高中数学人教新课标A版 必修1 第一章 集合与函数概念 1

高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.2 奇偶性一、选择题 (共15题；共30分)
1．（2分）下列函数中是奇函数的是（）
A．f（x）＝x2＋3B．f（x）＝1－x3
C．f（x）＝x3D．f（x）＝x＋1
，则f（－1）＝（）2．（2分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋1
x
A．－2B．0C．1D．2
3．（2分）已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与直线y=1有4个交点，则方程f(x)−1=0的所有实根之和是（）
A．4B．2C．1D．0
4．（2分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－3x，则函数f（x）在R上的解析式是（）
A．f（x）＝－x（2x－3）B．f（x）＝x（2|x|－3）
C．f（x）＝|x|（2x－3）D．f（x）＝|x|（2|x|－3）
5．（2分）下面四个说法：
①奇函数的图象关于坐标原点对称；
②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
6．（2分）设奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f （π），f（－3）的大小关系是（）
A．f（π）＞f（－3）＞f（－2）B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C．f（π）＜f（－3）＜f（－2）D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）
7．（2分）已知f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，若f（－4）＝10，则f（4）＝（）A．16B．－10C．10D．－16
8．（2分）已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F （x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为（）
A ．2a ＋3
B ．2a ＋6
C ．6－2a
D ．6
9．（2分）下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．y =x +1
B ．y =−x 2
C ．y =1x
D ．y =x 3
10．（2分）已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且有 f(3)>f(1) .则下列各式中一定成立的是
（ ）
A ．f(−1)<f(3)
B ．f(0)<f(5)
C ．f(3)>f(2)
D ．f(2)>f(0)
11．（2分）已知y ＝f(x)，x ∈(－a ，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
12．（2分）已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x +2)=−f(x) ，则 f(6) 的值为（ ）
A ．−1
B ．0
C ．1
D ．2
13．（2分）函数 f(x)=
1
1+|x| 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．（2分）奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式 f(x)−f(−x)x
>0 的解集为
（ ）
A ．(﹣1，0)∪(1，+∞)
B ．(﹣∞，﹣1)∪(0，1)
C ．(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)
D ．(﹣1，0)∪(0，1)
15．（2分）设 f(x) 是奇函数，对任意的实数 x,y 有 f(x +y)=f(x)+f(y) ，且当 x >0 时，
f(x)<0 ，则 f(x) 在区间 [a,b] 上（ ） A ．有最大值 f(a+b 2)
B ．有最小值 f(a+b 2)
C ．有最大值 f(a)
D ．有最小值 f(a)
二、填空题 (共6题；共12分)
16．（2分）设函数f （x ）＝
x+2a+3
x 2+8
为奇函数，则实数a ＝ . 17．（2分）若函数f （x ）＝（2k －3）x 2＋（k －2）x ＋3是偶函数，则f （x ）的递增区间
是 ．
18．（2分）已知f （x ）为奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝2x 2＋5x ＋1.若当x ∈[1，3]时，f （x ）的最
大值为m ，最小值为n ，则m －n 的值为 ．
19．（2分）若 f(x)=(x+2)(x+m)x
为奇函数,则实数m= .
20．（2分）已知 f(x) 是偶函数，当 x <0 时， f(x)=x(x +1) ，则当 x >0 时，
f(x)= ．
21．（2分）已知函数 F(x)=f(x −1)+x 2 是定义在 R 上的奇函数，若 F(−1)=2， 则
f(0)= .
三、解答题 (共6题；共80分)
22．（5分）已知函数f （x ）（x ∈R ）是偶函数，且当x ≥ 0时，f （x ）＝3x －2，求函数f （x ）的解
析式．
23．（20分）判定下列函数的奇偶性．
（1）（5分）f （x ）＝ x 2
+1x−1
；
（2）（5分）f （x ）＝ √1−x 2+√x 2−1 ；
（3）（5分）f （x ）＝ 3x x 2+3
；
（4）（5分）f （x ）＝|x ＋1|＋|x －1|.
24．（10分）已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝－2x 2＋4x ＋3.
（1）（5分）求f （x ）的表达式；
（2）（5分）画出f （x ）的图象，并指出f （x ）的单调区间．
25．（20分）判断下列函数的奇偶性．
（1）（5分）f(x)＝x 2－|x|＋1，x ∈[－1,4]； （2）（5分）f(x)＝
√1−x 2
|x+2|−2
；
（3）（5分）f(x)＝ (x −1)√1+x 1−x ；
（4）（5分）f(x)＝ {−x 2+x,x >0,
x 2
+x,x <0.
