浙江省绍兴市第一中学高三数学上学期期中试题 文 新人教A版

浙江省绍兴市第一中学2014届高三数学上学期期中试题 文 新人教
A 版
说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分150分，考试时间120分钟.
2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}1,2,3,4,5U =,{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()U C A B =（ C ）
A ．{}3,4
B ．{}3,4,5
C ．{}2,3,4,5
D ．{}1,2,3,4
2.将圆024:2
2
=-++y x y x C 平分的直线的方程可以是 （ D ）
A ．01=-+y x
B ．03=++y x
C ．01=+-y x
D ． 03=+-y x
3.
已知直线1y =+的倾斜角为θ，则tan 2θ=（ B ）
A
、
、
3 D
、3
- 4.若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且，则=b ( D )
A ． )2,4(
B ．)2,4(--
C ．)3,6(-
D ．)2,4(或)2,4(-- 5.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,
a a a 成等差数列，则8967
a a
a a ++等于(C) A ．21+ B. 21- C. 223+ D. 223- 6.A 为三角形的内角，则2
3
cos 21sin <>
A A 是的 （A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件D.既不充分也不必要条件
7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －x ＋7a －
x ＜
a
x
x
在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取
值范围是( C)
A ．(0,1)
B ．(0，12)
C ．[38，12)
D ．[3
8
，1)
8.已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2
OP OQ
+的最大值为( A )
A ．22
m n mn +-
B ．22
m n mn ++ C ．2()m n + D ．2()m n -
9.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13
,则实数a 的值为( D ) A.
14
B.
14或23
C.
23 D. 23或3
4
10.函数1
1
y x =
-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 （ C ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、6
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.若函数⎩⎨⎧≤>=0,0
,2)(2x x x x f ,则满足1)(=a f 的实数a 的值为 -1 ．
12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若222
12
a b c +=
.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为
13.函数)cos (sin sin )(x x x x f -=的最小正周期为
π
．
14.已知菱形ABCD 的边长为2，0
60DAB ∠= ,E 、F 分别为CD ，BC 的中点，则⋅=
2
3
15.若正数,x y 满足230x y +-=，则
2x y
xy
+的最小值为 3 ． 16.设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ▲
_3_ ．
17.已知42
4()log (4
),1x
f x x R x
=+∈+，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是 {}1,0 。

三、解答题：本大题共5个小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明或演算过程。

18.（本题满分14分）命题p ：不等式a x x >-+-|3||1|对一切实数x 都成立；命题q ：已知函数
23)(nx mx x f +=的图像在点)2,1(-处的切线恰好与直线12=+y x 平行，且
)(x f 在]1,[+a a 上单调递减。

