北京市大兴区2016届高三上学期期末测试数学理试题

大兴区2015~2016学年度第一学期期末检测试卷
高三数学（理科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知{(1)0}M x x x =-<，{0}N x x =>，则M N 等于 （A ）(0,1) （B ）(0,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞ （D ）(,1)(1,)-∞+∞ （2）双曲线222x y -=的一条渐近线的方程是
（A ）y = （B ） y x =
（C ）y x =- （D ） 2y x =-
（3）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(1,1)-内有零点的函数是 （A ）3
y x =- （B ）12-=x y
（C ）2
12
y x =- （D ）2log (2)y x =+
（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A ） 3 （B ） 6 （C ） 9 （D ） 12
（5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则αβ⊥是m β⊥的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足2AP PM = ，则()PA PB PC ⋅+=
（A ）4
9- （B ）43
- （C ）
43 （D ） 4
9
（7）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其
中0A >，0ω>，-ππϕ<<），那么中午12时温度的近似值（精确到1C ︒
）是
（A ）25C （B ）26C （C ）27C （D ）28C
（8）若0a ≥，0b ≥，且当x ，y 满足0
02x y x x y -⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥≤≤时，恒有1ax by +≤成立，则以,a b 为
坐标的点(,)P a b 所构成的平面区域的面积等于 （A ）1 （B ）
12 （C ）34 （D ）38
第二部分（非选择题 共110分）
二．填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）0.32a =，1
ln 2b =，sin1c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是 .
（10）直线y x =被圆22230x y y +--=截得的弦长等于 ．
（11）已知数列{}n a 是等差数列，公差0d ≠，11a =，1a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}
n a 的公差d 等于 ；前n 项和n S 等于 .
（12）ABC ∆错误！未找到引用源。

中，2a =
，b =，60B = 错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的面积等于 ．
（13）某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同
去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 种．（用数字作答） （14）在测量某物体的重量时，得到如下数据：129,,a a a ⋅⋅⋅，其中129a a a ⋅⋅⋅≤≤≤，若用a
表示该物体重量的估计值，使a 与每一个数据差的平方和最小，则a 等于 ；若用b 表示该物体重量的估计值，使b 与每一个数据差的绝对值的和最小，则b 等于 ．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）已知函数2
()cos cos f x x x x +. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求)(x f 在区间π
[,0]2
-上的最大值与最小值.
（16）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：
（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值X 甲与X 乙及方差2甲s 与2
乙s 的大小；
（只需写出结论）
（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：
根据所给数据，频率可以视为相应的概率．．．．．．．．．．．
. （ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C ：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C 发生的概率；
（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X 为学业水平优秀的人数，求X 的分布列和数学期望. （17）如图，在三棱锥K ABC -中，平面KAC ⊥平面ABC ，KC AC ⊥，AC AB ⊥,H 为KA
的中点，KC AC ==2AB =. （Ⅰ）求证：CH ⊥平面KAB ；
（Ⅱ）求二面角H BC A --的余弦值； （Ⅲ）若M 为AC 中点，在直线KB 上 是否存在点N 使MN ∥平面HBC ,
若存在，求出KN 的长，若不存在，说明理由.
（18）已知函数2
()22a f x ax a x
-=+
+-(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()2ln f x x ≥错误！未找到引用源。

