2011级高数(上)试题及答案

2011级高数(上)试题及答案D
（B ）)(x f 在0x 点有定义；
（C ）
)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =
4．若3
1
4lim 1
x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设x
e
2为
)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）
（A ）C e x +22
1 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-222
1 （D ）C e xe x x +-22
2 三、计算题（每小题 6分，共30分）
1．求极限
22
sin lim
2sin x x x x x x →-+
2．求极限cot 0
lim(cos )x
x x →
3．计算⎰
dx x sin
4．计算 22(1)x x
x e
dx ++⎰
5．计算
dx x x ⎰
-3 0
22
四、解答题（每小题 8分，共 16 分）
1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-2
20cos y a
x
t
dt t dt e
确定，求
dx dy 和22d y
dx
2．设232,sin 10y x t t dy
dx e t y ⎧=+⎨-+=⎩
求
五、应用题（每小题 8分，共 16 分）
1．求曲线
5
3
(1)y x x
=-的凹凸区间及拐点
2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．
六、证明题（本题满分8分）
设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，
使得：dx x f g dx x g f a
b
⎰
⎰=ξξξξ
)()()()
(．
南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案
一、
填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 设2
()x
f x e =，则[()]f f x =
2
2x e
e
2. 若
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0
,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。

3.
=
++-⎰
-dx x x x )11(231
1
22
π。

4. 设
)(x f 在0x =处可导，且0)0(=f ，
则0(2011)()
lim x f x f x x
→-= ()
20100f '。

5. 设
(0)a
x y a a =>，
则dy =
11
ln a x a a
x adx +-.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 设1
(1),()x f x dx xe C f x ++=+⎰
则为（ A ）. （A ）x
xe
（B ）1
+x xe
（C ）x
e x )1(+ （D ）1)1(++x e x
2．设11x
x
α-=+，31x β=-，1x →当时，α是比β的
（ B ）
（A ）高阶无穷小 （B ）非等价的同阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）低阶无穷小
3．若0
lim ()x x
f x k →=，则必有（ C ）
（A ）)(x f 在0x 点连续；
（B ）)(x f 在0x 点有定义；
（C ）
)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =
4．若3
1
4lim 1
x x ax b x →-++=+，则（ C ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b =
（C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =-
5．设x e 2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ D ）
（A ）C e x +22
1 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-222
1 （D ）C e xe x x +-22
2 三、计算题（每小题 6分，共30分）
1．求极限2
20
sin lim
2sin x x x x x x
→-+
解:
32200sin 2sin lim lim 22sin x x x x
x x
x x x x
→→--=+ 2
021cos lim 23x x x →-==2
201222lim 2312x x x →=；
2．求极限cot 0lim(cos )
x
x x →
解:
cot cot lncos 0
lim(cos )
lim x
x x
x x x e
→→=
又000cos ln cos ln cos limcot ln cos lim lim sin sin x x x x x x
x x x
x →→→==
20sin lim 0
cos x x x
→-== 原式=1； 3．计算⎰
dx x sin
解: 令
x t =，则2x t =，2dx tdt =
sin
2sin 2(cos )xdx t tdt td t ==-⎰⎰⎰
2cos 2cos 2cos 2sin t t tdt t t t C =-+=-++⎰
cos 2sin x x x C =-++；
4．计算 22(1)x x
x e
dx ++⎰
解:
222222
211(1)(2)22
x x
x x x x x e
dx e d x x e C
++++=+=+⎰⎰5．计算
dx x x ⎰
-3
22
解:
3
2
3
22
20
2
2(2)(2)x x dx x x dx x x dx -=--+-⎰
⎰⎰
33
222
3
02
8()()
33
3
x x x x =--+-=；
四、解答题（每小题 8分，共 16 分）
1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-2
20cos y a
x
t
dt t dt e
确定，求dx dy 和22d y
dx
解: 方程两边求导为
2
2
2cos 0
y dy e
y x dx
--= 所以2
22
2
cos cos 22y y dy x e x
dx y ye
-==；
2
22222
22
(22sin )cos 2y y y dy dy ye e x x y e x d y dx dx dx y --=
2
2
2
22
222
23
2sin (12)cos 4y y d y xye x y e x
dx y
+-∴=- 2．设232,sin 10y x t t dy
dx e t y ⎧=+⎨-+=⎩
求
解:
62,dx
t dt
=+ sin cos 0y
y dy dy e t e t dt dt
+-=⇒
cos cos 1sin 2y y
y
dy e t e t dt e t y
==--
dy dy dt dx
dx dt
==cos cos 262(62)(2)y
y
e t
e t
y t t y -=++-；
五、应用题（每小题 8分，共 16 分）
1．求曲线53
(1)y x x
=-的凹凸区间及拐点
解:
52
3
3
5
(1)3
y x x x
'=+-， 221
333
5510
(1)339
y x x x x -''=++-
13
10(41)9x y x
-''⇒=
令1
04y x ''=⇒=，又
53
(1)y x x
=-
在
0x =处二阶导数不存在，
当0x <时，0y ''>，所以5
3
(1)y x x =-的图形 在(,0]-∞上是凹的，
当1
04
x <<时，
0y ''<，所以53
(1)y x x
=-的图形
在1
[0,]4
上是凸的，
当1
4
x >时，0y ''>，所以53
(1)y x x =-的图形
在1[,)4
+∞上是凹的， 所以凹区间为(,0]-∞，1
[,)4
+∞；凸区间为1[0,]4
拐点为(0,0)和3134
(,464
-。

2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．
解:
(0,1)(1,)f D =+∞
2
ln 1ln x y x -'=，由
0y x e
'=⇒=
当
01x <<或1x e <<时，，0y '<
所以函数x
x
y ln =在(0,1)和(1,)e 上单调递减，
当x e >时，0y '>，
所以函数x
x
y ln =
在[,)e +∞上单调递增， 所以函数x
x
y ln =在
x e =处有极小值e 。

六、证明题（本题满分8分）
设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，
使得：dx x f g dx x g f a
b
⎰
⎰=ξξξξ
)()()()(．
证明：
设()()()x
b
a x
x f t dt g t dt ϕ=⎰⎰，
则()x ϕ在[,]a b 上可导，
且()()()()()b x
x
a
x f x g t dt g x f t dt ϕ'=
-⎰⎰，
又()()0a b ϕϕ==， 所以由罗尔定理可知，
(,)a b ξ∃∈使()0ϕξ'=，
即()()()()0b a f g t dt g f t dt ξ
ξξξ-=⎰⎰ 也即()()()()b
a f g x dx g f x dx ξ
ξξξ=⎰⎰。