固体物理答案第六章1
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固体物理答案第六 章1
原点，即 Rs 0，6个最近邻
的坐标分别为
y
a,0
, a,0
,
a 2
,
3 2
a
a 2
,
3a 2
,
a 2
,
3a 2
,
o
x
a 2
,
3a 2
a
对于s态电子，各个最近邻
的交迭积分皆相等， 令 Jsn J ，则得 固体物理答案第六
章1
e e e iπ 2 axk iπ 2 axk iπ ax ( k 3 k y)
对比(1)式，即得
v k v k
电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。 因为
E k E k，电子占有
k
状态和
k状态的几率相同。
而由 v k v k 知道，这两个状态的电子电流互相抵消，
因此，无外场时，晶体中总电流为零。
固体物理答案第六 章1
6.5 应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间 的相互作用，
此处
E kE m i n 4Jk2 aE m i n h 22 m kb * 2
mb*
h2
8J 2a2
为能带底部电子的有效质量。
固体物理答案第六 章1
显然， mb* 0 ，即能带底部电子的有效质量为正值。
在能带顶附近，k1 k,k0，代入(2)式，并应用泰
2a
勒级数公式展开，得
E kE 0A 2 Jco s2 a k E 0A 2 Jco 2 a s k
(2)
而速度 v 1 dE h dk
代入(2)式，并应用关系式
h
dk dt
Fe
固体物理答案第六
章1
可得
dv 1
dt h2
d2E dk2 Fe
Fe m*
(3)
式中
m*
h2
/
d2E dk2
为电子的有效质量。
联合(1)(3)两式，即得
m* m Fe Fe FL
固体物理答案第六 章1
6.4
证明：对于能带中的电子，k 状态和
Emax 4J 2a2k 2
Emax
h2 2mt*
k 2
式中
mt*
h2
8J2a2
为能带顶部电子的有效质量，因为
J 0
，故
mt*
0 ，即能带顶部电子的有效质量为负值。
固体物理答案第六
章1
6.6 设二维正三角形晶格中原子间距为a，只计最近临电子间的
相互作用试根据紧束缚近似的结果，求出能量 Ek 的表达式，
至于速度 vk ，可按如下方法求得
1 E4aJ
v x h k xhs2 ia n x k sia n x c ko 3a syk
vyh 1 k E y 4固3 h 体a 物理J c答o案a第sxk 六sin 3ayk
章1
所以 v k 4 π a J siπ n ax2 k siπ a n x c ko 3 π s ayk i h 3 cπ o ax ss ki3 n π ayk j
2 2 2 2Ba2k2
令 E B 2 E 固，体则物上理式答化案为第六Ea2k2
章1
可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。
因此，能量 E 和能量 EdE两等能面间的波矢空间体积为
Vc
2π3
4π
k2dk
相应的量子态数目
d z2 2 π c3 V 4πk 2 d k 2 π V 2 c a 3B 2 E 12d E
章1
6.7 试根据5.10题的结果，求面心立方晶格中能带底附近电子
的有效质量。
解：
能带底即 Es
k
的最小值对应的
k为
0,0,0，可得在能带
底处电子的有效质量为
mxx
2
2 Es
k
2 xx
ki 0
2 2J s a 2
同理可得 myy2J s2a2,mzz2J s2a2
其他交叉项的倒数全为零。 固体物理答案第六 章1
vkx4J
a
skinx 2
a
2π
EkxEsatA8Jck2 oxsaa
它们的曲线如图所示。
2π a
0
4Ja π
a π
a
4Ja
EatA8J s
2π
kx
a
2π
kx
a
固体物理答案第六 章1
6.2 已知一维晶体的电子能带可写成
Ek m 22a 7 8cosk 8 1caos2ka
式中 a是晶格常数。试求
其次，由公式
1 mij
1 h2
2E kikj
可求得有效质量各分量为
1 42 a 2 J
m xx h 2
2 c2 oas x k co ax s c ko 3a syk
m 1yy12 h22 a2Jcoasx kco3 sayk
m 1 xym 1 yx4 固3 体 h 物2 2a 理2J 答s案i 第n a六xk sin 3ayk
能态密度
N E N E 2 π V 2 c a3B 2E 12
固体物理答案第六
章1
二、假定 A小于0 （1）对于能带为
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
简单立方晶体中的电子，其能带顶在第一布里渊区8个角顶处
π , π , π a a a
解：（1）由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当
