高三数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算文含解析北师大版

课时规范练24 平面向量的概念及线性运算
基础巩固组
1.下列说法错误的是( ) A.零向量与任一向量平行
B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.零向量的长度为0
D.方向相反的两个非零向量必不相等
2.设a ,b 是非零向量,则a =2b 是a
|a |=b
|b |成立的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
3.(2020河南实验中学4月模拟,6)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC
⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.1
2
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗
C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗
D.1
2
BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 4.已知向量a 与b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n a +b (m ,n ∈R ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.mn+1=0
D.mn-1=0
5.在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,过点B 的直线l 与AD ,AC 分别相交于E ,F 两点,若AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.1
3 B.2
5
C.4
11
D.5
13
6.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD 中,若DE
⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE 交BD 于F 点,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.1
3
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2
3
AD ⃗⃗⃗⃗⃗
D.13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3
AD ⃗⃗⃗⃗⃗
7.已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 一定为( ) A.菱形 B.任意四边形 C.平行四边形 D.矩形
8.已知向量e 1与e 2不共线,且向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+m e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n e 1+e 2,若A ,B ,C 三点共线,则实数m ,n 满足的条件是 ( )
A.mn=1 B .mn=-1 C.m+n=1
D .m+n=-1 9.(2020安徽合肥二中高三段考)已知P 为△ABC 所在平面内一点,AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则△ABC 的面积等于( )
A.√3
B.2√3
C.3√3
D .4√3
10.(2020河北武邑中学质检)在锐角三角形ABC 中,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ,y ∈R ),则x y
= .
11.(2020山东德州高三模拟)设向量a ,b 不平行,向量a +1
4λb 与-a +b 平行.则实数λ= .
综合提升组
12.(2020辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是( ) A.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c
B.若2OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC ,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6 C.两个非零向量a ,b ,若|a -b |=|a |+|b |,则a 与b 共线且同向 D.若a ∥b ,则存在唯一实数λ使得a =λb
13.设a ,b 是非零向量,则“存在实数λ,使得a =λb ”是“|a +b |=|a |+|b |”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 14.在等腰梯形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点E 是线段BC 的中点,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( )
A.5
2 B.5
4
C.12
D.14
15.过△ABC 的重心G 作直线l ,已知l 与AB 、AC 的交点分别为M ,N ,S △ABC S △AMN
=
209
,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 ( )
A.2
3
或2
5 B.34
或3
5 C.3
4
或25
D.2
3
或3
5
16.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,则λ+μ= .
创新应用组
17.在平行四边形ABCD 中,M 是DC 的中点,向量DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 18.(2020山东青岛西海岸联盟校模考)在△ABC 中,有如下结论:若M 为△ABC 的重心,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.设a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,M 为△ABC 的重心.若a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√33cMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则
内角A 的大小为 ;当a=3时,△ABC 的面积为 .
▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁
课时规范练24 平面向量的概念
及线性运算
1.B 零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A 与C 都是正确的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B 错误;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D 正确,故选B .
2.B 因为a ,b 是非零向量,由a =2b 可知,a ,b 方向相同,所以a
|a |=b
|b |成立,即由a =2b 可推出a
|a |=b
|b |成立;
若a
|a |=b
|b |,则a =|a |
|b |b ,而|a |
|b |不一定等于2,所以a
|a |=b
|b |不一定推出a =2b ,所以a =2b 是a
|a |=b
|b |成立的充分不必要条件.故选B.
3.B ∵D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(FE
⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选B.
4.D 由AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n a +b (m ,n ∈R )共线,得a +m b =λ(n a +b )=λn a +λb ,∵向量a 与b 不共线,∴{1=λn ,m =λ,
即mn-1=0,故选D . 5.A BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14
(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由于BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即1
4
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以μ=34
,μλ=14
,得λ=13
.故选A. 6.D 如图,∵DE
⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴E 为CD 的中点. 设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又B ,F ,D 三点共线,∴λ2
+λ=1,解得λ=2
3
,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选D.
7.C 由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,可得|BA
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即四边形中|AB|=|CD|. 又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ∥CD ,即四边形ABCD 中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD 为平行四边形,故选C .
8.A 因为A ,B ,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有e 1+m e 2=n λe 1+λe 2,由此可得{1=nλ,
m =λ,
所以mn=1.故选A .
9.B 由|PB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |得,△PBC 是等腰三角形.取BC 的中点D ,连接PD ,则PD ⊥BC.又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PD=12
AB=1,且PD ∥AB ,故AB ⊥BC ,即△ABC 是直角三角形.由|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1可得|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3,所以△ABC 的面积为12
×2×2√3=2√3. 10.3 由题设可得CA
⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),整理,得4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=34
,y=14
.故x
y =3.
11.-4 ∵a ,b 不平行,a +1
4λb 与-a +b 平行,∴存在实数μ,使a +1
4λb =μ(-a +b ),∴{-μ=1,
14
λ=μ,∴λ=-4.
12.B A 错误,例如b =0,推不出a ∥c ;设AC 的中点为M ,BC 的中点为D ,因为2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2×2OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以O 是MD 的三等分点,可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的1
3
,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍,故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的1
6
,根据三
角形面积公式可知B 正确;C 错误,两边平方可得-2a ·b =2|a ||b |,所以cos <a ,b >=-1,即夹角为π,两向量反向,结论不正确;D 错误,例如a =0,b =0,λ值不唯一.故选B .
13.B 存在实数λ,使得a =λb ,说明向量a ,b 共线,当a ,b 同向时,|a +b |=|a |+|b |成立,当a ,b 反向时,|a +b |=|a |+|b |不成立,所以,充分性不成立.当|a +b |=|a |+|b |成立时,有a ,b 同向,存在实数λ,使得a =λb 成立,必要性成立,即“存在实数λ,使得a =λb ”是“|a +b |=|a |+|b |”的必要不充分条件,故选B . 14.B (方法1)取AB 的中点F ,连接CF ,则四边形AFCD 是平行四边形,所以CF ∥AD ,且CF=AD.
因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ −FB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=34,μ=12,λ+μ=5
4,故选B .
(方法2)连接AC ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=3
4,μ=1
2,λ+μ=5
4,故选B .
15.B 设AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为G 为△ABC 的重心,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即13λ
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
13x
AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG
⃗⃗⃗⃗⃗ .由于M ,N ,G 三点共线,
所以13λ+13x =1,即x=λ
3λ-1.因为S △ABC
S △AMN
=
20
9,S △ABC =1
2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A ,S △AMN =12|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A , 所以
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |λx |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |
=1λx =
209
,即有20λ2
3λ-1=9,
解得λ=34或3
5
,故选B .
16.2
3
由题意,得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故λ+μ=1
2+1
6=2
3.
17.1
6a -2
3b 根据题意画图如下.
则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a -2
3
b ,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a -23b -12a =16a -23
b .
18.π6
9√34
由a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
√33
cMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
√3
3
c (-MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=a-√33
c MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b-√3
3
c MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且
MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴a-√33
c=b-√33
c=0,
∴a=b=√3
3c.在△ABC 中,由余弦定理可求得cos A=√32
,∴A=π
6
.若a=3,则b=3,c=3√3,S △
ABC =
12
bc sin A=12
×3×3√3×12
=
9√34
.。