26．（10分）设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ∈R ，当a ＋b≠0时，都有 f(a)+f(b)a+b
>
0.
（1）（5分）若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
（2）（5分）若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
27．（15分）已知定义在R上的函数满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0.
（1）（5分）求证：f(x)为奇函数；
（2）（5分）求证：f(x)为R上的增函数；
（3）（5分）解关于x的不等式：f(ax2)−f(2x)>f(a2x)−f(2a)(其中a>0且a为常数).
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由奇、偶函数的定义得f（x）＝x2＋3为偶函数，f（x）＝1－x3为非奇非偶函数，f （x）＝x3为奇函数，f（x）＝x＋1为非奇非偶函数．
故答案为:C.
【分析】由奇、偶函数的定义进行判断即可得到正确选项.
2．【答案】A
【解析】【解答】f（－1）＝－f（1）＝－2.
故答案为:A.
【分析】根据地奇函数的性质求函数值.
3．【答案】D
【解析】【解答】偶函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）与直线y=1的四个交点也关于y轴对称．因此，设y轴右侧一交点的横坐标为x1，则它关于y轴对称的交点的横坐标为－x1；设y 轴右侧另一交点的横坐标为x2，则它关于y轴对称的交点的横坐标为－x2.故f(x)−1=0的四根之和为x1＋（－x1）＋x2＋（－x2）＝0.
故答案为:D.
【分析】由偶函数y＝f（x）的图象关于y轴对称,其图象与直线y = 1 的个交点也关于y轴对称,从而可求出其和为0.
4．【答案】D
【解析】【解答】∵f（x）在R上是偶函数，且x≥0时，f（x）＝2x2－3x，
∴当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝2（－x）2＋3x＝2x2＋3x，
则f（x）＝f（－x）＝2x2＋3x＝－x（－2x－3）．
又当x≥0时，f（x）＝2x2－3x＝x（2x－3），因此f（x）＝|x|（2|x|－3）．
故答案为:D.
【分析】根据函数的奇偶性及函数在y轴一侧的解析式,利用偶函数的图象关于y轴对称,可求出函数在y轴另一偶的解析式.
5．【答案】B
【解析】【解答】根据奇函数性质知其图象一定关于坐标原点对称，故①正确；
函数f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，故②正确；
函数y＝1
x
是奇函数，但其图象不过原点，故③错；
函数y＝1
x2
是偶函数，但不与y轴相交，故④错．故正确的有2个.
故答案为:B.
【分析】(1)(2)可由函数的奇偶性的性质作判断,(3)(4)可用实例说明不正确.
6．【答案】B
【解析】【解答】∵f（x）是奇函数，f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
∴f（x）在R上为增函数，
又∵−3<−2<π，
∴f（π）＞f（－2）＞f（－3）.
故答案为:B.
【分析】由奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数,可推出函数f(x)在R 上是增函数,从而可比较三个函数值的大小.
7．【答案】D
【解析】【解答】由f（x）＝2x5＋ax3＋bx－3，
得f（x）＋3＝2x5＋ax3＋bx，令g（x）＝f（x）＋3，
则g（x）是奇函数．∴g（－4）＝－g（4），
即f（－4）＋3＝－f（4）－3.又f（－4）＝10，
∴f（4）＝－f（－4）－6＝－10－6＝－16.
故答案为：D.
【分析】将函数f(x)的一部分设为奇函数g(x)，利用奇函数的性质求函数值.
8．【答案】D
【解析】【解答】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.
故答案为:D.
【分析】由奇函数f(x)的对称性得到F(x)的对称性,从而得到F(x)在区间是的最大值与最小值的和. 9．【答案】D
【解析】【解答】A中函数不是奇函数；B中函数不是奇函数；C中函数是奇函数，在定义域上不具有单调性；D中函数是奇函数并且是增函数.
故答案为:D.
【分析】对函数的偶性和单调性同时判断,找到正确选项.
10．【答案】A
【解析】【解答】∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−1)=f(1)
又f(3)>f(1)
∴f(3)>f(−1)
故答案为：A
【分析】由偶函数的性质将函数值得转化,即可得到正确选项.
11．【答案】B
【解析】【解答】根据题意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
故答案为:B.
【分析】由奇偶函数的定义,判断复合函数的奇偶性.
