河南省安阳市2014届高三上学期调研测试数学(文)试题 含解析

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1。

复数12i z i
-+=（i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于
（ ）
A 。

第一象限 B.第二象限 C 。

第三象限 D.第四象限
2。

已知集合2
{320},{}M x x x
N x x a =+->=>,若M N ⊆，则实数a 的取值范围
为（ ） A.
[3,)
+∞ B.
(3,)
+∞ C.
(,1]-∞-
D 。

(,1)-∞-
3。

已知随机变量,x y 的值如下表所示，如果x 与y 线性相关且回归直
线方程为7
ˆ2
y
bx =+，则实数b = （ ）
4
6
345
2y
x
A 。

12- B. 12
C.
110-
D.
1
10
【答案】B 【解析】
试题分析：2345463,5,3
3
x y ++++====所以1012243351491639
2
b ++-⨯⨯==++-⨯
考点：线性相关的随机变量的回归直线方程
4。

若椭圆22
162
x y +=的右焦点与抛物线22y px =的焦点重合，则p 的值为
( ）
A 。

2 B.2- C.4 D.4-
5.若实数,x y 满足不等式组0
(20x y x
k x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩
为常数),且3x y +的最大值为12，
则实数k =( ）
A.9
B.9-
C.12- D 。

12
4
2
2
4
6
8
5
1015
2x+y+k=0
y=x
A
O
x
考点：线性规划
6。

执行右边的程序框图，如果输入4a =,那么输出的n 的值为 （ ）。

5 D 。

6
【答案】A 【解析】
试题分析：由程序框图可知每次循环的结果如下： 第一步得：1,3,1;P Q n ===第二步得：145,5,2P Q n =+===； 第三步得：2
5421,7,3P Q n =+===。

3n =时，217P Q =>=,故输出3n =
考点：程序框图
7。

如图为一个几何体的三视图正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为
（ )
1
1
1
1
2
正视图侧视图
俯视图
A.6323π++ B 。

2242π++
C.
8523π++
D.
2342π++
8。

设a 、b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题： ①若,a b a α⊥⊥，则//b α;②若//,a ααβ⊥，则a β⊥； ③若,a βαβ⊥⊥，则//a α；④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥. 其中正确命题的个数是
（ ）
A.0
B.1 C 。

2 D 。

3
9.等比数列{}n
a 满足0,1,2,3n
a
n >=，且25
25
2(3)n n a a
n -⋅=≥,则当1
n ≥时,2
12325221log
log log log n a a a a -+++
+=
（ ）
A 。

2
(1)n - B.
2
(1)n + C 。

(21)n n -
D.
2n
10.定义行列式运算
12142334
a a a a a a a a =-.将函数()f x =
sin 23
cos 21
x x 的图象向左平移
6
π个单位得函数()g x 的图象，则()g x 的图象的一个对称中心为 （ ）
A.(,0)4π B 。

(,0)3
π
C 。

(,0)2
π
D.
(
,0)12
π
11。

抛物线2
2(0)y
px p =>的焦点为F ,已知点,A B 为抛物线上的两个动点，
且满足90AFB ∠=。

过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ，则
MN AB
的最大值为 （ ）
A 。

2 B.
3 C 。

1
D 。

3
【答案】A 【解析】
试题分析：设1
2
,AF r BF r ==，则
222212112212122222222212121212
1
()221112
211222r r MN r r r r r r r r AB r r r r r r r r ++++===+≤+=++++
;3、梯形的中位线;4、12。

设函数()(1),0
f x f x x ⎧=⎨
+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[ 1.1]2-=-，[]3π=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有
3个不同的
交点，则实数k 的取值范围是 ( ) A 。

1(0,)4 B 。

11[,)43
C.
1
(,1)3
D.
1
[,1)4
考点:1、分段函数；2、函数图象的作法；3、直线的斜率及点斜式方程
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分
13。

已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-,则实数λ= .
14.已知函数2
()2(2)f x x xf '=-,则函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程
是 .
15。