若命题p 或q 为真，求实数a 的取值范围。

19.（本题满分14分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c C
a A
-=
. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数sin()6
y B C π
+-的值域.
解：（I ）由正弦定理，得：
2sin sin cos sin cos B C C
A A
-= …………………………2分
即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+
故2sin cos sin()sin B A A C B =+= (4)
分
1sin 0,cos 2
B A ≠∴=
所以3
A π
= (6)
分
（II ）22
(0,)333
A B C B π
ππ=
∴+=∈且
(8)
分
3sin sin()sin()62cos 2sin()
6
y B C B B B B B ππ
π
=+-=+-=+=+ (11)
分
251
(0,),(,),sin()(,1]366662
B B B πππππ∈+∈∴+∈ ………………13分
所以所求函数值域为(1,2] ……………………14分
20.（本题满分14分）已知等比数列
{}n a 的前n 项和*∈-=N n a a S n n ,,2．设公差不为
零的等差数列
{}n b 满足：211+=a b ，且5,5,5842+++b b b 成等比．
(Ⅰ) 求a 及n b ； (Ⅱ) 设数列
{}n a 2
log
的前n 项和为n T ．求使n n b T >的最小正整数n 的值．
(Ⅰ) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1
． 所以1＝2－a ，得
a ＝1，
所以
a n ＝2n －1．
设数列{b n }的公差为d ，由b 1＝3，(b 4＋5)2
＝(b 2＋5)(b 8＋5)，得
(8＋3d )2
＝(8＋d )(8＋7d )，
故
d ＝0 (舍去) 或 d ＝8．
所以a ＝1，b n ＝8n －5，n ∈N*．
………… 7分
(Ⅱ) 由a n ＝2n －1
，知
n ＝2(n －1)．
所以
T n ＝n (n －1)．
由b n ＝8n －5，T n ＞b n ，得
n 2－9n ＋5＞0，
因为n ∈N*，所以
n ≥9．
所以，所求的n 的最小值为9．
………… 14分
21.（本题满分15分）已知函数
R a ax x x f ∈+-=,13)(3．
(Ⅰ) 求
)(x f 的单调区间；
(Ⅱ) 求所有的实数a ，使得不等式1)(1≤≤-x f 对]3,0[∈x 恒成立．
(Ⅰ) f′(x)＝3x2－3a．
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，故f (x)的增区间是(－∞，＋∞)．当a＞0时，由f′(x)＞0，得
x
或x
故f (x)的增区间是(
和
)，f (x)的减区间是[
．
………… 7分
(Ⅱ) 当a≤0时，由(Ⅰ)知f (x)在[0
上递增，且f (0)＝1，此时无解．
当0＜a＜3时，由(Ⅰ)知f(x)在[0
上递减，在
上递增，所以f(x)
在[0
上的最小值为
f
＝1－2
所以
1,
1,
(0)1,
f
f
f
⎧≥-
⎪⎪
≤
⎨
⎪≤
⎪⎩
即
1,
1,
a
⎧⎪
⎨
≥
⎪⎩
所以
a＝1．
当a≥3时，由(Ⅰ)知f (x)在[0
上递减，又f (0)＝1，所以
f
＝
＋1≥－1，
解得
a≤1
此时无解．
综上，所求的实数a＝1．
………… 15分22.（本题满分15分）
已知函数
x
a
a
x
f
2
1
1
2
)
(-
+
=，（a R
∈且0
a≠）。

（1）设0
mn>，令)
(
)
(x
af
x
F=，试判断函数)
(x
F在[,]
m n上的单调性并证明你的结论；
（2）若0m n
<<且0
a>时，)
(x
f的定义域和值域都是[,]
m n，求n m
-的最大值；
（3）若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； 解：方法一：
（1）证明：任取1212,[,],x x m n x x ∈<且，21
212121
1()()[()()]x x F x F x a f x f x a x x --=-=
当a>0时，21()()0F x F x ->，F （x ）在[,]m n 上单调递增；
当a<0时，21()()0F x F x -<，F （x ）在[,]m n 上单调递减……………5分 方法二：1F(x)=af(x)=2a+1-ax ,则'
2
1F x
1（x ）=a 当a>0时，'
0F
>（x ），F （x ）在[,]m n 上单调递增； 当a<0时，'
0F
<（x ），F （x ）在[,]m n 上单调递减……………………………5分 （2）由（1）知函数af （x ） 在[,]m n 上单调递增；因为a>0所以f （x ）在[m,n]上单调递
增，f （x ）的定义域、值域都是[m,n],则f （m ）=m,f （n ）=n,即m,n 是方程211
2x a a x
+
-=的两个不等的正根，等价于方程222(2)10a x a a x -++=有两个不等的正根，等价于
2
2
(2)40a a a =+->且 2122
20a a x x a ++=> 12
210x x a =>且,则1
2a >
, n m ∴-=
1(,),2a ∈+∞3
2a ∴=时，n m -最
………………………10分 （3）22
1()2a f x a a x
=+-
,则不等式2
|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，即21
222x a a x x -≤+-≤即不等式221
22122a a x x
a a x
x +≤++≥-⎧⎪⎨⎪⎩
,对1x ≥恒成立,
令h （x ）=12x x +,易证h （x ）在[1,)+∞递增，同理1()2g x x x
=-[1,)+∞递减。

min max ()(1)3,()(1)1h x h g x g ∴====-
∴{
22
23
21
a a a a +≤+≥-∴
3
12
a ∴-≤≤…………………………………………………15分
(]30,,00,12a a ⎡⎫
≠∴∈-⎪
⎢⎣⎭。

绍兴一中
一、选择题（本大题共1050分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11、 . 12、 . 13、 . 14、
15、 . 16、 . 17、 .
三、解答题（本大题共5个小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明或演算过程。

