣6＜x ＜0或x ＞2．故答案为﹣6＜x ＜0或x ＞2．
本题考查函数图像与不等式的关系，将不等式转化为两个函数之间比较大小是关键. 20．20x -<<或5x > 【解析】 【分析】 不等式kx+b-
m
x
＞0的解集就是一次函数的图象在反比例函数的图象上边时，对应的自变量x 的范围，由两函数的交点的横坐标即可得出结论． 【详解】
根据图象法可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象上边时，对应的自变量x 的范围是：-2＜x ＜0或x ＞5， ∴不等式kx+b ＞
m
x
的解集是：-2＜x ＜0或x ＞5． ∴不等式kx+b-
m
x
＞0的解集是：-2＜x ＜0或x ＞5． 故答案为-2＜x ＜0或x ＞5． 【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 21．
32
【解析】 【分析】
连接OD ，根据切线长定理求出BC=CD=3，根据勾股定理求出AB ，在Rt △ADO 中由勾股定理得出（4-R ）2=R 2+22，求出方程的解即可． 【详解】 连接O D ，
∵90C B A ∠=，O B 为半径， ∴C B 是O 切线， ∵AC 是
O 切线，
∴3C D C B ==， ∵235A C =+=，
∴在R t A C B 中，由勾股定理得：224
A B A CB C =-=， 设
O 半径是R ，
∵AC 是
O 切线，
∴90
A D O ∠=， ∴由勾股定理得：222
A O O D A D
=+， ∴222
(4)2
R R -=+， 3
2
R =
， 即
O 的半径是3
2
．
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理的应用，用了方程思想． 22．(1) 1sin 3A =
，42sin29
A =(2) …2c o s 212(s i n )A A =-或22(c o s )1A -或21132
ρ+=
【解析】
分析：(1) 作AB 边上的中线C E ，C D A B ⊥于D ，分别在Rt △ACD ，Rt △CED 中用三角形函数求解；（2）仿照题中求sin 2A 的方法求cos 2A .
详解：(1)作AB 边上的中线C E ，C D A B
⊥于D ，
Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC
＝，
sinA ＝
13B C A B ＝. 则1322
C E A B ＝＝，2C E
D A
∠＝，
C D A C s i n ＝
×13＝. 在R t C E D
∆中，
32392
C D s i n A s i n C E D C E ∠＝＝＝＝.
(2)则1
122
C E A B ＝＝，2C E
D A ∠＝，C D A C s i n A ＝，A C A B c o s A c o s A ＝＝， 所以AD ＝ACcosA ＝cos 2A ，D
E ＝AD －AE ＝cos 2A －12
. R t C E D
∆中， 2
21222112
c o sA D E c o s Ac o s C E D c o sA C E
∠--＝＝＝＝.
点睛：本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理结合三角形函数来解直角三角形.
23．（1）见解析；（2）1
3
【解析】
试题分析：（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验；
（2）根据树状图求得的两张卡片是同一种水果图片的可能性，再求比值即可求得． 试题解析：（1）方法一：列表得
C (C，A) (C，B) —(C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) —
方法二：画树状图
由树状图/表格可知，共有12种等可能结果；
（2）获奖励的概率：P=
4
12
=
1
3
．
24．(1) m=-1；(2) y=2x2-8x+6；(3)当1≤t＜3或t=13
4
时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公
共点.
【解析】
分析：（1）把A（-3，0）代入y=2x2+bx+6，即可求得b的值，从而求得解析式，令y=0，j 解方程即可求得m的值；
（2）根据C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，求得顶点M（-2，-2），即可求得点M关于y轴的对称点N（2，-2），由于a的值不变，根据顶点得出C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6；
（3）根据P、Q的坐标求得直线PQ的解析式，然后分三种情况讨论求得．
详解：（1）∵抛物线y=2x2+bx+6过点 A（-3，0），
∴0=18-3b+6，
∴b=8，
∴C1：y=2x2+8x+6，
令y=0，则2x2+8x+6=0，
解得x1=-3，x2=-1
∴m=-1；
（2）∵C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，
∴M（-2，-2），
∴点M关于y轴的对称点N（2，-2），
∴C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6，
（3）由题意，点A（-3，0）与D，点B（-1，0）与C关于y轴对称，
∴D（3，0），C（1，0），
∵P（t，0），Q（0，-2t），
∴PQ：y=2x-2t，
当PQ过点C时，即P与C重合时，t=1，
当PQ过点D时，即P与D重合时，t=3，
当直线PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点时，即方程2x2-8x+6=2x-2t中△=0，方程整理得x2-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0，
解得t=13
4
．
综上，由图得，当1≤t＜3或t=13
4
时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点．
点睛：本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数与几何变换，解一元二次方程，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
25．1 2
【解析】
分析：画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有两瓶为红枣口味的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中至少有两瓶为红枣口味的结果数为4，
所以该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率=41