kxky kz 0时，E s 取最小值，即 kxky kz 0
是能带底，电子有效质量为
mxx
2
2 Es
k
2 x
固体物理答案第六
ki 0
2 2J s a 2
章1
同理可得
myy2J s2a2 ,mzz2J s2a2
其他交叉项的倒数全为零。而在布里渊区边界上的
（1）能带的宽度；
（2）电子在波矢 k 的状态时的速度；
（3）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）能带宽度为 ΔE Em axEm in
由极值条件
dEk 0
dk
固体物理答案第六 章1
得
sink1sain2 skia nk1sainkac0oska
4
2
上式的唯一解是 sink0a的解，此式在第一布里渊区内的
在这些点，电子的有效质量为
m
2 2E
2 Aa 2
固 体k物i2 理 ki答案πa 第六
章1
由此可知A=-2。
（2）电子在能带顶的能量 E2B。 在布里渊区中心能带底的能量 E2B。
可见能带宽度为4。
（3）在布里渊区中心附近，k 0,
E 2 k x c a c o k y o a c s k s z a o B s 2 1k x 2 a 2 1ky 2 a2 1k z 2 a 2 B
章1
式中 R s 和 R n 分别代表参考原子及其最近邻的位矢。在一维原 子链中，只有两个最近邻。选取参考原子为坐标原点，Rs 0， 则两个最近邻的位矢可分别记为 Rn a,a，此处a为原子间距。
由于交迭积分 J sn 对两个最近邻是相等的，记为 J ，便得
E k E 0 A J e i 2 k a e i 2 ka
E 0A 2Jco 2k s a
E0A2J4Jsin2ka
Emin4Jsin2ka
(2)
式中Emi nE0A2J代表能带底的数值。
（2）从上式可知，当 k1/2a 时，能量取最大值
固体物理答案第六 章1
E ma xE 0A2J
这就是能带顶的数值，故能带宽度
E E m aE xm in 4J
在能带底附近，k值很小，sin ka ka，(2)式可写成
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心。 固体物理答案第六 章1
在布里渊区中心，电子的有效质量为
m
2 2E
2
Aa 2
k
2 i
ki 0
由此可知A=2。
（2）电子能带
E 2 k c x a c o k y o a c s k s z o a B s
k
状态的速度大小
相等，方向相反，即
v k v k
并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
证明：
k 态的电子速度为
v k h 1 k E k h 1 E k x k i E k k y j E k k z k
(1)
于是
v k 1 E k i E k j E k k
固体物理答案第六 章1
21kxa2kya2kza2B 2 2 2
2Ba2k2
令 E E 2 B ，则上式化为 Ea2k2
可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。
因此，能量 E 和能量 EdE两等能面间的波矢空间体积为
Vc
2π3
4π
k2dk
固体物理答案第六 章1
相应的量子态数目
d z2 2 π c3 V 4πk 2 d k 2 π V 2 c a 3E 2 B 12d E
第六章 晶体中电子的输运性质
固体物理答案第六 章1
6.1 用紧束缚方法可以导出体心立方晶体s态电子的能带为
E k E s a tA 8 c Jo k 2 x a s co k 2 ya s co k 2 za s
（1）试求能带顶部和底部的电子有效质量；
（2）试画出沿 k x方向 kykz0，Ekx和vkx 的曲线。
E k E 0 A J eiπ ax ( k 3 k y) e iπ ax ( k 3 k y) e iπ ax ( k 3 k y)
E 0AJ 22ce iπ o π aa x ks cxk2 o2 3sπ iπ ea ax kc yko3sπayk
E 0 A 2 J c 2 a o x 2 c k s a x o c k 3 a o s x k s
(2)
h k x
k y
k z
固体物理答案第六
章1
因为能量
Ek
是波矢
k
的偶函数，即
E k E k ，因此
Ek Ek
kx
kx
Ek Ek
ky
ky
Ek Ek
kz
kz
代入(2)式，v 有k 1 E k i E k j E k k h k x k y k z 固体物理答案第六 章1
的能带底在 π , π , π a a a
处。
固体物理答案第六
章1
由带顶和带底的能量得知能带宽度为4。
（3） 在布里渊区中心附近，k 0,
E 2 k c x a c o k y o a c s k s z o a B s 2 1k x 2 a 2 1ky 2 a2 1k z 2 a 2 B 21kxa2kya2kza2B
能态密度
（3）由
1 m
1 2
2E k2
式，可求得带顶和带底电子的有效质量
分别为
固体物理答案第六 章1
