数学：第一章《反比例函数》学案(浙教版九年级上)

数学：第一章《反比例函数》学案（浙教版九年级上）
1.1反比例函数
1.2反比例函数的图象和性质
1.3反比例函数的应用
重点难点
重点：反比例函数的图象和性质
反比例函数的应用
难点：反比例函数的图象和性质的综合运用
反比例函数的应用题的多种题型。

知识要点：
1、反比例函数的定义
反比例函数
反比例函数定义
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k。

反比例函数表达式
X是自变量，Y是X的函数
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）
y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）
若y=k/nx 此时比例系数为:k/n
反比例函数的自变量的取值范围
① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

2、反比例图象和性质
反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数性质
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

图象和性质的表格学习：
正比例函数与反比例函数的对照表：
经典例题：
例1 如图所示，已知反比例函数y1=m
x
（m≠0）•的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）
的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图像相交于另一点B．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B 的坐标．
【解答】求两个函数的表达式，应先求出函数式中的待定系数m ，k ，b ，•求两个函数图像的交点坐标，可联解两函数表达式，得到一组x ，y 的值，即可交点坐标．
（1）∵点A （－2，1）在反比例函数y 1=m x 的图像上． ∴1=2
m -，即m=－2． 又A （－2，1），C （0，3）在一次函数y 2=kx+b 图像上．
∴213
k b b -+=⎧⎨=⎩ 即13k b =⎧⎨=⎩
∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=－
2x 与y=x+3． （2）由32y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
得x+3=－2x ，即x 2+3x+2=0，∴x=－2或x=－1，于是21
x y =-=⎧⎨⎩或12x y =-=⎧⎨⎩ ∴点B 的坐标为（－1，2）．
【点评】求两个函数图像的交点坐标，就是解两个函数解析式组成的方程组，求出的一组解即是一个交点的坐标．
例2 如图，已知反比例函数y=
k x
（k<0）的图像经过点A （－3，m ），•过点A 作AB ⊥x 轴于点，且△AOB 的面积为3．
（1）求k 和m 的值；
（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO•的度数为│AO │：│AC │的值．
【分析】（1）由A 点横坐标可知线段OB 的长，再由△AOB 的面积易得出AB 的长，•即m 的值，此时可知点A 的坐标由点A 在反比例函数y=k x
上可求得k 的值． （2）由直线y=ax+1过点A 易求出a 值．进而可知点C 的坐标，在Rt △ABC 中易求tan ∠ACO 的值，可知∠ACO 的度数，由勾股定理可求得OA ，AC 的长．
【解答】（1）∵S=3
∴12·m ·3=3，∴m=2，又y=k x 过点A （－3，2），则2=3
k -，∴k=－23 （2）∵直线y=ax+1过A （－3，2）
∴2=－3a+1，
∴a=33，y=33
+1． 当y=0时，x=3，
∴C （3，0），BC=23，
又tan ∠ACO=223AB BC ==33
， ∴∠ACO=30°．在Rt △ABO 中，AO=22OB AB +=7，在Rt △ABC 中，AC=2AB=4．
∴│AO │：│AC │=7：4．
例题3、如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=12x
的图像经过点A ， （1）求点A 的坐标；
（2）如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ，且OB=AB ，•求这个一次函数的解析式．
【分析】（1）用含一个字母a 的代数式表示点A 的横坐标，纵坐标，把点A 的坐标代入y=12x 可求得a 的值，从而得出点A 的坐标．
（2）设点B 的坐标为（0，m ），根据OB=AB ，可列出关于m 的一个不等式，•从而求出点B 的坐标，进而求出经过点A ，B 的直线的解析式．
【解答】（1）由题意，设点A 的坐标为（a ，3a ），a>0．
∵点A 在反比例函数y=12x 的图像上，得3a=12a
，解得a 1=2，a 2=－2，经检验a 1=2，a 2=－2•是原方程的根，但a 2=－2不符合题意，舍去．
∴点A 的坐标为（2，6）．
