2016-2017学年高二数学人教A5学案：2.5 等比数列的前n项和(一) 含解析

明目标、知重点1。

掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：S n＝错误!。

(2）注意：应用该公式时,一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和公式的变式
若{a n}是等比数列，且公比q≠1,则前n项和S n＝错误!（1－q n)＝A(q n －1）．其中A＝错误!。

3．错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
［情境导学]
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒,第二个
格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒,以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求"．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．
探究点一等比数列前n项和公式的推导
思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列?通项公式是什么？
答所得数列为1,2，4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列,通项公式为a n＝2n－1.
思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题,可转化为一个怎样的数列问题？
答转化为求通项为a n＝2n－1的等比数列前64项的和．
思考3 类比求等差数列前n项和的方法，能否用倒序相加法求数列1，2,4,8，…，263的和？为什么?
答不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．
思考4 如何求等比数列{a n｝的前n项和S n?
答设等比数列{a n}的首项是a1，公比是q，前n项和为S n.
S n写成:S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1.①
则qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1＋a1q n.②
由①－②得：（1－q)S n＝a1－a1q n。

当q≠1时，S n＝错误!；
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝a n，所以S n＝na1。

小结(1）千粒麦子的质量约为40 g,1。

84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的．
0(2)等比数列｛a n｝的前n项和S n可以用a1，q，a n表示为
S n＝错误!
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1）错误!，错误!,错误!,…；
(2)a1＝27,a9＝错误!，q〈0。

解（1)因为a1＝错误!，q＝错误!，
所以S8＝错误!＝错误!.
（2)由a1＝27,a9＝错误!，可得错误!＝27·q8。

又由q〈0,可得q＝－错误!。

所以S8＝错误!＝错误!.
反思与感悟涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立,防止因漏掉q＝1而出错．
跟踪训练1 若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q ＝________；前n项和S n＝________。

答案 2 2n＋1－2
解析设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.
因此S n＝错误!＝2n＋1－2.
探究点二等比数列前n项和的实际应用
例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10％，那么从今起,大约几年可使总销售量达到30 000台（结果保留到个位)?
解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列｛a n}，其中a1＝5 000,q＝1＋10％＝1。

1,S n＝30 000.
于是得到错误!＝30 000.
整理，得1。

1n＝1。

6.
两边取对数,得n lg 1.1＝lg 1.6。

用计算器算得n＝错误!≈错误!≈5(年）．
答大约5年可以使总销量达到30 000台．
反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平
均每年的销售量比上一年的销售量增加10%"．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
解用a n表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得a n＋1＝错误!a n，
因此，数列｛a n}是首项a1＝25，公比q＝错误!的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
S n＝a1＋a2＋…＋a n＝错误!
＝错误!＝125×错误!<125。

故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
探究点三错位相减法求和
思考教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列｛a n｝与一个等比数列｛b n｝对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列｛错误!}前n项和？
答设S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，
则有错误!S n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，
两式相减，得S n－错误!S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!－错误!，
即错误!S n＝错误!－错误!＝1－错误!－错误!.
∴S n＝2－错误!－错误!＝2－错误!。

例3 求和:S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n（x≠0）．
解分x＝1和x≠1两种情况．
当x＝1时,S n＝1＋2＋3＋…＋n＝错误!。

当x≠1时,S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n，
xS n＝x2＋2x3＋3x4＋…＋（n－1)x n＋nx n＋1，
∴(1－x)S n＝x＋x2＋x3＋…＋x n－nx n＋1
＝错误!－nx n＋1。

∴S n＝错误!－错误!.
综上可得S n＝错误!
反思与感悟一般地，如果数列{a n｝是等差数列，｛b n}是等比数列，求数列｛a n b n｝的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练3 求数列1,3a，5a2，7a3,…，（2n－1）·a n－1的前n项和．解(1)当a＝0时，S n＝1。

(2)当a＝1时，数列变为1，3，5,7,…，(2n－1）,
则S n＝错误!＝n2.
(3）当a≠1且a≠0时,
有S n＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1）a n－1①
aS n＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1）·a n②
①－②得
S n－aS n＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2a n－1－(2n－1)·a n,
（1－a）S n＝1－（2n－1)a n＋2（a＋a2＋a3＋a4＋…＋a n－1）＝1－（2n－1）a n＋2·错误!
＝1－（2n－1)a n＋错误!，
又1－a≠0，∴S n＝错误!＋错误!.
综上，S n＝错误!
1．等比数列1,x，x2，x3,…的前n项和S n为( ）
A。

1－x n
1－x B.错误!
C.错误!
D.错误!
答案C
解析当x＝1时,S n＝n;
当x≠1时，S n＝错误!.
2．设等比数列｛a n｝的公比q＝2，前n项和为S n，则错误!等于（）A．2 B．4 C。