）
18、（本小题满分14分）
解：
19、（本小题满分14分）
解：
20、（本小题满分14分）解：
21、（本小题满分15分）解：
22、（本小题满分15分）解：
高三数学期中试卷（文科）
说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分150分，考试时间120分钟.
2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.设全集{}
1,2,3,4,5
U=,{}
1,2
A=，{}
2,3,4
B=，则()
U
C A B=
A．{}
3,4B．{}
3,4,5C．{}
2,3,4,5D．{}
1,2,3,4
2.将圆0
2
4
:2
2=
-
+
+y
x
y
x
C平分的直线的方程可以是
A.0
1=
-
+y
x B．0
3=
+
+y
x C．0
1=
+
-y
x D．0
3=
+
-y
x
3.已知直线1
y=+的倾斜角为θ，则tan2θ=
D.
4.若平面向量b与向量)1,2(
=
a平行，且，则=
b
A．)2,4( B．)2
,4
(-
- C．)3
,6(- D．)2,4(或)2
,4
(-
-
5.已知等比数列{}n a中，各项都是正数，且2
3
1
2,
2
1
,a
a
a成等差数列，则89
67
a a
a a
+
+
等于
A．2
1+ B. 2
1- C. 2
2
3+ D. 2
2
3-
6.A为三角形的内角，则
2
3
cos
2
1
sin<
>A
A是的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a－x＋7a－x＜
a x x
在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是
A．(0,1) B．(0，
1
2
) C．[
3
8
，
1
2
) D．[
3
8
，1)
8.已知
1
e和
2
e是平面上的两个单位向量，且
12
1
e e
+≤，
12
,
OP me OQ ne
==，若O为坐标原点，,m n均为正常数，则()2
OP OQ
+的最大值为
A．22
m n mn
+-B．22
m n mn
++ C．2
()
m n
+ D．2
()
m n
-
9.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为 A. 14 B. 14或23 C. 23 D. 23或34
10.函数11
y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于
A.2
B. 3
C.4
D.6
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.若函数⎩
⎨⎧≤>=0,0,2)(2x x x x f ,则满足1)(=a f 的实数a 的值为 ▲ ． 12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212
a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为 ▲ ．
13.函数)cos (sin sin )(x x x x f -=的最小正周期为 ▲ ．
14.已知菱形ABCD 的边长为2，060DAB ∠= ,E 、F 分别为CD ，BC 的中点，则BE AF ⋅= ▲
15.若正数,x y 满足230x y +-=，则2x y xy
+的最小值为 ▲ ． 16.设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为
▲ ．
17.已知42
4()log (4),1x f x x R x =+∈+，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是 ▲ 。

三、解答题：本大题共5个小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明或演算过程。

18.（本题满分14分）命题p ：不等式a x x >-+-|3||1|对一切实数x 都成立；命题q ：已知函数
23)(nx mx x f +=的图像在点)2,1(-处的切线恰好与直线12=+y x 平行，且)(x f 在]1,[+a a 上单调递减。

若命题p 或q 为真，求实数a 的取值范围。

19.（本题满分14分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，
2cos cos b c C a A -=. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数sin()6y B C π+-
的值域.
20.（本题满分14分）已知等比数列
{}n a 的前n 项和*∈-=N n a a S n n ,,2．设公差不为零的等差数列{}n b 满足：211+=a b ，且5,5,5842+++b b b 成等比．
(Ⅰ) 求a 及n b ； (Ⅱ) 设数列
{}n a 2log 的前n 项和为n T ．求使n n b T >的最小正整数n 的值．
21.（本题满分15分）已知函数
R a ax x x f ∈+-=,13)(3． (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间；
(Ⅱ) 求所有的实数a ，使得不等式1)(1≤≤
-x f 对]3,0[∈x 恒成立．
22.（本题满分15分）已知函数x
a a x f 2112)(-+=，（a R ∈且0a ≠）。

（1）设0mn >，令)()(x af x F =，试判断函数)(x F 在[,]m n 上的单调性并证明你的
结论；
（2）若0m n <<且0a >时，)(x f 的定义域和值域都是[,]m n ，求n m -的最大值；
（3）若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；。