2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高一上学期第二次(12月)月考数学试题(解析版)

宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一上学期第二次（12月）月考数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设全集U是实数集R，，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，或，
或，
，
．
故选：B．
先确定M，然后求即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.给出下列四个命题，其中正确的个数为
两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面；
一条直线和一点确定一个平面经过三点确定一个平面
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】解：两条相交直线确定一个平面；符号直线与平面的性质定理，可得：正确；
两条平行直线确定一个平面；符号直线与平面的性质，正确；
一条直线和一点确定一个平面当点在直线上时，不能确定一个平面，所以不正确；
经过三点确定一个平面，如果3点，不在一条直线上时，确定一个平面，所以不正确；
故选：C．
利用直线与平面的性质，判断选项的正误即可．
本题考查直线与平面的想走的路的应用，命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
3.用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则此圆柱的底面半径是
A. 2
B.
C. 或
D. 或
【答案】C
【解析】解：若以边长8为底面圆周长，
则圆柱的底面周长为，
解得；
若以边长4为底面圆周长时，
则圆柱的底面周长，
解得；
综上，圆柱的底面半径是或．
故选：C．
推理以边长8为底面圆周长和以边长4为底面圆周长时，求出圆柱的底面半径即可．本题考查了圆柱的结构特征与应用问题，圆柱的底面周长等于侧面展开图中底边长是解题的关键．
4.下列叙述中，正确的是
A. 因为，，所以
B. 因为，，所以
C. 因为，，，所以
D. 因为，，所以且
【答案】D
【解析】解：因为，，所以，故A错误；
因为，，所以或，故B错误；
因为，，，所以，故C错误；
因为，，所以且，故D正确．
故选：D．
因为，，所以；因为，，所以或；因为，，，所以；因为，，所以且．
本题考查命题的真假判断，是基础题解题时要认真审题，仔细解答．
5.已知函数为奇函数，当时，，则当时，函数的最
大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数在R上为奇函数，；
且时，，
则当时，，
时，函数的最大值为．
利用函数的奇偶性直接求解函数的解析式，即可求出当时，函数的最大值．本题考查当时，函数的最大值，考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．
6.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，
其中，，，则直角梯形DC边的长度是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，
如右图：
按照斜二测画法画出它的直观图，
，，，
直角梯形ABCD中，，，
，，
过D作，交BC于E，则，
，
直角梯形DC边的长度为：．
故选：B．
由已知直角梯形ABCD中，，，，，由此能求出直角梯形DC边的长度．
本题考查直角梯形中斜边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜二测画法的合理运用．
7.根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：令，
由表知，，
方程的一个根所在的区间为．
本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答．
本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力值得同学们体会和反思．
8.幂函数的图象过点，则
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】解：函数是幂函数，
，
幂函数的图象过点，
，得，
则．
故选：C．
由函数是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数，再将点的坐标代入可得值，从而得到幂函数的解析式．
本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．
9.某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体
积单位：是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆
锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2
的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为
3，
故该几何体的体积为
，
故选：A．
根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．
10.在同一坐标系中，函数与函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：由函数，底数小于1，单调递减；恒过；
函数的图象，底数大于1，单调递增；恒过；
综上可知在同一坐标系中，正确的是C；
故选：C．
根据指数、对数函数的图象单调性即可得答案；
本题考查了指数、对数函数的图象问题，属于容易题．
11.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其
下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺注：1丈等于10尺
A. 29尺
B. 24尺
C. 26尺
D. 30尺
【答案】C
【解析】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边即木棍的高长24尺，另一条直角边长尺，因此葛藤长尺．
故选：C．