在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知45,cos 5
b c A ==，则
sin B =
.
【答案】
22
16.若函数2
1()4ln
1x
f x x
x +=+-在区间11[,]22
-上的最大值与最小值分别为M 和
m ，则
M m +=
.
法
二、
222
22
111(1)(1)11212()ln ln ln 11(1)11111x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x +-⨯-++++'=+⨯⨯=+⨯⨯=+
-+--+--- 当102
x <≤时
111ln 011x x x x ++>⇒>--，2
2
12ln 011x x x x x +∴+>-- 当102
x -≤<时
11101ln 0ln 0111x x x x x x x +++<<⇒<⇒>---，又2222
2120ln 0111x x x x x x x
+>∴+>--- 即当1122x -≤≤时，2
212()ln 011x x f x x x x
+'=+>--
考点：1、导数的基本运算；2、函数的最大值最小值.
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17。

（本小题满分12分）已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,公差0d ≠,
且3550S
S +=，1413,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n
a 的通项公式；（2）设{}n
n
b a 是首项为1公比为3 的等比数列，求数列{}n
b 前n 项和n
T .
(2）
1113,3(21)3n n n n
n n n
b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+++⋅⋅⋅++………………………………① 2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=+++⋅⋅⋅+-++……………②
两式相减得：231232323233(21)3n n n
T
n n --=++++⋅⋅⋅+-+
13(13)
32(21)313
23n n
n
n n --=+⋅-+⋅-=-⋅
3n n T n ∴=⋅ (12)
分
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3。

数列的前项和公式；4。

错位相消法
18。

(本小题满分12分）在某次高三考试成绩中,随机抽取了9位同
学的数学成绩进行统计.下表是9位同学的选择题和填空题的得分情况（选择题满分60分，填空题满分16分):
（Ⅰ）若这9位同学填空题得分的平均分为12分，试求表中的x的值及他们填空题得分的标准差；
（Ⅱ)在（1）的条件下，记这9位同学的选择题得分组成的集合为A,填空题得分组成的集合为B。

若同学甲的解答题的得分是46分，现分别从集合A、B中各任取一个值当作其选择题和填空题的得分,求甲的数学成绩高于100分的概率。

【答案】（Ⅰ）12
x=；标准差83
s=；（Ⅱ）124
P==
155
648
=．………………
93
…4分
（Ⅱ）==………
A B
{40,45,50,55,60},{8,12,16}
…………6分
分别从集合A、B中各任取一个值当作其选择题和填空题的得分，得分之和共有下列15个值48，53，58，63，68，52，57，62，67,72，56，61，66,71,76． (9)
分
当同学甲的解答题的得分是46分时，其选择题和填空题的得分之和
要大于54分，其数学成绩成绩才高于100分.又选择题和填空题的得分之和要大于54分的共12个值，
∴所求概率是124
P==．……
155
……………12分
考点：1、统计中的平均数和标准差；2、随机事件中的基本事件；3、古典概型
19.（本小题满分12分)如图,平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，
∠=，且2
PAD
90
==,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.（1）PA AD
求证：//
PB平面EFG；（2）求异面直线EG、BD所成角的余弦值.
D
B
【答案】（1）详见试题解析;(2）异面直线EG、BD所成角的余弦值为。

6
//,//,//MG AD AD EF MG EF ∴从而MGEF 共面
而在
PAB
∆中,
//PB EM
，
//
PB ∴平面
EMGF
,即
//
PB 平面
EFG
……………………6分
20.（本小题满分12分）已知函数2
1()2,()ln .2
f x ax
x g x x =+=。

（Ⅰ）如果函
数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在正实数a ,使得函数()()()21g x T x f x a x
'=-++在区间1(,)e e
内有两个不同的零点
（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

