余弦定理-【优选】苏教版高中数学必修第二册教学PPT课件

合 作
三角形的元素．
课
探
时
究
(2)已知三角形的几个元素求_其__他__元__素_的过程叫作解三角形．
分 层
释
作
疑
业
难
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12
·
情
课
景
堂
导
小
学 探
1．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，A＝6π，则 a＝________.
·
结 提
新
素
知
养
1 [a＝ b2＋c2－2bccos A＝1.]
合
作
·
新
素
知 船位于中国南海的 A 处，与我国海岛 B 相距 s n mile.据观测得知有一 养
合 作
外国探油船位于我国海域 C 处进行非法资源勘探，这艘中国海监船
课
探
时
究
奉命以 v n mile/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝
分 层
释
作
疑 难
m n mile，你能根据上述数据计算出它赶到 C 处的时间吗？
返
首
页
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·
21
已知三边解三角形
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
【例 2】 在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3， 养
合 作
求 A，B，C．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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22
情
[解] 根据余弦定理，cos A＝b2＋2cb2c－a2
课
景
堂
·
导 学
探
＝6＋22×362＋＋24
·
结
提 素
知
养
合 作
＝2k2＋2×[2k3×＋13k＋]2－1k 6k2＝12，
探
课 时
究
∵0°<B<180°，∴B＝60°.
分 层
释
作
疑
难
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
业
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28
余弦定理的综合应用
·
情
课
景
[探究问题]
堂
导
小
学
探 新
在△ABC 中，若 c2＝a2＋b2，则 C＝π2成立吗？反之若 C＝π2，则
·
堂 小 结
探
提
新 知
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
素 养
·
·
合
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
作
课
探 究
∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2.
时 分
层
释 疑
∴a2＋b2＝c2 或 a＝b.
作 业
难
故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
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31
·
情
课
·
结
提 素
知
养
c2＝a2＋b2 成立吗？为什么？
合
作 探
[提示]
因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变
课 时
究
释 疑
形 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝0，即 cos C＝0，所以 C＝π2，反之若 C＝π2，
分 层 作 业
难
则 cos C＝0，即a2＋2ba2b－c2＝0，所以 a2＋b2－c2＝0，即 c2＝a2＋b2.
作
课
探 究
释
∴A＝π6，B＝71π2，C＝π4.
时 分 层 作
疑
业
难
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24
·
情
课
景
堂
导 学
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应
小 结
·
探 新
角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，
提 素
知
养
结果唯一．
合
作
课
探 究
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直
业
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5
·
情
课
景
堂
导 学
1．余弦定理
小 结
·
探 新
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它
提 素
知
养
们夹角的余弦的积的两倍．
合
作 探
即 a2＝__b_2_＋__c2_－__2_b_c_co_s__A__，
究
课 时 分
释
b2＝__c_2_＋__a_2－__2_c_a_c_os__B__，
层 作
疑
业
难
c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s_C___．
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6
·
情 景
思考 1：根据勾股定理，若△ABC 中，C＝90°，则 c2＝a2＋b2＝
课 堂
导
小
学 a2＋b2－2abcos C．
①
结
·
探
提
新
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
素
知
养
合
提示： 当 a＝b＝c 时，C＝60°，
时 分
层
释 接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
作
疑
业
难
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25
·Байду номын сангаас
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新
[跟进训练]
提 素
知
养
2．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各
合
作
课
探 角的度数．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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26
·
情
课
景
堂
导
[解] 已知 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令 a＝2k，b＝ 6k，c＝ 小
知
养
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋
合
作 探
2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2.
课 时
究
分
释 疑 难
又∵cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2× 26＋2×22－ 6＋2 232＝12，
层 作 业
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
学
结
·
探 新
(
3＋1)k(k＞0)，
提 素
知
养
合 作
由余弦定理的推论，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
课
探
时
究
释 疑
＝ 6k2×2＋[6k×3＋ 13k＋]21－k2k2＝ 22，
分 层 作 业
难
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27
·
情 景
∵0°<A<180°，∴A＝45°.
