高中数学数列方法总结(适应于数列一轮复习)

一、 数列的概念及表示法
(一) 定义
1. 概念：按照一定顺序排列的数叫做数列，简称{}n a ，n 为序号。

数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项为首项，最后一项为末项。

2. 数列中项性质：有序性、可重复性、确定性 (二) 分类
1. 按个数分为：有穷数列和无穷数列
2. 按项的变化趋势分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 (三) 数列与函数
数列是一种特殊的函数，数列是定义域为正整数集的数列，是一系列孤立的点。

(四) 表示法 1. 列表法
2. 图像法：一系列孤立的点
3. 通项公式法（并不是所有的数列都有通项公式） 将数列用一个数学式子表现出来的方法叫做通项公式法。

4. 递推公式
如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫数列的递推公式。

(五) 数列的性质 1. 单调性
如果对所有的n *N ∈,都有,n n a a >那么数列为递增数列，否则为递减数列，
如果相等为常数列。

2. 周期性
如果对所有的,n *N ∈都有n n a a =+k （k 为正整数），那么称数列为以k 为周期的周期数列 3. 有界性
如果对所有的,*N n ∈都有M a n ≤，那么就称数列为有界数列，否则为无界数列。

(六) 数列的前n 项和 数列前n 项的和。

(七) 题型
1. 数列的概念及分类
例1：1，0，-1,0 (2)
sin
π
n …是什么数列？ 摆动数列、周期数列、无穷数列 例2已知数列n a 的123,6a a ，且2
1
n
n
n a a a ，则2008
a
（ ）
（A ）-3 （B ）3 （C ）-6 （D ）6
解：∵1
23,6a a ，且2
1
n
n n a a a ， ∴3
4
5
6
7
8
3,3,6,3,3,6a a a a a a ，…
∴数列n a 是以6为周期的周期数列． ∵2008
33464，∴2008
4
3a a ．故选A
2. 观察法求通项公式
（1）9，99,999,9999… （2）-1,0，-1,0…
（3）-1，7，-13，19， (4)
246810
,,,,,315356399
…
（5）1111
2,4,6,8
24816
，… 解：（1）110-=n a n （2）⎩⎨⎧-=为偶数）（
为奇数n n a n 0)
(1
（3）1(1)[1
6(1)]n n a n ）
（4）1
22n
n
a n
3. 数列的通项公式及数列中的项
例：已知数列n a 的通项公式为32
31
n
n a n ．
（1）求这个数列的第10项； （2）
98
101
是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间12
(,)33
内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 解：（1）令10n ，得第10项10
2831
a ． （2）令
329831101n n ，得3100n ．∵此方程无自然数解，∴98
101
不是该数列中的项．
（3）∵3231331313131
n n n a n n n ，又*
n N ，∴30
131n ，∴01n a ．
（4）令
1
3223
31
3n
n a n ，则319696
62
n n n n
，∴
7
683
n
n
，∴7863
n
， ∴当且仅当2n
时，不等式才成立，故在区间12
(,)33内仅有一项为2
47
a ． 4. 通项公式求最值
解：若数列n a 中，9(1)(
)10
n
n
a n ，则此数列中的最大项为 （ ） （A ）第7项 （B ）第8项 （C ）第9项 （D ）第8项，或第9项
二、 求通项公式的方法
（一） 累加法
形如)(1n f a a n n =-+形式的均可利用累加法求通项公式 例1 已知数列满足2,111=-=+n n a a a ，求通项公式。

解：12-=n a n
例2 已知数列满足12,211-=-=+n a a a n n ，求通项公式。

（二） 累乘法 形如
)(1
n f a a n
n =+ 例1 已知数列满足)2(5,
31
1≥=-=-n a a a n n
，求通项公式。

解：1
53-⨯-=n n a
例2 已知数列{}n a 满足11
12,
3=+=-=n n
n a a a ，求通项公式？ 解： 2
)
1)(2(23-+⨯-=n n n a
（三） 构造法
形如)0,1(1≠≠+⋅=-d q d a q a n n 的通项公式，先用待定系数法写成
)(1m a q m a n n +=++的形式，其中1
-=
q d
m ，使新数列{}m a n +成为等比数列。

推广一：已知某数列{}n a 的首项为1，且n
n n a a 321+=+，求此通项公式？
推广二：已知某数列{}n a 的首项为1，且n a a n n +=+21，求此通项公式？
推广三：已知某数列{}n a 的首项为5，22=a ，且2132--+=n n n a a a ，求此通项公式？
（四） {}n a 与{}n s 的关系
⎩⎨⎧-=-11
n n n s s a a
（五） 同除法
已知某数列{}n a 的首项为1，且113++=-n n n n a a a a ，求此数列的通项公式。