=
82
．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
26．(1) B(2，0)(2) P(3，4)(3) 2 3
【解析】
【分析】
（1）将A的坐标代入，求出c即可得出点B的坐标，把a，c代入点C的坐标即可；（2）如图1中，作CE⊥AC交x轴于E，在x轴上取一点F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．当
FG 125
P到直线AC
125
，此时以P
12
5
5
与AC相切，想办法求出直线PF的解析式，利用方程组求交点P的值坐标即可．
（3）利用DR=DB得出点D的坐标，而点D在抛物线上，即可得出R的坐标，进而求出直线AR的解析式即可得出点E的坐标，求出EF、AB即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=a（x2﹣cx﹣2c2）=a（x+c）（x﹣2c），∴A（﹣c，0），B（2c，0），C（0，﹣2ac2），当A（﹣1，0）时，∴﹣c=﹣1，∴c=1，∴2c=2，∴B（2，0）．
故答案为（2，0）．
（2）∵a=1，c=1，∴B（2，0），C（0，﹣2），∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
如图1中，作CE⊥AC交x轴于E，在x轴上取一点F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．
当FG 125
时，点P到直线AC
125
此时以P
12
5
5
好与AC相切．
∵∠OAC=∠CAE，∠AOC=∠ACE=90°，∴△AOC∽△ACE，∴
A O A C =
A C A E
=
1
5
OC
EC
，∴=5
A E
=
2
E C
，∴AE=5，EC=25．
∵EC∥FG，∴
E C
F G
=
25
125
A E
A F
∴，
=
5
A F
，∴AF=6，∴F（5，0），b=10，∴直线PF的解
析式为y=﹣2x+10，由
2
210
2
y x
y x x
=-+
⎧
⎨
=--
⎩
，解得：
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
18
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
∵点P在第一象限，∴P（3，4）．
（3）如图2中，∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），∴D（c，
1
2
n）．
∵点D在抛物线y=a（x2﹣cx﹣2c2）上，∴a（c2﹣c2﹣2c2）=
1
2
n，∴n=﹣4ac2，∴R（0，﹣4ac2）．
∵A（﹣c，0），∴直线AR的解析式为y=﹣4acx﹣4ac2①．
∵点E在抛物线y=a（x+c）（x﹣2c）②上，联立①②得：E（﹣2c，﹣12ac2），∴EF=2c，AB=3c，∴
E F
A B
=
2
3
．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二元二次方程组等知识，解答本题的关键是把抛物线的解析式化成y=a（x2﹣cx﹣2c2）=a（x+c）（x﹣2c），利用了方程的思想求解问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．(1)
3
5
;(2)0.72;(3) x=4是原分式方程的解
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次拿出的两个球中时一红一黄的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）观察表格，即可求得答案；
（3）由共有（x+5）（x+4）取法，至少有一个球是白球的有：（x+5）（x+4）-20，可得
()()()()542054x x x x ++-++=
13
18
，继而求得答案．
【详解】
（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，一次拿出的两个球中时一红一黄的有12种情况， ∴一次拿出的两个球中时一红一黄的概率为：
1220=35
； （2）观察可得：至少有一个球是白球的概率是：0.72；
（3）∵共有（x+5）（x+4）取法，至少有一个球是白球的有：（x+5）（x+4）﹣20，
∴
()()()()542054x x x x ++-++=13
18
，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解． 【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 28．（1）﹣1，2，3；（2）a=13；（3）①a=﹣1
3
；②a=﹣1． 【解析】 【分析】
（1）y=ax 2+（1-a ）x+1-2a=a （x 2-x-2）+x+1，当（x 2-x-2）=0时，无论a 为何值始终经过定
点A和定点B，即可求解；
（2）当抛物线与x轴只有一个公共点时，△=0，即可求解；
（3）①A（-1，0），设C（x，0），AB所在的直线的k1值为1，BC所在的直线的k2值为：3
2a-1
2-
a
=3a，当k1•k2=-1即可求解；②设：∠ABD=90°，设：D（m，n），而，韦达定理得：
m•2=-42
a
a
+
，则m=-
2+a
a
，由y=ax2+（1-a）x+1-2a知，m=
a-1
2a
，即：-
2+a
a
=
a-1
2a
，即可
求解．
【详解】
解：（1）y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a=a（x2﹣x﹣2）+x+1，当（x2﹣x﹣2）=0时，无论a为何值始终经过定点A和定点B，则x=﹣1或2，则A（﹣1，0）、B（2，3）；
故：答案是﹣1，2，3；
（2）当抛物线与x轴只有一个公共点时，△=0，
即：（1﹣a）2﹣2a（1﹣2a）=0，解得：a=1
3
；
（3）①A（﹣1，0），设C（x，0），
由韦达定理：﹣1•x=1-2a
a
，则C（
1-2a
a
，0），
AB所在的直线的k1值为1，
BC所在的直线的k2值为：
3
2a-1
2-
a
=3a，
当k1•k2=﹣1时，AB⊥BC，解得：a=﹣1
3
；
②设：∠ABD=90°，
则直线BD所在直线方程的k=﹣1，其直线方程为：y=﹣x+5，将直线BD所在的方程与二次函数联立得：
ax2+（2﹣a）x﹣（4+2a）=0，
设：D（m，n），而B（2，3）
由韦达定理得：m•2=﹣42
a
a
+
，则m=﹣
2+a
a
，
由y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a知，m=a-1
2a
，
即：﹣2+a
a
=
a-1
2a
，
解得：a=﹣1．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。