6.3 设晶格势场对电子的作用力为 F L ，电子受到的外场力为
F e ，证明：
m m Fe Fe FL
证明：因为 pmv为电子的动量，所以有
dv
mdtF总Fe FL
(1)
另一方面，加速度
dv dvdk
a dt dkdt
2π,0 , 0 0,2π,0 , 0,0 2π, a a a
处是能带顶，电子的有效质量为
m xxmyymzz2J s2a2
其他交叉项的倒数也全为零。 固体物理答案第六 章1
（2）在能带底部 kxky kz 0时
m xxmyymzzHale Waihona Puke J s2a2当ky kz 0时
Ekx
EatA8J s
解为
k 0, π
a
当k 0时，Ek取极小值 Emin ，且有
E mi nE 00
当k 0时，Ek取极大值 Emax ，且有
Emax固E体物πa理答m 2案第2a2六
章1
由以上可得能带宽度为
ΔE Ema-xEmin m 222a
（2）由 vk01kEk0 式，可得电子的速度
v 1ddE kk m s ain4 1 ksa in 2ka
(1)证明其s态电子的能带为
Ek Emi n4Jsi2n 1 2ak
式中，Emin 为能带底部的能量；J为交迭积分.
(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。
证明：（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量，
结果可写成
最近邻
EkE0A
e J i2kRnRs sn
(1)
固体物理答R 案n 第六
6.8 已知某简立方晶体的晶格常数为 a，其价电子的能带
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
（1）已测得能带顶电子的有效质量
m
2 2a2
，试求参数A；
（2）求出能带宽度；
（3）求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。
解： 一、假定A大于0
（1）对于能带为
并计算相应的电子速度 v k
和有效质量各个分量 m ij 。
解：若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中
s态电子的能量 ，其结果是
Ek E0A最近 ei2k 邻 R nR sJsn
R n
式中 Rs 和 Rn 分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。在二维
正三角形晶格中，有6个最近邻(如图)。如选取参考原子为坐标
原点，即 Rs 0，6个最近邻
的坐标分别为
y
a,0
, a,0
,
a 2
,
3 2
a
a 2
,
3a 2
,
a 2
,
3a 2
,
o
x
a 2
,
3a 2
a
对于s态电子，各个最近邻
的交迭积分皆相等， 令 Jsn J ，则得 固体物理答案第六
章1
e e e iπ 2 axk iπ 2 axk iπ ax ( k 3 k y)
对比(1)式，即得
v k v k
电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。 因为
E k E k，电子占有
k
状态和
k状态的几率相同。
而由 v k v k 知道，这两个状态的电子电流互相抵消，
因此，无外场时，晶体中总电流为零。
固体物理答案第六 章1
6.5 应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间 的相互作用，
此处
E kE m i n 4Jk2 aE m i n h 22 m kb * 2
mb*
h2
8J 2a2
为能带底部电子的有效质量。
固体物理答案第六 章1
显然， mb* 0 ，即能带底部电子的有效质量为正值。
在能带顶附近，k1 k,k0，代入(2)式，并应用泰
2a
勒级数公式展开，得
E kE 0A 2 Jco s2 a k E 0A 2 Jco 2 a s k
(2)
而速度 v 1 dE h dk
代入(2)式，并应用关系式
h
dk dt
Fe
固体物理答案第六
章1
可得
dv 1
dt h2
d2E dk2 Fe
Fe m*
(3)
式中
m*
h2
/
d2E dk2
为电子的有效质量。
联合(1)(3)两式，即得
m* m Fe Fe FL
固体物理答案第六 章1
6.4
证明：对于能带中的电子，k 状态和
Emax 4J 2a2k 2
Emax
h2 2mt*
k 2
式中
mt*
h2
8J2a2
为能带顶部电子的有效质量，因为
J 0
，故
mt*
0 ，即能带顶部电子的有效质量为负值。
固体物理答案第六
章1
6.6 设二维正三角形晶格中原子间距为a，只计最近临电子间的
相互作用试根据紧束缚近似的结果，求出能量 Ek 的表达式，
至于速度 vk ，可按如下方法求得
1 E4aJ
v x h k xhs2 ia n x k sia n x c ko 3a syk
vyh 1 k E y 4固3 h 体a 物理J c答o案a第sxk 六sin 3ayk