在[1,)+∞错误！未找到引用源。

上恒成立，求a 的取值范围.
（19）已知椭圆:G 22
221(0)x y a b a b
+=>>
上的点M
到两焦点的距离之和等于（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m (不经过点M )与椭圆交于,A B 两点，与直线l ：
4x =相交于C 点，记直线,,MA MB MC 的斜率分别为123,,k k k .求证：12
3
k k k +为定值.
（20）若数对(,)a b (1,1,,a b a b *>>∈N )，对于m ∀∈Z ，∃,x y ∈Z ，使m x a y b =+成立，则称数对(,)a b 为全体整数的一个基底，(,)x y 称为m 以(,)a b 为基底的坐标； （Ⅰ）给出以下六组数对(2,3)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,12)，(9,17)，写出可以作为全体整数基底的数对；
（Ⅱ）若(,)a b 是全体整数的一个基底，对于m ∀∈Z ，m 以(,)a b 为基底的坐标(,)x y 有多少个？并说明理由；
（Ⅲ）若(2,)m 是全体整数的一个基底，试写出m 的所有值，并说明理由.
2015~2016期末考试参考答案与评分标准
高三数学（理）
一、选择题（每小题5分，共40分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
（9） b c a << ;（10） （11） 217,48
n n
+（第一个空3分，第二个空2分）
（12）
; （13）600; （14）1299
a a a ++⋅⋅⋅+，5a （第一个空3分，第二个空2分） 三、解答题（共80分）
（15）(I) 2()cos cos f x x x x +
11
2cos 222
x x =
++， ……2分 1
sin(2)62
x π=++. ……4分
所以22
T π
=
=π. ……5分 令222(k Z),262k x k πππ
π-+π+∈≤≤ ……6分
得: (k Z).36k x k ππ
π-π+∈≤≤ ……7分
所以)(x f 得最小正周期为π，单调递增区间为[,](k Z).36k k ππ
π-π+∈ ……8分
(II)因为0,2x π
-≤≤
所以52,666
x πππ
-
+≤≤ ……2分 因此，当π262x π+=-，即π3x =-时，()f x 的最小值为1
2
-； ……4分 当π
266
x π+
=，即0x =时，()f x 的最大值为1. ……5分 16. （Ⅰ）乙甲X X > ……2分
22
s s <甲乙
……4分 （Ⅱ）（1）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；
记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀； )
()()()()()()()()()
()(231312231312231312B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A B A B A P C P ++=++== 则
20
9
2052092052092012⨯
+⨯+⨯= 200
99
=
……4分 （2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为
4
1， 则X =0，1，2，)4
1
,2(~B X
16
9)43()0(2
02===C X P ……1分
8
31664341)1(1
2
==⋅==C X P ……2分 16
1)41()2(2
22===C X P ……3分
则X 的分布列为：
……4分
2412=⨯
==np EX (或216
1
28311690=⨯+⨯+⨯=EX ) ……5分 17.（Ⅰ）KAC ABC AB AC ⊥因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线
AB KAC ⊥所以平面 …… 1分
AB CH ⊥所以 …… 2分
CK=CA H AK CH AK ⊥因为，为中点 所以…… 3分 AB AK=A CH AKB.⋂⊥因为，所以平面 …… 4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A -xyz ,
0,0,02,0,00,2,00,2,20,1,1A B C K H 则（），（），（），（），（）
0,1,12,2,0CH=BC=- 所以（）, （-）
…… 1分 (,,),
HBC n x y z = 设平面的法向量为 00CH n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
则即0
220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩
(1,1,1)y z x n =
令=1,则=1,=1.所以 …… 3分
(0,0,1)ABC m =
取平面的法向量为 …… 4分
cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅
…… 5分 因为所求的二面角为锐角，
H-BC-A 所以二面角 …… 6分 （Ⅲ）KN=KB λ
设，N a b c （,,）, …… 1分
2222222222a b c a b c λλλλ
λ
λ--=⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
则（,,）=(,-,-)所以
2,22,22N --λλλ所以（）
(0,1,0)M 因为，2,12,22MN=--λλλ
所以（） …… 2分
0MN n ⋅=
由3-2=0λ可得，
3
=.2
λ所以 …… 3分
333
||||||222KN KB KB ===⨯
KB N KN 所以直线上存在点，的长为 …… 4分
（18）（1）当 1=a 时，1()=-
f x x x ，21
()1f x x
'=+ …………2分 3(2),2=f 5
(2)4
f '= …………3分
所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35
(2)24
-
=-y x 即：5440--=x y …………4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x …………1分
2'
22
2(2)
()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x
…………2分 当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a
，12==x x '()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ,
所以，()f x 单调递增区间为(,)和-∞+∞，单调减区间为
(和. …………4分 （Ⅲ）因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有2
222ln 0(0)-++--≥>a ax a x a x
在[1,)+∞上恒成立。

