高中数学专题复习4绝对值不等式
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第一章 集合与简易逻辑
1.4 含绝对值的不等式的解法
一、目标:1.掌握不等式的基本性质及绝对值的意义。
2.理解含绝对值的不等式(0)x a a <>与(0)x a a >>的解集的直观意义。
3.掌握| a x + b |<c 、| a x + b | >c ( c >0 ) 型的不等式的解法。
4.掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式
二、内容:
1、不等式的基本性质:
(1)a b b a >⇔< (2)a b a c b c >⇔+>+
(3),0a b c ac bc >>⇔>(4),0a b c ac bc ><⇔<
2、绝对值的意义:
(1)代数意义:(0)(0)x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩
(2)几何意义:x 表示数轴上x 的对应点P 与原点O 的距离|OP|
3、简单的绝对值不等式:
取a =2, 则不等式|x|<2的解集表示数轴上到原点O 的距离小于2的所有点 对应的实数x 。
于是不等式的解集为{}22|<<-x x 。
归纳:不等式(0)x a a <>的解集为{}a x a x <<-| ,
不等式(0)x a a >>的解集为{}a x a x x >-<或| 。
形如)0(><+c c b ax 不等式的解法。
可利用ax b +替换 x c <中的x 得
c ax b c -<+<即 .ax b c ax b c +<⎧⎨+>-⎩
同理,)0(>>+c c b ax 的解法如下:.c b ax c b ax >+-<+或
4.推广:()f x a <,(0)a >;()f x a <,(0)a >;()a f x b <<, ()a b <
5.含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值; ○2应用数形思想; ○
3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)
()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 5.应用:
例1.(1)解不等式4<|1-3x|≤7
(2)解不等式3122
x
x ≥+- (3)解不等式|6-|2x +1||>1
(4)设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},求a ,b
(5)解不等式|x -5|-|2x +3|<1
(6)已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是①非空集合(恒有解);②解集为空集;③恒有解,求实数a 的取值范围(如果把小于号变成大于号呢?)
(7)解不等式|x +1|>2-x .
(8)解关于x 的不等式:
①|2x -1|<2m -1(m ∈R) ②|ax -1|<2m -1(m ∈R,a ≠0)
例2.已知{}112,A x mx m m R =-<-∈,{}21B x x =-<,A B ⊆,求m 的取值范围。