错误!D。

错误!
答案C
解析方法一由等比数列的定义,S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝错误!＋a2＋a2q
＋a2q2，
得错误!＝错误!＋1＋q＋q2＝错误!.
方法二S4＝错误!，a2＝a1q,
∴错误!＝错误!＝错误!.
3．等比数列{a n}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是( ）
A．179 B．211 C．243 D．275
答案B
解析∵q4＝错误!＝错误!＝（错误!）4,且q〉0，
∴q＝错误!，
∴S5＝错误!＝错误!＝211。

4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10％,从今年起5年内,该厂的总产值为________．
答案11a(1。

15－1）
解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1。

12a，1。

13a,1。

14a,1。

15a.
∴1.1a＋1。

12a＋1.13a＋1。

14a＋1。

15a＝11a(1。

15－1)．
[呈重点、现规律］
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量：a1，a n，
n，q，S n,其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二"．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式,不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n｝是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
一、基础过关
1．设数列{(－1）n｝的前n项和为S n，则S n等于（）
A.错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
答案D
解析S n＝错误!＝错误!.
2．在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于（）
A．33 B．72
C．84 D．189
答案C
解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.
∵q〉0，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝q2（a1＋a2＋a3）＝22·S3＝84.
3．设S n为等比数列{a n｝的前n项和，8a2＋a5＝0，则错误!等于( ) A．11 B．5
C．－8 D．－11
答案D
解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则错误!＝错误!＝－11。

4．等比数列{a n｝的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于（)
A.错误!B．－错误!
C。

错误!D．－错误!
答案C
解析设等比数列｛a n｝的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9,所以a1＝错误!。

5．设等比数列{a n｝的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
答案3
解析S6＝4S3⇒错误!＝错误!⇒q3＝3.
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
6．如果数列{a n｝满足a1,a2－a1,a3－a2，…，a n－a n－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n＝________。

答案2n－1
解析a n－a n－1＝a1q n－1＝2n－1，
即错误!
各式相加得a n－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2,
故a n＝a1＋2n－2＝2n－1。

7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.
解当q＝1时，S n＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9;
当q≠1时，错误!＋错误!＝2×错误!，
得2－q3－q6＝2－2q9，
∴2q9－q6－q3＝0,
解得q3＝－错误!或q3＝1（舍去)，∴q＝－错误!。

8．求和:1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n。

解设S n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n
则2S n＝1×22＋2×23＋…＋(n－1）×2n＋n×2n＋1
∴－S n＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝错误!－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1
＝（1－n)×2n＋1－2
∴S n＝(n－1）·2n＋1＋2.
二、能力提升
9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是（结果保留到个位）( ）
A．300米B．299米C．199米D．166米
答案A
解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×错误! 8＝299错误!≈300（米）．
10．已知数列｛a n｝满足3a n＋1＋a n＝0,a2＝－错误!,则｛a n｝的前10项和等于( ）
A．－6（1－3－10) B。

错误!(1－3－10）
C．3（1－3－10) D．3(1＋3－10)
答案C
解析先根据等比数列的定义判断数列｛a n｝是等比数列,得到首项与公比,再代入等比数列前n项和公式计算．
由3a n＋1＋a n＝0，得错误!＝－错误!，
故数列｛a n }是公比q ＝－错误!的等比数列．
又a 2＝－43
,可得a 1＝4。

所以S 10＝错误!＝3(1－3－10）．
11．等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2，3S 3成等差数列,则{a n ｝的公比为________．
答案 错误!
解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2）＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3）．∴a 2＝3a 3，
∴｛a n ｝的公比q ＝错误!＝错误!。

12．为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨,以后每年出口量均比上一年减少10％.
（1）以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨,试求a n 的表达式；
（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？（保留一位小数)
参考数据：0。

910≈0.35.
解 (1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ,公比q ＝1－10％＝0。

9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．
（2）10年的出口总量S10＝错误!＝10a（1－0。

910）．
∵S10≤80,∴10a（1－0.910）≤80，即a≤错误!，
∴a≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．
三、探究与拓展
13．已知等差数列｛a n｝满足a2＝0，a6＋a8＝－10。

（1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列错误!的前n项和．
解（1）设等差数列{a n｝的公差为d，由已知条件可得错误!解得错误!故数列｛a n｝的通项公式为a n＝2－n。

（2）设数列错误!的前n项和为S n,
即S n＝a1＋错误!＋…＋错误!，①
错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!.②
所以，当n＞1时，①－②得
错误!＝a1＋错误!＋…＋错误!－错误!
＝1－(错误!＋错误!＋…＋错误!)－错误!
＝1－（1－
1
2n－1
）－错误!＝错误!。

所以S n＝错误!。

当n＝1时也成立．综上,数列错误!的前n项和S n＝错误!。