人教A版高中数学必修二 4.1.2 圆的一般方程 导学案

4.1.2 圆的一般方程
【学习目标】：1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由
圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．
2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

【学习重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确
定方程中的系数，D 、E 、F ．
【学习难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。

学习过程
复习引入
圆的标准方程：_______ ________，圆心_______ __半径____ _。

探究1：把圆的标准方程展开，并整理得：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0。

取 222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x 这个方程是圆的
方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
基础知识
把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得 。

1．当_______时，方程表示以__________为圆心,__________为半径的圆；
2．当_______时，方程只有实数解2D x -=，2
E y -=，即只表示一个点_________; 3．当_______时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程02
2=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当
0422>-+F E D 时，
它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程的特点：
① x 2和y 2
的系数都为1. ② 没有xy 这样的二次项．
③ 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程
就确定了．
④ 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准
方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用
例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？若是，请求出圆的圆心坐标及半径。

()()222214441290244412110
x y x y x y x y +-++=+-++=
例2.求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心
坐标。

总结：用待定系数法的一般步骤：
①选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；
③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程。

例3．已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2
214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

反馈练习
1．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 （ ）
A. 114m <<
B. 1m >
C. 14
m < D. 1m < 2．判断下列方程表示什么图形：
（1）22
0x y +=表示 ； （2）222460x y x y +-+-=表示 ；
（3）22220x y ax b ++-=表示 .
3．求下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长. (1)22
250x y x +--=的圆心坐标为 ，半径长为 . (2)222440x y x y ++--=的圆心坐标为 ,半径长为 .
4．(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）
A. 30x y +-=
B. 30x y --=
C. 260x y --=
D. 260x y +-=
5．求下列各方程表示的圆的圆心和半径长：
① 02
2=+y x ；
② 0222=++by y x ；
③ 03322222=+--+a ay ax y x
6．已知圆C ：22(1)1x y -+=，过坐标原点O 作弦OA ，求OA 中点的轨迹方程。