章1
所以 v k 4 π a J siπ n ax2 k siπ a n x c ko 3 π s ayk i h 3 cπ o ax ss ki3 n π ayk j
2 2 2 2Ba2k2
令 E B 2 E 固，体则物上理式答化案为第六Ea2k2
章1
可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。
因此，能量 E 和能量 EdE两等能面间的波矢空间体积为
Vc
2π3
4π
k2dk
相应的量子态数目
d z2 2 π c3 V 4πk 2 d k 2 π V 2 c a 3B 2 E 12d E
章1
6.7 试根据5.10题的结果，求面心立方晶格中能带底附近电子
的有效质量。
解：
能带底即 Es
k
的最小值对应的
k为
0,0,0，可得在能带
底处电子的有效质量为
mxx
2
2 Es
k
2 xx
ki 0
2 2J s a 2
同理可得 myy2J s2a2,mzz2J s2a2
其他交叉项的倒数全为零。 固体物理答案第六 章1
vkx4J
a
skinx 2
a
2π
EkxEsatA8Jck2 oxsaa
它们的曲线如图所示。
2π a
0
4Ja π
a π
a
4Ja
EatA8J s
2π
kx
a
2π
kx
a
固体物理答案第六 章1
6.2 已知一维晶体的电子能带可写成
Ek m 22a 7 8cosk 8 1caos2ka
式中 a是晶格常数。试求
其次，由公式
1 mij
1 h2
2E kikj
可求得有效质量各分量为
1 42 a 2 J
m xx h 2
2 c2 oas x k co ax s c ko 3a syk
m 1yy12 h22 a2Jcoasx kco3 sayk
m 1 xym 1 yx4 固3 体 h 物2 2a 理2J 答s案i 第n a六xk sin 3ayk
能态密度
N E N E 2 π V 2 c a3B 2E 12
固体物理答案第六
章1
二、假定 A小于0 （1）对于能带为
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
简单立方晶体中的电子，其能带顶在第一布里渊区8个角顶处
π , π , π a a a
解：（1）由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当
kxky kz 0时，E s 取最小值，即 kxky kz 0
是能带底，电子有效质量为
mxx
2
2 Es
k
2 x
固体物理答案第六
ki 0
2 2J s a 2
章1
同理可得
myy2J s2a2 ,mzz2J s2a2
其他交叉项的倒数全为零。而在布里渊区边界上的
（1）能带的宽度；
（2）电子在波矢 k 的状态时的速度；
（3）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（1）能带宽度为 ΔE Em axEm in
由极值条件
dEk 0
dk
固体物理答案第六 章1
得
sink1sain2 skia nk1sainkac0oska
4
2
上式的唯一解是 sink0a的解，此式在第一布里渊区内的
在这些点，电子的有效质量为
m
2 2E
2 Aa 2
固 体k物i2 理 ki答案πa 第六
章1
由此可知A=-2。
（2）电子在能带顶的能量 E2B。 在布里渊区中心能带底的能量 E2B。
可见能带宽度为4。
（3）在布里渊区中心附近，k 0,
E 2 k x c a c o k y o a c s k s z a o B s 2 1k x 2 a 2 1ky 2 a2 1k z 2 a 2 B
章1
式中 R s 和 R n 分别代表参考原子及其最近邻的位矢。在一维原 子链中，只有两个最近邻。选取参考原子为坐标原点，Rs 0， 则两个最近邻的位矢可分别记为 Rn a,a，此处a为原子间距。
由于交迭积分 J sn 对两个最近邻是相等的，记为 J ，便得
E k E 0 A J e i 2 k a e i 2 ka
E 0A 2Jco 2k s a
E0A2J4Jsin2ka
Emin4Jsin2ka
(2)
式中Emi nE0A2J代表能带底的数值。
（2）从上式可知，当 k1/2a 时，能量取最大值
固体物理答案第六 章1
E ma xE 0A2J
这就是能带顶的数值，故能带宽度
E E m aE xm in 4J
在能带底附近，k值很小，sin ka ka，(2)式可写成
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心。 固体物理答案第六 章1
在布里渊区中心，电子的有效质量为
m
2 2E
2
Aa 2
k
2 i
ki 0
由此可知A=2。
（2）电子能带
E 2 k c x a c o k y o a c s k s z o a B s
k
状态的速度大小
相等，方向相反，即
v k v k
并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
