湖北省宜昌市一中2020届高三高考压轴卷数学理试题(解析版)

开始
S=1
i=1
i=i+1
S=1+2S
? 输出S
是
结束
否
1
212
3
正视图
俯视图
第5题图
宜昌市一中2020届高三高考压轴卷理科数学
数 学（理工类） 解析见后
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2
a a N =，若M N N =,则a 的值是 （ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1
2.复数2013
21
i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）
A ．15
i
B ．
15
C ． 15
i -
D ．15
-
3．“,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
”是“方程22
cos 1x y α+=表示焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.设非零向量a b c 、、，满足||||||a b c ==，||||a b c +=，则sin ,a b <>= ( ) A ． 12-
B ．12
C ．32-
D ．3
2
5.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，
则其侧视图．．．
的面积为（ ） A ． 32 B ．338 C ．34 D ．32
6．如下图，是把二进制数(2)1111化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（ ）
A ．3i >
B ．3i ≤
C ．4i >
D ．4i ≤
7.已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的部分图像如图，
则
2013
1
(
)6n n f π
==∑（ ） A ．1- B ． 1
2 C ．1 D ．0
8. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于．．．
半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A ．
332 B ．33 C ．2
3
3 D ．36 9.宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ ） A ．36 B ．42 C ．48 D ．54
10.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得
0 1 2 3 4 4.5 用水量(吨)
频率组距
0.08
0.16 0.30 0.44 0.50 0.5
1.5
2.5
3.5 第13题图
()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个
“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；② 2
()f x x =是一
个“λ的相关函数”；③ “1
2的相关函数”至少有一个零点.
其中正确．．
结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．
的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 （一）必考题
11. 261
()x x
-的展开式中的常数项为______.
12.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25
2cm 与49 2
cm 之间的概率为 ．
13．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是 ______；中位数是 ______.
14. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角
为 120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成 两条长度均为原来
1
3
的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为 120°；；依次规律得到n 级分形图. 则（1）n 级分形图中共有 条线段. （2）n 级分形图中所有线段长度之和为 .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）
15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆
心O ，已知0
30BPA ∠=，23PA =，1PC =，则圆O 的半径等于 .
16．（选修4—4：坐标系与参数方程）设A 、B 分别为直线
103:(3x t l t y t
=-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）和曲线C ：4cos ρθ=上的点， 则AB 的最小值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分）
P
G F
E D C B A 已知函数2()2sin(2)2sin ,0,62f x x x x π
π⎡⎤
=-+
-∈⎢⎥⎣⎦
（1）求函数()f x 的值域；
（2）记ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、
、，若()1,1,32
B
f b c ===求a 的值．
18.（本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3 项和3S ＝9，且1a 、2a 、5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .
（2）设n T 为数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和，若1n n T a λ+≤对一切n N *∈恒成立，求实数 λ的最小值.
19．（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点．
（1）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由．
（2）当二面角B PC D --的大小为2π
3时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．
20．（本小题满分12分）
在我校第十六届科艺读书节活动中，某班50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
答对题目个数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
根据上表信息解答以下问题：
（1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率； （2）从50名学生中任选两人，用X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X
的分布列及数学期望()E X .
21．（本小题满分13分）
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
第21题图
y
O 2F 1F M
N
G
H A x 如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与抛物线2
4y x =中两段曲线弧合成，12F F 、
为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，25
2
AF =．
（1）求椭圆的方程；
（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则[][]22
1
1
()()()()()b
t t a
t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕ'==⎰
⎰⎰（其中12()()a t b t ϕϕ==、
）． 如
1
2
2
2
22
22
1cos 211sin (sin )cos (sin )cos 2
t
x dx td t t t dt tdt dt ππ
ππ+'-=-===⎰
⎰
⎰⎰⎰． 阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．
（3）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、
、、四点，P 和P ' 分别为NG MH 、的中点，问2
2
MH PF NG P F ⋅
'是否为定值？若是，求出该定值；若不是， 说明理由．
22. （本小题满分14分）
已知函数()||ln (0),()1()f x x a x x h x ax a R =-->=-∈.
（1）若1a =，求()f x 的单调区间及()f x 的最小值； （2）若0a >，求()f x 的单调区间；
（3）若22
2222ln 2ln 3ln ()(21)
232(1)
n h n n n n +++
+<+，求a 的最小正整数值.
湖北省宜昌市一中2013届高三高考压轴卷理科数学详细解答
1. [答案]C
解析：a ＝0或1都不符合，因为集合N 有两个相同元素，所以，a 只能为－1，选C 。