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边即木棍的高长24尺，另一条直角边长尺，利用勾股定理，可得结论．
本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．
12.已知函数且满足：对任意实数，，当
时，总有，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意可得函数在上是减函数．
令，则函数t在上是减函数，且
由复合函数的单调性规律可得，且．
解得，
故选：D．
由题意可得函数在上是减函数令，则函数t在上是减函数，
由复合函数的单调性规律可得，且，由此求得a的范围．
本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数，则______．
【答案】
【解析】解：函数，
，
．
故答案为：．
推导出，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.若函数的零点在区间，内，则______．
【答案】2
【解析】解：因为函数与都是定义域上的增函数，所以函数
也为定义域上的增函数．
因为，，
所以由零点存在性定理可得函数的近似解在区间上，所以．故答案为：2．
确定函数也为定义域上的增函数计算
，，由零点存在性定理可得函数的
近似解在区间上，即可得出结论．
本题考查零点存在性定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______．
【答案】
【解析】解：由正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面的面积最大为．
故答案为：．
画出直观图，利用几何体的图形，判断求解三棱柱最大侧面的面积．
本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查数形结合以及计算能力．
16.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的表面积
为______．
【答案】
【解析】解：设外接球半径为r，则，故球．
故答案为：．
设出球的半径，利用长方体的对角线就是球的直径，求出球的半径，即可得到球的表面积．
本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，球的直径与长方体的对角线的关系是解题的依据，考查计算能力，转化思想．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.化简与求值
化简：
求值：
【答案】解：
．
．
【解析】利用指数的性质、运算法则直接求解．
利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.已知，，且
令函数，求的定义域；
若，解关于x的不等式
【答案】解：，
，
解得，
函数的定义域是；
若，则在定义域内是减函数，
关于x的不等式为，
，
解得，
所求不等式的解集为
【解析】根据对数函数的定义域列不等式组求得的定义域；
根据时是减函数，把不等式化为，
求出不等式组的解集即可．
本题考查了对数不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所获的利润依次为万元和万元，它们与
投入的资金万元的关系，据经验估计为：，今有3万元资金投入经销甲、乙两种商品，为了获得最大利润，应对甲、乙两种商品分别投入多少资金？总共获得的最大利润是多少万元？
【答案】解：设投入甲商品x万元、投入乙商品万元，共获得利润y万元分
则分
由于，所以当时，分
答：应投入甲商品1万元、投入乙商品2万元，共获得最大利润7万元分
【解析】对甲乙分别投入x，万元，根据经验公式，可建立利润函数，利用换元法转化为二次函数，采用配方法可求函数的最值．
本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查利用函数模型解决实际问题，关键是利用经验公式建立利润函数关系．
20.如图所示，在四边形ABCD中，，
，，，，求四边
形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
【答案】分
解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，
表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面
．
圆台圆锥
【解析】四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面，圆台圆锥，进而得到答案．
本题考查的知识点是旋转体，圆台和圆锥的体积和表面积，难度中档．
21.已知函数
当时，解不等式；
写出该函数的单调区间；
若函数恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．
【答案】解：当时，，
解得，
综上，，
故解集为；
函数的图象如右图，
函数的单调递减区间是，
单调增区间是及；
作出直线，
函数恰有3个不同零点等价于
函数与函数的图象恰有三个不同公共点．
由函数
又，，
．
【解析】由时的函数表达式，通过指数函数的单调性解出不等式即可；
画出函数的图象，通过图象观察即可；
作出直线，函数恰有3个不同零点等价于函数与函数的图象恰有三个不同公共点由图象观察即可得到．
本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，以及函数的图象交点个数，注意运用数形结合的思想方法，是迅速解题的关键．
22.已知函数，在R上是单调递增的函数．
判断函数的奇偶性，并说明理由．
对于任意，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】解：根据题意，函数，其定义域为R，
有，
则函数为奇函数；
由的结论，为R上的奇函数，
则
，
又由在R上是单调递增的函数，则有，在恒成立即，在恒成立，
设，则等价为即可．
即，
当，则函数的最小值为，得，不成立，当，则函数的最小值为，得，当，则函数的最小值为，可得，
综合可得：m的取值范围为：．
【解析】根据题意，由函数的解析式可得，由函数奇偶性的定义分析可得答案；
根据题意，结合函数的奇偶性以及函数的单调性分析可得：原不等式等价于
，在恒成立，设，则等价为即可利用二次函数闭区间上的最值求解即可得答案．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．
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