推广一：已知某数列{}n a 的首项为1，且1132++=-n n n n a a a a ，求此数列的通项公式。

推广二：已知某数列{}n a 的首项为1，且1132++=+n n n n a a a a ，求此数列的通项公式。

（六） 取对数法
已知某数列{}n a 的首项为1，且n n a a 102
2=+求此数列的通项公式。

（七）观察法
三、等差数列与等比数列
等差数列等比数列
定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前
一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数
列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”
表示).
一般地，如果把一个数列，从第2项起，
每一项与它前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列叫做等比数列.这个常数
叫做等比数列的公比（常用字母“q”表
示）
与
函
数
关
系
一次函数上孤立的点指数函数上孤立的点
中
项
a n-k+a n+k=2a n.a n-k·a n+k=a n2
通
项
公
式
a n=a1+(n-1)d（累加）a n=a1q n-1.（累乘）
通项公式性质1.
+
+
∈
+
=
+
=
-
+
=
N
n
m
nd
a
md
a
a
d
m
n
a
a
m
n
n
m
m
n
,
,
)
(
2.在一等差数列中，若m+n=p+q，则
q
p
n
m
a
a
a
a+
=
+
3.数列{a n}、{b n}都是等差数列，可得{a n+b n}是等
差数列
4....
,
,
,
3
2k
m
k
m
k
m
m
a
a
a
a
+
+
+
仍为等差数列，公差为
kd
5.项数相同的连续项的和
...
...
,
...
2
3
2
1
3
2
1k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
也是等差数列
1.当0
,1
0,0
,1
1
1
<
<
<
>
>a
q
a
q
时为递增数列，当
,1
0;0
,1
1
1
>
<
<
<
>a
q
a
q时
为递减数列，当1=
q时为常数
列，当0
<
q时为摆动数列。

2.
q
p
n
m
a
a
a
a
l
k
n
m=
+
=
+,
3.与首末两项等距离的两项的积等
于首末两项的积，与某一项距离
相等的两项的积等于这一项的平
方。

4.数列是{}n a是等比数列，若
>n a ，则有
{})1,0(log ≠>a a a n a 为等差数
列，反之也成立
5. 在等比数列{}n a 中，每隔k 项取
出一项，按原顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为
1+k q
6. 当m,n,p 成等差数列，
p n m a a a ,,成等比数列。

7. m
n m n q a a -=
8. 等比数列中项数相同的连续的项
的和仍构成等比数列
前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )
2
S n ＝na 1＋n (n －1)
2d （二次函数）
)
1(1)1(1≠--=q q q a S n n
○
2)1(11≠--=
q q
q
a a S n n 前n 项和性
(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也是等差数列，且公差为____________． (2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成________数列．
(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则
a n
b n ＝
S 2n －1
T 2n －1
.
质性质
（4）在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n
存在最大值；若a1<0，d>0，则S n存在最小值
（5）若n为偶数，则S偶－S奇＝
n
2
d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
（6）数列{c·a n}，{c＋a n}，{pa n＋qb n}也是等差数
列，其中c、p、q均为常数，{b n}是等差数列．
例题：
等差数列
例一
(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知
S n
T n＝
7n＋2
n＋3
，求
a5
b5的值
解(1)方法一在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二在等差数列中，
S m
m
，S2m
2m
，S3m
3m
成等差数列，
∴
2S2m
2m
＝S m
m
＋S3m
3m.
即S3m＝3(S2m－S m)＝3×(100－30)＝210.
(2)
a5
b5
＝
9(a1＋a9)
9(b1＋b9)
＝S9
T9
＝65
12.
例二
在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.
解由
⎩
⎨
⎧a n＝a1＋(n－1)d，
S n＝na1＋
n(n－1)
2d，
得
⎩
⎨
⎧a1＋2(n－1)＝11，
na1＋
n(n－1)
2×2＝35，
解方程组得
⎩⎪
⎨
⎪⎧n＝5
a1＝3
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧n＝7，
a1＝－1.
例三
在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .
【答案】10．
【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，
345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．
本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记()
*,,,m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+且，()*2,,2m n p a a a m n p N m n p +=∈+=且及其熟练运用．
等比数列
例一
已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2n
D. 2(1)n -
【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，
0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.
等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和
4S =
【答案】152
【解析】由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ，即062=-+q q ，0q >，解得：q
＝2，又2a =1，所以，112a =，21)21(2144--=S ＝152
. 例二
等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列
（1）求{n a }的公比q ；
（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有 )(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ， 由于01≠a ，故022=+q q 又0≠q ，从而21－=q
（Ⅱ）由已知可得32
1211=--）（a a 故41=a
从而））（（）（））（（n n n 211382
112114--=----=S 四、 求前n 项和的方法
（一） 公式法求和
(1)1＋2＋3＋…＋n ＝12
n (n ＋1) (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2
(3)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n
（二） 倒序相加法求和
（三） 错位相减法求和
（四） 裂项相消法求和
（五）分组，转化为公式法求和。