【答案】（Ⅰ）2a ≤-或0a ≥；
（Ⅱ）存在,a 的范围为2(1,
)21
e e
e +-。

【解析】
试题分析：（Ⅰ）()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，那么它导函数()0f x '≥在
[1,)x ∈+∞恒成立；
（Ⅱ)零点的问题一般都求函数的单调区间结合函数的图象来解决.在本题中，直接研究()(2)(21)lnx T x ax a x
=-+++的图象是比较麻烦的，故考
虑转化一下.
()T x 在区间(1
,e e
)内有两个不同的零点,等价于方程2(12)0ax a x lnx +--=在区
间(1,e e
)内有两个不同的实根.故转化为研究2
()(12)H x ax
a x lnx =+-- (0)x >的
图象。

通过求导画出2
()(12)H x ax
a x lnx =+--的简图，结合图象可得：
为满足题意,只需()H x 在(1,e e
)内有两个不相等的零点， 故 ()min 1
()0,()10,()0,H e H x H H e ⎧>⎪⎪
=<⎨⎪>⎪⎩
解此不等式即可 试题解析：解：（1）当0a =时,()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．
当0a ≠时，()y f x =的对称轴方程为2x a =-，
由于()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，所以21a
-≤，解得2a ≤-或0a >，
综上,
a
的取值范围是
a ≥，或
2a ≤-． ……………4分
为满足题意，只需()H x 在（1,e e
）内有两个不相等的零点， 故 ()min 1
()0,()10,()0,H e H x H H e ⎧>⎪⎪
=<⎨⎪>⎪⎩
解得
1
212-+<<e e
e a
………………
……12分
考点:1、导数及其应用；2、函数的零点；3、不等式的解法
21。

（本小题满分12分）已知圆221
625
:(8C x y +=，圆22261:()8
C x y -+=，动圆P 与已知两圆都外切.（1)求动圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）直线:1l y kx =+与点P 的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，AB 的中垂线与y 轴交于点N ，求点N 的纵坐标的取值范围.
（2）
题中要利用
0>及与双曲线右支相交求k 的范围，这是一个易错之处
试题解析：(1)已知两圆的圆心、半径分别为
112265262
:(:(44
C r C r ==
设动圆P 的半径为r ，由题意知：1
2522
PC r PC r ==+ 则1
21226,PC
PC C C -==
所以点P 在以1
2
,C C 为焦点的双曲线的右支上，其中22,26a c =则21b = 由此得E 的方程为：
2221(0)x y x -=>
……………………4分
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分。

答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲
如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点,AD BC
⊥于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。

（Ⅰ）求证：=；（Ⅱ)求证：PA是圆O的切线.
BF EF
G P
E
F
D O B C
A
（Ⅱ）连结AO AB ，．
BC ∵是圆O 的直径，90BAC ∠=∴°．
在Rt BAE △中，由（Ⅰ）得知F 是斜边BE 的中点,
AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．
又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．
BE ∵是圆O 的切线，90EBO ∠=∴°
90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，
PA ∴是圆O 的切
线． ……………………10分
考点：1、相似三角形；2、圆的性质；3、等量代换；4、直角三角形斜边上的中线；5、几何证明
23。

（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1
x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=。

（1）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；(2）设曲线C 和曲线P 的交点A 、B ，求AB 。

（2）
由于曲线C 为直线，曲线P 为圆，所以求出圆的半径r 及圆心到直线的距离d ，再由222AB r d =-AB 。

试题解析：(1）由2(1
x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数)消去参数t 得曲线C 的普通方程:10x y --=
将222cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得曲线P 的直角坐标方程为22430x y x +-+=。

……4分
(2）曲线p 可化为22(2)1x y -+=,表示圆心在(2,0)，半径1r =的圆，
所以圆心到直线C
的距离为d =
=
所以
AB == ……………………10分
考点：1、参数方程与普通方程的转化；2、极坐标方程与直角坐标方程的转化；3、点到直线的距离公式；4、圆的弦长的求法
24。

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >。

（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；(2）若不等式()0f x ≤的解集为{1}x x ≤-，求a 的值。

（2）
法一:（从去绝对值的角度考虑） 由()0f x ≤,得
25x a x -≤-,此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或2(2)50a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩ 解之得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩
， 因为0a >，所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭，由题设可得13a -=-，故3a =……10分。