（2）由题意，设点B 的坐标为（0，m ）．
∵m>0，∴m=22(6)2m -+．
解得m=
103，经检验m=103
是原方程的根， ∴点B 的坐标为（0，1013
）． 设一次函数的解析式为y=kx+1013． 由于这个一次函数图像过点A （2，6），
∴6=2k+103
，得k=43． ∴所求一次函数的解析式为y=43x+103
． 例4 如图，已知Rt△ABC 的顶点A 是一次函数y=x+m 与反比例函数y=
m x 的图像在第一象限内的交点，且S △AOB =3．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，•请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
（2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作DE⊥x 轴于E ，那么△ODE 的面积与△AOB 的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断△AOD 为何特殊三角形，并证明你的结论．
【分析】△AOB 是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的12
，•而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m ，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．
由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x 轴，y 轴的垂线，•该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．
【解答】（1）设B （x ，0），则A （x 0，0
m x ），其中0>0，m>0． 在Rt△ABO 中，AB=0
m x ，OB=x 0． 则S △ABO =12
·x 0·0m x =3，即m=6． 所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=6x
． （2）由66y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
得x 2+6x －6=0， 解得x 1=－3+15，x 2=－3－15．
∴A（－3+15，3+15），D （－3－15，3－15）．
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P （x ，y ），有 y=
6x
．即xy=6． ∴S △DEO =12│x D y D │=3，即S △DEO =S △ABO ． （3）由A （－3+15，3+15）和D （－3－15，3－15）可得AO=43，DO=43，即AO=DO ． 由图可知∠AOD>90°，∴△AOD 为钝角等腰三角形．
【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．
例5、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P （m ，4），已知点P 到x 轴的距离是到y 轴的距离2倍. ⑴求点P 的坐标.；
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。

分析：由点P 到x 轴的距离是到y 轴的距离2倍可知：2|m|=4，易求出点P 的坐标，再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。

解：略
例6、已知a ，b 是常数，且y+b 与x+a 成正比例.求证：y 是x 的一次函数.
分析：应写出y+b 与x+a 成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.
证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k ≠0.
整理，得y=kx+(ka －b). ①
因为k ≠0且ka －b 是常数，故y=kx+(ka －b)是x 的一次函数式.
例7、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a ＜0，b ＜0且bc ＜0，则此直线经过第________象限.
分析：先把ax+by+c=0化为b c x b a --
.因为a ＜0，b ＜0，所以0,0〈-〉b a b a ，又bc ＜0，即b c ＜0，故－b
c ＞0.相当于在一次函数y=kx+l 中，k=－b a ＜0，l=－b c ＞0，此直线与y 轴的交点(0，－b c )在x 轴上方.且此直线的向上方向与x 轴正方向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.
例题8、已知：正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数x
k y 2=(x>0)的图象交于点M （a,1），MN ⊥x 轴于点N （如图），若△OMN 的面积等于2，求这两个函数的解析式.