12．【答案】B
【解析】【解答】因为f(x+2)=−f(x)，所以f(6)=−f(4)=f(2)=−f(0)，又f(x)是定义域上的奇函数，所以f(0)=0，所以f(6)=0，故答案为:B．
【分析】由函数的奇偶性结合条件可得f(6)=-f(0),从而可求f(6).
13．【答案】C
【解析】【解答】当x>0时，f(x)=
1
1+x
在（0，+∞）内是减函数，过点（0，1），
又f(x)=
1
1+|x|
是偶函数,当x<0时，f(x)=1
1−x
在（−∞，0）内是增函数，
结合反比例函数的图象可知选C.
故答案为:C.
【分析】对于含有绝对值的函数,先分段得单调性,再结合奇偶性对图象作判断. 14．【答案】C
【解析】【解答】由函数的奇偶性可知f(x)−f(−x)
x>0即2f(x)
x>0
，xf(x)>0，
又∵奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴可画图如下，
由图可知：x〈−1或x〉1.
故答案为:C.
【分析】利用奇偶性结合函数图象求解.
15．【答案】C
【解析】【解答】设x1<x2，由已知条件有f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2+(−x1))= f(x2−x1)，因为x2−x1>0，所以f(x2−x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，所以在区间[a,b]上函数f(x)的最大值为f(a).
故答案为:C.
【分析】利用抽象函数所满足的条件,研究单调性,结合奇偶性求解.
16．【答案】−3
2
【解析】【解答】解法一：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即
−x+2a+3 (−x)2+8＝−x−2a−3
x2+8
，得a＝−3
2
.
解法二：由f（－1）＝－f（1），可得a＝−3
2
.
故答案为：a=−3
2
【分析】由奇函数就满足的条件得到关于参数a的方程，求a的值. 17．【答案】[0,+∞)
【解析】【解答】因为f（x）是偶函数，所以k－2＝0，即k＝2.
∴f（x）＝x2＋3，则f（x）的图象是开口向上的抛物线．
∴f（x）的递增区间为[0,+∞)．
故答案为: [ 0 , + ∞)
【分析】由偶函数应满足的条件求解.
18．【答案】49
8
【解析】【解答】当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1，且f（x）是奇函数，当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝2x2－5x＋1.
故当x＞0时，f（x）＝－f（－x）＝－2x2＋5x－1.
∴当x∈[1,5
4
]时，f（x）是增函数；
当x∈[5
4
,3]时，f（x）是减函数．
因此当x ∈[1，3]时，f （x ）max ＝ f(5
4
) ＝ 178 ，f （x ）min ＝f （3）＝－4.
∴m ＝ 178
，n ＝－4.
故答案为:m －n ＝ 49
8
.
【分析】先由函数的奇偶性求出函数在y 轴的另一侧的解析式,分别求出最值,刘到结果.
19．【答案】-2
【解析】【解答】依题意得 f(x)=x 2+(m+2)x+2m x
.
又函数 f(x) 是奇函数,于是有 f(−x)+f(x)=0 ,即 (−x)2
−(m+2)x+2m −x +x 2
+(m+2)x+2m x
=0 ,
则 m +2=0,m =−2 . 故答案为:-2
【分析】结合奇函数的定义,得到关于m 的方程求m.
20．【答案】x(x −1)
【解析】【解答】设 x >0 ，则 −x <0 ，由 x <0 时， f(x)=x(x +1) ，得 f(−x)=
−x(−x +1)=x(x −1) ，又 f(x) 是偶函数，则 f(−x)=f(x) . 故答案为:x(x −1) .
【分析】已知偶函数在y 轴的一偶的解析式,由对称性可求另一偶的解析式.
21．【答案】-3
【解析】【解答】因为函数 F(x)=f(x −1)+x 2 是定义在 R 上的奇函数，所以 F(−x)=
−F(x) ，即 f(−x −1)+x 2=−f(x −1)−x 2(1) ， 又因为 F(−1)=f(−2)+1=2 ，所以 f(−2)=1 ， 将 x =−1 代入(1)式可得 f(0)+1=−f(−2)−1 . 所以 f(0)=−3. 故答案为:-3
【分析】由奇函数的性质,将F(-2)和f(-2)互相表示,再用复合函数求f(0)的值.
22．【答案】解：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）＝3（－x ）－2＝－3x －2.
又∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）， ∴f （x ）＝－3x －2.
∴所求函数的解析式为f （x ）＝ {
3x −2,x ≥0,
−3x −2,x <0.