2.[答案]D
解析：原式＝
4503()(12)21
12555
i i i i i i --==--+，选D 。

3.[答案]A
解析：当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，22
cos 1x y α+=表示焦点在x 轴上的双曲线，反过来，则不一定，α也
要以在第三象限，故是充分不心要条件。

4.【答案】D.法一:【解析】∵||||a b c +=∴||||||a b c a +==，∴解得：2
22||a b b b ∙=-=-
∴2
1
cos ,2||||||
a b a b a b a b b ∙∙<>=
==-∴3sin ,2a b <>=法二:利用向量几何意义画图求解. 5.【答案】C
6.[答案]A （教材必修3，41P 页例4改编）
7.【答案】C 【解析】根据图像
1254126πππω⨯=-，解得2ω=，把点(,1)6
π的坐标代入，得1sin(2)6
π
ϕ=⨯
+，结合2
π
ϕ<
得6π
ϕ=
，故()sin(2)6
f x x π
=+
，
213145161()1,(),(),()1,(),()6626266262
f f f f f f ππππππ===-=-=-=， 函数的最小正周期是π，在一个周期内的各个函数值之和为0，201363353=⨯+， 2013
1
()(2011)(2012)(2013)(1)(2)(3)16i n f f f f f f f π==++=++=∑。