解：∵MN ⊥x 轴，点M （a ，1）
∴S △OMN=a 21=2
∴a=4
∴
M(4,1)
∵正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数x
k y 2=(x>0)的图象交于点M （4,1） ∴ 414121k k == 解得 441
21==
k k ∴正比例函数的解析式是x y 41=
，反比例函数的解析式是
经典检测题（均是中考题型）
一、填空题
1．（2006，南通）如图1，直线y=kx （k>0）与双曲线y=
4x
交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，•则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．
图1 图2 图3
2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （－203
，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．
3．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为_______．
4．若y=2131
a a a x --+中，y 与x 为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．
5．反比例函数y=k x
的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．
6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______． 7．反比例函数y=k x
的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．
8．（2008，咸宁）两个反比例函数y=k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示，•点P 在y=k x
的图像上，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点D ，交y=1x 的图像于点B ，•当点P 在y=k x
的图像上运动时，以下结论：
①△ODB 与△OCA 的面积相等；
②四边形PAOB 的面积不会发生变化；
③PA 与PB 始终相等 ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，•少填或错填不给分）．
二、选择题
9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，•若双曲线y=
k x
（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．1<k<2
B ．1≤k≤3
C ．1≤k≤4 D．1≤k<4
图4 图5 图6
10．反比例函数y=k x
（k>0）的第一象限内的图像如图5所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设△POQ 的面积为S ，则S 的值与k 之间的关系是（ ）
A ．S=4k
B ．S=2
k C ．S=k D ．S>k 11．如图6，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=
2x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）
A ．2
B ．22
C ．2
D ．22
12．函数y=m
x
与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）
13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n）在双曲线y=2
x
上，那么函数y=（n－1）x+2m的图像不
经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2006，攀枝花）正比例函数y=2kx与反比例函数y=
1
k
x
在同一坐标系中的图像不可能是（）
15．已知P为函数y=2
x
的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（ •）
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
16．如图，A，B是函数y=1
x
的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于
y轴，•交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC 的面积为S，则（）
A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>2
三、解答题
17．已知：如图，反比例函数y=－8
x
与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：
（1）A，B两点的坐标；（2）△AOB的面积．
18．（2006，广州白云区）如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－8
x
的图像交于A，B两点，
且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．
19．已知函数y=k
x
的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0•的两个实数
根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=k
x
的解析式．
20．（2006，北京市）在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90 °得到直线L．直线L
与反比例函数y=k
x
的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．
21．（2008，南通）如图所示，已知双曲线y=k
x
与直线y=
1
4
x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）
（在A点左侧）是双曲线y=k
x
上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．•过N（0，－n）作NC∥x
轴交双曲线y=k
于点E，交BD于点C．
（1）若点D 的坐标是（－8，0），求A ，B 两点的坐标及k 的值； （2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式；
（3）设直线AM ，BM 分别与y 轴相交于P ，Q 两点，且MA=pMP ，MB=qMQ ，求p －q 的值．
22．如图，在等腰梯形ABCD 中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD•为弦的弓形弧与AD 相切于D ，
P 是AB 上的一个动点，可以与B 重合但不与A 重合，DP•交弓形弧于Q ． （1）求证：△CDQ∽△DPA；
（2）设DP=x ，CQ=y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当DP 之长是方程x 2
－8x －20=0的一根时，求四边形PBCQ 的面积．
答案: 1．20 2．y=－
12x
3．y=100
x 4．2或－1；－1
5．－2；25 6．0≤b<4 7．（－2，－2）
8．①②④ 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C
17．（1）由82
y x y x ⎧
=-
⎪⎨⎪=-+⎩，解得1142x y =⎧⎨
=-⎩，1124x y =-⎧⎨=⎩ ∴A（－2，4），B （4，－2）．
（2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x 轴交于M （2，0），∴OM=2．
∴S △AOB =S △AOM +S △BOM =
1OM·│y A │+1OM·│y B │=1·2·4+1
·2·2=4+2=6．
18．（1）y=－x+2 （2）S △AOB =6
19．由△=（－4a ）2
－4（4a 2
－6a －8）≥0得a≥－4
3
， 又∵a 是最小整数， ∴a=－1．
∴二次方程即为x 2+4x+2=0，又mn=2，而（m ，n ）在y=k x 的图像上，∴n=k m
，∴mn=k，∴k=2，∴y=2x ． 20．依题意得，直线L 的解析式为y=x ． ∵A（a ，3）在直线y=x 上， 则a=3．即A （3，3）． 又∵A（3，3）在y=k
x
的图像上， 可求得k=9．
∴反比例函数的解析式为y=
9x
． 21．（1）∵D（－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入y=
1
4
x 中，得y=－2． ∴B 点坐标为（－8，－2），而A ，B 两点关于原点对称，∴A（8，2）． 从而k=8×2=16．
（2）∵N（0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上，
∴mn=k，B （－2m ，－
2n
），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． S 矩形DCNO =2mn=2k ，S △DBO =12mn=12k ，S △OEN =12mn=1
2
k ，
∴S 四边形OBCE =S 矩形DCNO －S △DBO －S △OEN =k ． ∴k=4． 由直线y=
14x 及双曲线y=4
x
，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C（－4，－2），M （2，2）．
设直线CM 的解析式是y=ax+b ，由C ，M 两点在这条直线上，得 42,2 2.