证明：
k 态的电子速度为
v k h 1 k E k h 1 E k x k i E k k y j E k k z k
(1)
于是
v k 1 E k i E k j E k k
固体物理答案第六 章1
21kxa2kya2kza2B 2 2 2
2Ba2k2
令 E E 2 B ，则上式化为 Ea2k2
可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。
因此，能量 E 和能量 EdE两等能面间的波矢空间体积为
Vc
2π3
4π
k2dk
固体物理答案第六 章1
相应的量子态数目
d z2 2 π c3 V 4πk 2 d k 2 π V 2 c a 3E 2 B 12d E
第六章 晶体中电子的输运性质
固体物理答案第六 章1
6.1 用紧束缚方法可以导出体心立方晶体s态电子的能带为
E k E s a tA 8 c Jo k 2 x a s co k 2 ya s co k 2 za s
（1）试求能带顶部和底部的电子有效质量；
（2）试画出沿 k x方向 kykz0，Ekx和vkx 的曲线。
E k E 0 A J eiπ ax ( k 3 k y) e iπ ax ( k 3 k y) e iπ ax ( k 3 k y)
E 0AJ 22ce iπ o π aa x ks cxk2 o2 3sπ iπ ea ax kc yko3sπayk
E 0 A 2 J c 2 a o x 2 c k s a x o c k 3 a o s x k s
(2)
h k x
k y
k z
固体物理答案第六
章1
因为能量
Ek
是波矢
k
的偶函数，即
E k E k ，因此
Ek Ek
kx
kx
Ek Ek
ky
ky
Ek Ek
kz
kz
代入(2)式，v 有k 1 E k i E k j E k k h k x k y k z 固体物理答案第六 章1
的能带底在 π , π , π a a a
处。
固体物理答案第六
章1
由带顶和带底的能量得知能带宽度为4。
（3） 在布里渊区中心附近，k 0,
E 2 k c x a c o k y o a c s k s z o a B s 2 1k x 2 a 2 1ky 2 a2 1k z 2 a 2 B 21kxa2kya2kza2B
能态密度
（3）由
1 m
1 2
2E k2
式，可求得带顶和带底电子的有效质量
分别为
固体物理答案第六 章1
6.3 设晶格势场对电子的作用力为 F L ，电子受到的外场力为
F e ，证明：
m m Fe Fe FL
证明：因为 pmv为电子的动量，所以有
dv
mdtF总Fe FL
(1)
另一方面，加速度
dv dvdk
a dt dkdt
2π,0 , 0 0,2π,0 , 0,0 2π, a a a
处是能带顶，电子的有效质量为
m xxmyymzz2J s2a2
其他交叉项的倒数也全为零。 固体物理答案第六 章1
（2）在能带底部 kxky kz 0时
m xxmyymzzHale Waihona Puke J s2a2当ky kz 0时
Ekx
EatA8J s
解为
k 0, π
a
当k 0时，Ek取极小值 Emin ，且有
E mi nE 00
当k 0时，Ek取极大值 Emax ，且有
Emax固E体物πa理答m 2案第2a2六
章1
由以上可得能带宽度为
ΔE Ema-xEmin m 222a
（2）由 vk01kEk0 式，可得电子的速度
v 1ddE kk m s ain4 1 ksa in 2ka
(1)证明其s态电子的能带为
Ek Emi n4Jsi2n 1 2ak
式中，Emin 为能带底部的能量；J为交迭积分.
(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。
证明：（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量，
结果可写成
最近邻
EkE0A
e J i2kRnRs sn
(1)
固体物理答R 案n 第六
6.8 已知某简立方晶体的晶格常数为 a，其价电子的能带
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
（1）已测得能带顶电子的有效质量
m
2 2a2
，试求参数A；
（2）求出能带宽度；
（3）求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。
解： 一、假定A大于0
（1）对于能带为
并计算相应的电子速度 v k
和有效质量各个分量 m ij 。
解：若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中
s态电子的能量 ，其结果是
Ek E0A最近 ei2k 邻 R nR sJsn
R n
式中 Rs 和 Rn 分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。在二维
正三角形晶格中，有6个最近邻(如图)。如选取参考原子为坐标