8【答案】 B(教材选修4-510P 页第14题改编）【解析】设该三棱柱的底面边长为a ，高为h ，则底
面正三角形的外接圆半径是2sin 603a a =，依题意有()
22
2
323a h ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即22
1912
a h +=，
222222313181812181812a a h a a h =++≥⨯⨯，当且仅当22
1812
a h =，即6a =，2h =时取等号，此时2a h 取
得最大值，因此该棱柱的体积234a h 的最大值是3
62334
⨯⨯=.
9
10.【答案】A ①设()f x c =是一个“λ的相关函数”，则()10c λ+=，当1λ=-时，c 可以取遍实数集，因此()0f x =不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”故①不正确. ②假设
2()f x x =是一个“λ的相关函数”,则()22120x x λλλ+++=对任意x 都成立,所以
2120λλλ+===,而此式无解,所以2()f x x =不是一个“λ的相关函数”, 故②不正确; ③令
x =0,得11()(0)022f f +=,所以11
()(0)22f f =-,显然()0f x =有实数根;若
(0)0f ≠,21
().(0)(0)0.2
f f f =-<又因为()y f x =的图象是连续不断的,所以()f x 在
10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上必有实数根.因此“12的相关函数”必有根,即“12的相关函数”至少有一个零点.故③正确.
二填空题 11. 15 12【解析】∵以线段AC 为边的正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间∴线段AC 的长介于5 cm 与7 cm 之间满足条件的C 点对应的线段长2cm 而线段AB 总长为10 cm 故正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率P=
=
13. [答案]C 解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为
2 2.5
2.252
+=中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为
0.0120.5 2.020.25
+⨯=
14.[答案]（1）()
321n
-；（2）2913n
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，依题意，（1）记n 级分形图中共有n a 条线段，
则有13a =，，1
132n n n a a ---=⋅，由累加法得
121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=1
3(122)n -++
+=1233(21)12
n
n -⋅=--
（2）n 级分形图中所有线段的长度和等于
1
1
1
13132323
3n n --⎛⎫⨯+⨯⨯+
+⨯⨯=
⎪⎝⎭231323912313
n
n ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 15. 7; 16: 4
17.解：（1）x x x f 2sin 2)62sin(2)(-+
-=π)2cos 1()6
sin 2cos 62(sin 2x x xcox --+-=π
π )2cos 212sin 23(2cos 1x x x +-+=12sin 232cos 21+-=x x 1)32cos(++=π
x …4分
[0,]2x π∈，42[,]333x πππ∴+∈，1cos(2)[1,]32
x π∴+∈-，
所以函数)(x f 的值域是3
[0,]2
；……………………………… …………6分
故a 的值为1或2. ………………………………………… ………………12分
18.
14n n
+ 在[)1+∞， 单调递增,111299λλ∴≥，则的最小值为
分
19.（1）当G 为EC 中点，即3
4
AG AC =
时，FG ∥平面PBD ，理由如下：连结PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG PE ∥，而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故FG ∥平面PBD ． （2）作BH PC ⊥于H ，连结DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB PD =，又∵BC DC =，PC PC =，∴PCB PCD △≌△，
∴DH PC ⊥，且DH BH ⊥，∴BHD ∠是二面角B PC D --的平面角， 即2π
3BHD ∠=，∵PA ⊥
面ABCD ，∴PCA ∠就是PC 与底面ABCD 所成的角连结EH ，则E H B D ⊥，
π
3
BHE ∠=，EH PC ⊥，∴tan 3BE BHE EH ∠==，BE EC =∴3EC
EH
=，∴3sin 3EH PCA EC ∠=
=，∴2tan 2PCA ∠=∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是2
2
．另解：用向量法请参照给分.
20．解（1）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A ，则 2111120101520152
50
()C C C C C P A C ++=190150300128
2549245++==⨯ （5分） 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为128
245
……………………（6分）
（2）依题意可知X 的可能取值分别为0，1，2，3.
则2222
51020152
503502
(0),12257C C C C P X C +++====………………………（7分） 111111
510102020152
5055022
(1),122549C C C C C C P X C ++====……………………（8分） 1111
52010152
5025010
(2),122549C C C C P X C +====………………………………（9分） 11
5152
50753
(3).122549
C C P X C ====…………………………………………（10分） 从而X 的分布列为：
X 0 1 2 3 …………（11分）
P
27 2249 1049 349 X 的数学期望22210
351
0123
.74949
4949EX =⨯+⨯+⨯+⨯=……………（12分） 21解答：（Ⅰ）由2
4y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(,6)2A
又1(1,0)F -，所以1275
2622
a AF AF =+=+=，故椭圆为
22198x y +=． 5分 （Ⅱ）由
22198x y +=知，2889y x =±-，令3sin ()26
x t t ππ
=-≤≤ 32213889S x dx -=-=⎰26288sin (3sin )td t ππ--=⎰2
6262cos tdt ππ-=⎰62
32(1cos2)t dt π
π-+⎰
62
13632(sin 2)|2224x x π
ππ-=+=+
；333222
20044()|63S xdx x ===⎰根据对称性， “盾圆C ”的面积为126
2()422
S S π-=-
．8分（Ⅲ）设过2F 的直线为1(0)x my m =+≠， (,)(,)(,)(,)M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y 、、、
联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，则2216896489M H M H m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
联立2
1
4x my y x
=+⎧⎨
=⎩，得2
440y my --=，则44
N G N G y y m
y y +=⎧⎨
=-⎩
由M N G H P P '、、、、、共线，所以2222N G
M H M H
N G y y MH PF y y y y NG P F y y +-⋅=⋅+'-
代入韦达定理整理得，
2222
2
2
2(16)464(89)
4893161616
89
m m MH PF m
m m NG P F m m +⨯++⋅=⋅
='++
故
2
2
MH PF NG P F ⋅'为定值3． 13分 22.解：（1）当1≥x 时，x x x f ln 1)(--=，01
)('≥-=
x x x f ，)(x f 在[)+∞,1上递增， 当10<<x 时，x x x f ln 1)(--=，01
1)('<--=x
x f ，)(x f 在()1,0上递减，
0)1()(min ==f x f （4分）（ 2 ） ①若1≥a ，当a x ≥时，
01
)(,ln )('≥-=--=x
x x f x a x x f ，则)(x f 在区间, [)+∞,a 上递增，当a x <<0时，
x x a x f ln )(--=，01
1)('<-
-=x
x f ，则)(x f 在区间()a ,0上递减 （6分）② 若10<<a ，当a x ≥时，x
x x f x a x x f 1)(,ln )('-=--=则：1>x 时，'
()0f x >，1a x ≤<时，'()0f x <，所以)(x f 在[)+∞,1上递增，在[)1,a 上递减;
当0x a <<时x x a x f ln )(--=,'1
()10f x x
=--<则)(x f 在()a ,0上递减，而)(x f 在
a x =处连续，所以)(x f 在[)+∞,1上递增，在()1,0上递减 （8分）
综上：当1≥a 时，增区间[)+∞,a ，减区间()a ,0．当01a <<时，增区间[)+∞,1，减区间()1,0
（12分）（3）由（1）可知，当1,1a x =>时，有1ln 0x x -->，即ln 1
1x x x
<- 所以222232222
ln 2ln 3ln 111
...11...12323n n n +++<-+-++- )1
...3121(1222n n +++--= 1111...2334(1)n n n ⎡⎤<--+++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+---=111...413131211n n n ()()()121211121
1++-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=n n n n n
（13分）要使)1(2)
12)(1(ln 33ln 22ln 2
22222++-<+⋅⋅⋅++n n an n
n ，2,≥∈+n N a
只需1≥a ，所以a 的最小正整数值为1 （14分）。