a b a b -+=-⎧⎨
+=⎩解得a=b=2
3．
∴直线CM 的解析式是y=
23x+23
． （3）如图所示，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M 1．
设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ，于是p=
111A M MA a m
MP
M O
m
-=
=． 同理q=
MB MQ =m a
m
+， ∴p－q=
a m m -－m a
m
+=－2． 22．（1）证∠CDQ=∠DPA，∠DCQ=∠PDA． （2）y=
60
x
（8≤x≤185）． （3）S 四边形PBCQ =48－93．
经典试题2、 一、填空题
1．（2006，广安）如图1所示，如果函数y=－x 与y=－4
x
的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为_______．
图1 图2 图3
2．（2006，青岛）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A ）•与可变电阻R （Ω）之间的函数关系如图2所示，当用电器的定电流为10A 时，用电器的可变电阻为______Ω． 3．（2005，西宁市）如果反比例函数y=－
k
（x>0）的图像在第一象限，则k_____；•写出一个图像在一，
二，四象限的一次函数关系式：________．
4．（2005，贵州省）反比例函数y=
21
m
x
--
（m为常数）的图像如图3所示，则m的取值范围是_______．
5．（2005，威海市）已知双曲线y=k
x
经过点（－1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b1）•两点在该双曲线上，
且a1<a2<0，那么b1______b2．
6．如图4所示，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4
x
交于A（x1，y1），B（x2，y2）•两点，•则2x1y2－7x2y1的
值等于______．
图4 图5 图6
7．（2008，福州）如图5所示，在反比例函数y=2
x
（x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标
依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，•图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=_______．
8．如图6所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－20
3
，5），D是AB
边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，•若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______．
二、选择题
9．（2006，绵阳）如图所示，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图像上，
•OA•∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四
边形AOEC的面积为（）
A．3 B．3 C．3－1 D．3+1
10．函数y=kx+b（k≠0）与y=k
x
（k≠0）在同一坐标系中的图像可能是（）
11．（2006，绍兴）如下左图所示，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，
E在函数y=1
x
（x>0）的图像上，则点E的坐标是（）
A．（51
2
+
，
51
2
-
） B．（
35
2
+
，
35
2
-
）
C．（51
2
-
，
51
2
+
） D．（
35
2
-
，
35
2
+
）
12．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一质量m的某种气体，•当改变容积V时，气体的密度p也
随之改变．p与V在一定范围内满足p=m
V
，它的图象如上右图所示，•则该气体的质量m为（）
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
13．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=1，AB=3
2
，BC=2，P是
BC边上的一个动点（点P与点B不重合，可以与点C重合），DE⊥AP于点E，设AP=x，DE=y．•在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（）
14．（2005，宁波市）正比例函数y=x与反比例函数y=1
x
的图像相交于A，C
两点，AB•⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）
A．1 B．3
2
C．2 D．
5
2
15．（2008，烟台）在反比例函数y=12m
x
-
的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，
A．m<0 B．m>0 C．m<1
2
D．m>
1
2
16．（2005，南宁市）函数y=ax2－a与y=a
x
（a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（• ）
三、解答题
17．（2006，天津市）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图像与反比例函数y=m
x
（m≠0）的图像都经过点A
（4，2）．
（1）求这两个函数的解析式；（2）这两个函数的图像还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标；若没有，•请说明理由．
18．（2005，四川省）如图所示，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=k