【解析】【分析】已知偶函数在y 轴一偶的解析式,由对称性求出在y 轴另一偶的解析式.从而得到函
数的解析式.
23．【答案】（1）解：f（x）的定义域是（－∞，1）∪（1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数
（2）解：f（x）的定义域是{－1,1}，关于原点对称，且f（－1）＝f（1）＝0，∴f（－1）＝f （1），且
f（－1）＝－f（1），
∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数
（3）解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称，
又f(−x)=
3(−x)
(−x)2+3
=−
3x
x2+3
=−f(x)，∴f（x）是奇函数
（4）解：f（x）的定义域为R，
又f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），
∴f（x）是偶函数
【解析】【分析】判断函数的奇偶性,先观察定义是否关于原点对称,再结合定义进行判断. 24．【答案】（1）解：设x＜0，则－x＞0，
于是f（－x）＝－2（－x）2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.
又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．
因此f（x）＝2x2＋4x－3.
又∵f（0）＝0，
∴f（x）＝{2x2+4x−3, x<0, 0, x=0,
−2x2+4x+3,x>0.
（2）解：先画出y＝f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1，0）和（0，1]，减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）．
【解析】【分析】(1)由奇函数在y轴一偶的解析式,由对称性可求出在y轴另一偶的解析式;
(2)函数是分段函数,作出图象,由图象观察得到单调区间.
25．【答案】（1）解：虽然f(－x)＝f(x)，但定义域不关于原点对称，
故f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]是非奇非偶函数
（2）解：由{1−x2≥0
|x+2|≠2
得－1≤x<0，或0<x≤1.
故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
且有x＋2>0.从而有f(x)＝√1−x2
|x+2|−2＝√1−x2
x+2−2
＝√1−x2
x
，
于是f(－x)＝－√1−x2
x
＝－f(x)．故函数f(x)为奇函数
（3）解：∵1+x
1−x
≥0，∴－1≤x<1.
∴定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数
（4）解：当x>0时，−x<0 ,f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x；
当x<0时，−x>0,f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数
【解析】【分析】函数奇偶性的判断,先观察定义域是否关于原点对称,再由定义进行判断. 26．【答案】（1）解：∵a＞b，∴a－b＞0，
∵f(a)+f(b)
a+b >0，∴f(a)+f(−b)
a−b
>0，∴ f(a)＋f(－b)＞0.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)
（2）解：由（1）可知f(x)为R上的单调递增函数，
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m －3)，
∴1＋m≥2m －3，∴m≤4.
∴实数m 的取值范围为(－∞，4]
【解析】【分析】(1)将条件不等式结合奇偶性转化为函数的单调性求解;
(2)将函数不等式结合奇偶性进行转化,由单调性脱去f 得关于m 的不等式求解.
27．【答案】（1）解：由题意知 f(x +y)=f(x)+f(y) ，令 x =y =0 ，得 f(0)=f(0)+f(0) ，即 f(0)=0 .
再令 x +y =0 ，即 y =−x ，得 f(0)=f(x)+f(−x) .
∴f(−x)=−f(x) ，
∴f(x) 是奇函数
（2）解：设 x 1、x 2∈R ，且 x 1<x 2 ，则 x 1−x 2<0 .
由已知得： f(x 1−x 2)<0 ，
∴f(x 1−x 2)=f(x 1)+f(−x 2)=f(x 1)−f(x 2)<0 ，
∴f(x 1)<f(x 2) .
即 f(x) 在 R 上是增函数
（3）解：∵f(ax 2)+f(2a)>f(a 2x)+f(2x) ，∴f(ax 2+2a)>f(a 2x +2x) ，
∴ax 2+2a >a 2x +2x .
即 ax 2−(a 2+2)x +2a >0 .
∵a >0，x 2−(a +2a )x +2>0 ，∴(x −2a
)(x −a)>0 . 当 2a <a ，即 a >√2 时，所求不等式的解集为 {x|x <2a
或 x >a} . 当 2a
=a ，即 a =√2 时， 所求不等式的解集为 {x|x ≠√2} . 当 2a >a ，即 0<a <√2 时， 所求不等式的解集为 {x|x <a 或 x >2a
} 【解析】【分析】(1)抽象函数的奇偶性判断，可由函数所满足的条件，取特殊值，得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性，用定义证明；
(3)将函数不等式进行转化为标准型，由单调性脱去f 得到关于x 的含参数a 的不等式，分类讨论求解，得解集.。