课 堂
导
小
学
探 新
cos B＝a2＋2ca2c－b2
素 养
合 作 探
(2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，
究
课 时 分
层
释 疑
所以 BC2－9BC＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.]
作 业
难
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19
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两 提
·
新
素
知 边和其中一边所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解． 养
(2)在△ABC 中，若 AB＝
5，AC＝5，且 cos C＝190，则 BC＝
课 时 分
层
释 疑
________.
作 业
难
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18
·
情
课
景
堂
导 学
(1)60 (2)4 或 5 [(1)由余弦定理得：
小 结
·
探
提
新 知
a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cos π6＝60(cm)．
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页
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29
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
【例 3】
在△ABC 中，若(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a，判断
素 养
合 △ABC 的形状.
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
30
[解] ∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，
情
课
景 导 学
∴由余弦定理可得：a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝b－c·b2＋2cb2c－a2·a，
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a”换为 养
合 作
“acos A＋bcos B＝ccos C”其它条件不变，试判断三角形的形状．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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32
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情 景
[解]
由余弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝c2＋2ac2a－b2，cos C
业
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9
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
(2)余弦定理与勾股定理的关系
·
提
新
素
知
在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为_直__角_；c2>a2＋b2⇔C 为_钝__角_；c2<a2 养
合 作
＋b2⇔C 为_锐__角___．
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
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10
·
情
课
景 导
思考 3：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？
课 堂
导
小
学
探 新
＝
a2＋b2－c2 2ab
，
代
入
已
知
条
件
得
b2＋c2－a2 a· 2bc
＋
c2＋a2－b2 b· 2ca
＋
·
结
提 素
知
养
合 作
c·c2－2aa2b－b2＝0，通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－
课
探 究
b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2
·
情
课
景 导
第11章 解三角形
堂 小
学
结
·
探
提
新 知
11.1 余弦定理
素 养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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2
·
情
课
景
学习目标
核心素养
堂
导
小
学 1.掌握余弦定理及其推论．(重点)
结
·
探
1.借助余弦定理的推导过程，提 提
新 知
2．掌握正、余弦定理的综合应
升学生的逻辑推理素养．
素 养
合 用．(重点)
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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13
·
情 景
2．在△ABC
导已知两边与一角解三角形
中，若
a＝5，c＝4，cos
A＝196，则
b＝________.
课 堂 小
学已知两边与一角解三角形
结
已知两边与一角解三角形
·
6 [由余弦定理可知 探已已知知两 两边边与与一一角角解解三三角角形形
新已知两边与一角解三角形
释已已知知两 两边边与与一一角角解解三三角角形形
解得 b＝6.] 疑已知两边与一角解三角形
难已知两边与一角解三角形
课 时 分 层 作 业
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14
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情 景
3．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，则 B＝________.
课 堂
导
小
学
结
探 新 知
60° [cos B＝a2＋2ca2c－b2＝9＋142－7＝12，∴B＝60°.]
合 作
2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法， 先利用余弦定理 课
探
时
究 求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．
分 层
释
作
疑
业
难
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20
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[跟进训练]
情
课
景
堂
导
1．在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形. 小
学
结
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探 新
[解] 根据余弦定理得，
提 素
难
猜想得证． 返 首 页
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情 景
2．余弦定理的变形
课 堂
导
小
学
结
探
(1)余弦定理的变形
·
提
新 知
b2＋c2－a2
素 养
cos A＝_____2_b_c_____，
合 作
a2＋c2－b2
课
探 究
cos B＝_____2_c_a_____，
时 分
释
a2＋b2－c2
层 作
疑 难
cos C＝_____2_a_b_____.
作 业
难
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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已知两边与一角解三角形
情
课
景
堂
导 学
探
【例 1】
(1)在△ABC 中，已知 b＝60 cm，c＝60
3
cm，A＝π6，
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小 结
提
新
素
知 则 a＝________ cm；
养
合 作 探 究
堂 小
学
结
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探 新
提示： 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定