x
的图像交于A，B两点，与x
轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=5，tan∠AOC=1
2
，点B的坐标为（
1
2
，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．
19．（2006，广东）如图所示，直线y=k1x+b与双曲线y=
2
k
x
只有一个交点（1，2），且与x轴，y轴分别交
于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线，双曲线的解析式．
20．（2006，常德市）如图所示，已知反比例函数y1=m
x
（m≠0）的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b
（k≠0）的图像经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
21．（2005，甘肃省）如图所示，反比例函数y=－8
x
与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点．（1）求A，
B两点的坐标；（2）求△AOB的面积．
22．（2008，金华）如图所示，已知双曲线y=k
x
（k>0）与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限，
试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为_______；若点A的横坐标为m，则点B•的坐标可表示为______．
（2）如图所示，过原点O作另一条直线L，交双曲线y=k
x
（k>0）于P，Q
两点，点P•在第一象限．
①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？•若可能，直接写出m，n应满足条件；若不可能，请说明理由．
参考答案
1．2 2．3.6 3．<0；y=－x+1（答案不唯一，合理即可）
4．m<－1
2
5．< 6．20 7．
3
2
8．y=－
12
x
9．D 10．A 11．A 12．D 13．B 14．C 15．C 16．A
17．（1）∵点A（4，2）在正比例函数y=kx的图像上，有2=4k，即k=1
2
．
∴正比例函数的解析式为y=1
2
x．
又∵点A（4，2）在反比例函数y=m
x
的图像上，有2=
4
m
，即m=8．
∴反比例函数的解析式为y=8
x
．
（2）这两个函数的图像还有一个交点．
由
1
,
2
8
.
y x
y
x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
解得1
1
4,
2;
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或2
2
4,
2.
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
∴这两个函数图像的另一个交点坐标为（－4，－2）．18．（1）过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示．
在Rt△OHA中，
∵tan∠AOC=||
||
AH
HO
=
1
2
，
∴2│AH │=│HO │．
由勾股定理，得
│AO │2=（5）2=│AH │2+│HO │2=5│AH │2， ∵│AH │>0，
∴│AH │=1，│HO │=2．
∴点A （－2，1）．
∵点A 在反比例函数y=
k x 的图像上． ∴1=2
k -，解得k=－2． ∴反比例函数的解析式为y=－
2x 将B （12，m ）代入y=－2x
中，得m=－4． ∴B （12
，－4）． 把A （－2，1），B （12，－4）分别代入y=ax+b 中，得12,14.2
a b a b =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩， 解得a=－2，b=－3．
∴一次函数的解析式为y=－2x －3．
（2）∵│OD │=│b │=3．
∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =12│b │·│x │+12
│b │·│x │ =12×3×2+12×3×12=154
． 19．直线解析式为y=－2x+4 双曲线解析式为y=
2x 20．（1）∵点A （2，－1）在反比例函数y 1=
m x 的图像上． ∴1=2
m -，即m=－2． 又A （－2，1），C （0，3）在一次数y 2=kx+b 图像上．
∴21,3.k b b -+=⎧⎨=⎩
即13k b =⎧⎨=⎩ ∴反比例函数与一次函数解析式分别为：
y=－2x
与y=x+3． （2）由32y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
得x+3=－2x
，即x 2+3x+2=0． ∴x=－2或x=－1．
于是21
x y =-⎧⎨=⎩ 或12x y =-⎧⎨=⎩
∴点B 的坐标为（－1，2）．
21．（1）解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩
得121242,24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ∴A ，B 两点的坐标分别为A （－2，4），B （4，－2）．
（2）∵直线y=－x+2与y 轴交点D 的坐标是（0，2）． ∴S △AOD =12×2×2=2，S △BOD =12
×2×4=4． ∴S △AOB =2+4=6．
22．（1）（－4，－2） （－m ，－k ′m ）或（－m ，－
k m
） （2）①由勾股定理OA=22(')m k m +， OB=22()(')m k m -+-=22(')m k m +， ∴OA=OB ．
同理可得OP=OQ ，
∴四边形APBQ 一定是平行四边形．
②四边形APBQ 可能是矩形，
m ，n 应满足的条件是mn=k ．
四边形APBQ 不可能是正方形．
理由：点A ，P 不可能达到坐标轴，即∠POA ≠90°．。