排列组合问题的常用解题技巧与方法

排列组合问题的常用解题技巧与方法
纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。

有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。

解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。

其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。

实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。

下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:
一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)
对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。

例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?
分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有,每捆
内部分别有种、种、种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。

二、不相邻问题“插空法”
对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。

例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?
分析:先把5个人全排列有不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有种插法。

∴共有=3600种不同排法。

三、特殊元素“优先安排法”
对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。

例3:七人站成一排照相,其中甲不站排头,也不站排尾,共有多少种排法?
分析:由于甲不站两端,既为“特殊”元素,应优先安排,甲可站个位置,其余6人再进行全排列共有,由分步计数原理得共有=3600种。

四、总体“淘汰法”(或排除法)
对于含有否定词语的或者只有一部分符合条件的问题,可以从总体中把不符合要求条件的剔除去,此时应注意既不
能多也不能少。

例4:以一个正方体顶点为顶点的四面体共有多少个?
分析:正方体共8个顶点,从中每次取4个点,理论上构成个四面体,但6个表面和6个对角面顶点共面都不能构成四面体,应把这些剔除,所以四面体实际上共有-12=58个。

五、顺序固定问题用“除法”又称定序排列
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例5:书架上有6本书,新买3本书插进去,要保持原来6本书的顺序不变,共有多少种不同的排法?
分析:先将9本书进行全排列共有种排法,而原来的6本书保持原来的1种顺序,其全排列为,∴共有的排法:N= =504种
六、多排问题“单排法”
把几个元素排成若干排的问题,若没有其他的特殊要求,可采用统一排成一排的方法来处理。

例6:某班80个同学坐在10排座位上,每排坐8人,则共有多少种不同的坐法?
分析:80个同学可以在10排座位上随意就坐,再无别的要求,故10排看成一排来处理,故不同的坐法有种。

七、标号排位问题“分步法”
把元素排到指定号码的位置上,可先把某几个元素按规
定排入,第二步再排另一个元素如此继续下去,依次即可完成。

例7:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相
同的填法共有几种?
分析:先将1填入方格,符合条件的有种方法;第二步:把
被填方格的对应数字填入其他三个方格;第二步余下两个数
字只有一种填法。

故共有=9种。

八、有序问题“逐分法”
是指把元素按要求分成若干组,可用逐步分组法。

例8:有甲、乙、丙三项任务,甲需要2人承担,乙、丙各
需1人承担,从10人中选4人承担这三项任务,不同的选法总数有多少?
分析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩余的8
人中选1人承担乙,第三步从另外的7人中选1人承担丙任务,不同的选法共有: =2520种。

九、多元问题“分类法”
元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求分成不相容
的几类情况分别计算最后总解。

例9:由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六
位数,其中个位数字小于十位数字的共有多少个?
分析:个位数字是0、1、2、3、4共五种情况,分别有个,
个,
个, 个, 个,
合计: + + +
+ =300个
也可以用均等概率法: =300个
十、交叉问题“集合法”
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式:
∩(A∪B)=∩(A)+∩(B)-(A∩B)
例10:从6名运动员中出选4人参加4×100m接力赛,如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同参赛方法?
解:设全集I={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},B={乙第四棒的排列}.根据求集合元素个数公式得参赛方法共有:
∩(A∪B)=∩(I)-∩(A)-∩(B)+∩(A∩B)=
?D ?D + =252种。

十一、至少问题“间接法”
关于“至少”类型组合问题,用间接法比较方便.
例11:从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有多少种?
分析:至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另外一种型号的电视机,故不同取法共有:
?D ?D =70种。

十二、选排问题“先取后排法”
从几类元素中取出符合条件的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法。

例12:四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有多少种?
分析:先取四个球中的两个为一组,另二组各一个球的方法有种,再排,在4个盒中每次排3个有种,故共有=144种。

十三、“隔板法”
对于被分组的元素是相同的,没有区分的在分组后每组都至少含有一个元素的问题采用隔板法。

例13:将8个相同的篮球分给甲、乙、丙、丁四个班级,每个班级至少分到一个,有多少种不同的分法?
分析:设甲、乙、丙、丁四个班级分别分到篮球为x,y,z,w 个,用3个相同隔板将8个元素分成四组,即将3块隔板放在8个元素之间的7个位置上,共有=35种分法。

例14:求①方程:x+y+z+w=100的正整数解的个数。

②方程:x+y+z+w=100的非负整数解的个数。

③方程:x1+x2+…
+xm=n的正整数解与非负整数解的个数。

以上各题均可采用隔板法。

十四、分组问题
均匀分组除法处理,非均匀分组组合处理。

例15:有9个不同的文具盒:⑴将其平均分成三组;⑵将其分成三组,每组个数分别为2、3、4。

上述问题有多少种不同的分法?
分析:⑴此题属均匀分组问题,先取3个为第一组有种分法,再取3个为第二组,有种分法,剩下的3个为第三组,有种分法,由于三组之间没有顺序,故共有种分法。

⑵同⑴,共有种分法:因三组分的个数各不相同,暗含顺序问题,故不必再除以,所以共有种分法。

十五、对应问题“映射法”
例16:三封信投寄四个邮箱,一共有多少种不同的投递方法?
分析:三封信要投递出去,相当于每封信都要有“象”,而邮箱可空,相当于A集合中有3个元素,B集合中有4个元素,子集A到集合B的映射个数43=64,即有64种方法。

一般的结论是:集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到B的映射有nm个,而从B到A的映射有mn 个。

(作者单位:628300四川省广元市剑州中学)。