所以，令2
()222ln -=+
+--a g x ax a x x
， 则2'
222
2222(1)[(2)]
()---+-+-=--==a ax x a x ax a g x a x x x x
. 令'()0,=g x 则122
1,-==-a x x a
…………2分
若2
1--
=a a
，即1=a 时，'()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g 所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立； …………3分
若21--
>a a ，即1<a 时，当2
(0,1),(,)-∈-+∞a x a
时，'()0,()>g x g x 单调递增； 当2
(1,)-∈-
a x a
时，'()0<g x ，()g x 单调递减 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为2
()--a g a
， 因为(1)0,=g 所以2
()0--<a g a
不合题意. …………4分 21,--
<a a 即1>a 时，当2
(0,),(1,)-∈-+∞a x a
时，'()0,()>g x g x 单调递增， 当2
(,1)-∈-
a x a
时，'()0,()<g x g x 单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立
综上知，a 的取值范围是[1,)+∞. …………5分
（19）（Ⅰ）由椭圆定义知：242=a ，所以22=a ……1分
所以，椭圆22
2:18x y G b
+=，将点)2 ,2(M 的坐标代入得42=b 。

……3分
所以，椭圆G 的方程为14
82
2=+y x ……4分 （Ⅱ）右焦点)0,2(F
由题意，直线m 有斜率，设方程为)2(-=x k y ……1分
令4=x ，得点)2,4(k C ，所以2
2
3-
==k k k MC ； ……3分 又由⎪⎩
⎪
⎨⎧=+
-=148)2(22y x x k y 消元得：0888)21(2222=-+-+k x k x k ，
显然0>∆， 设),( ),,(2211y x B y x A ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+22
2122212188218k k x x k k x x ……5分 所以，)2
1
21(2222222212211221121-+---+-=--+--=
+x x x y x y x y x y k k )
2)(2(4
222121---+⨯-=x x x x k
4
)(24
22212121++--+⨯
-=x x x x x x k ……7分
2
2222841688)
21(4822k k k k k k ++--+-⨯-=
224
4
22-=--⨯
-=k k ……9分 所以，3212k k k =+，即
23
2
1=+k k k 为定值。

……10分 方法二：2)
22(2)22(22222211221121-+-+-+-=--+--=
+x k kx x k kx x y x y k k )
2)(2()
22(4))(24(2212121--++++-=
x x k x x k x kx
4
)(2)
22(4))(24(221212121++-++++-=
x x x x k x x k x kx ……7分
2
22222841688)
21)(22(48)24()88(2k k k k k k k k k ++--+++⨯+--= 4
)
2482816(2832161623233-++++---=k k k k k k k
224
2
48-=-+-=
k k ……9分
所以，1212k k k =+，即
23
2
1=+k k k 为定值。

……10分
（20）（I ）)3,2(，)5,2(，)5,3(，)17,9( ……4分
（II ）m 以),(b a 为基底的坐标),(y x 有无数个。

……1分 因为),(b a 为基底，对于∀的整数m ， Z y x ∈∃00,，使b y a x m 00+=成立，即),(00y x 为数m 以),(b a 为基底的坐标，则),(00kb y kb x -+，Z k ∈，都是数m 以),(b a 为基底的坐标， 证明如下：
m kba kba b y a x b ka y a kb x =-++=-++0000)()(
所以),(00ka y kb x -+，Z k ∈，都是数m 以),(b a 为基底的坐标，有无数个。

……4分 （III ）12+=k m ，*N k ∈，理由如下： ……1分 首先，对任意k m 2=，*N k ∈，),2(m 不是全体整数的一个基底；反证法， 假设此时),2(m 是全体整数的一个基底，则Z y x ∈∃,，有my x +=21成立，
而数m ,2都为偶数，所以my x +2为偶数，不可能等于1，所以假设不成立，即对任意
k m 2=，*N k ∈，),2(m 不是全体整数的一个基底。

……3分
下面证明，对所有满足题意的正奇数，对任意12+=k m ，*N k ∈，)12,2(+k 是全体整数的一个基底。

因为)12(121+⨯+⨯-=k k ，即)1,(k -为数1以)12,2(+k 为基底的坐标，对于Z m ∈∀，显然),(m km -为数m 以)12,2(+k 为基底的坐标，即Z m km ∈-∃,，使)12(2+⨯+⨯-=k m km m 成立，即对任意12+=k m ，*N k ∈，)12,2(+k 是全体整数的一个基底。

……5分。