江苏省南京市2018-2019年中考一模数学试题(含答案)

中考第一次模拟测试卷
数学
注意事项：
1 ．本试卷共 6 页．全卷满分120 分．考试时间为120 分钟．考生答题所有答在答题卡上，
答在本试卷上无效．
2．请仔细查对监考教师在答题纸上所粘贴条形码的姓名、考试证号能否与自己相切合，再
将自己的姓名、准考据号用 0.5 毫米黑色墨水署名笔填写在答题卡上．
3．答选择题一定用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需变动，请用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案．答非选择题一定用 0.5 毫米黑色墨水署名笔写在答题卡上的指定地点，在其余地点答题一律无效．
4．作图一定用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描绘清楚．
一、选择题（本大题共 6 小题，每题 2 分，合计12 分．在每题所给出的四个选项中，
恰有一项是切合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
．．．．
1．以下实数中，无理数是
1
A ．2B．－ C．3.14 D ． 3 2
2．以下运算正确的选项是
A ．a2＋a3＝a5B．a2a3＝ a6C．a4÷a2＝a2 D ． (a2 )4＝a6
3 ．不透明的布袋中有 2 个红球和 3 个白球，所有球除颜色外无其余差异．某同学从布袋里
随意摸出一个球，则他摸出红球的概率是
3 2 2 1
A ．B．C． D ．
5 5 3 2
4 ．某篮球兴趣小组7 名学生参加投篮竞赛，每人投10 个，投中的个数分别为：8， 5，7，
5 ， 8，
6 ， 8 ，则这组数据的众数和中位数分别为
A．5，7 B．6，7 C．8 ，5 D．8，7
5 ．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则∠BOC的度数为
A．30 °B．45 °C．60 °D．75 °
y
A
O
A B
C B
O x
C
（第 5题）（第6题）
1k
6 ．如图，△ABC三个极点分别在反比率函数y＝x， y ＝x的图像上，若∠ C＝90°，
AC∥y 轴， BC∥x 轴， S△ABC＝8，则 k 的值为
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共10 小题，每题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应地点上）
．．．．．．．
x－2
7 ．若式子在实数范围内存心义，则x 的取值范围是▲．
2
8 ． 2017 南京国际马拉松于 4 月 16 日在本市正式开跑．本次参赛选手共12629 人，将
12629 用科学记数法表示为▲．
9 ．因式分解：a3－ 2a2＋a＝▲．
10 4
8 ＝▲．
．计算：－
2
11 ．已知 x1， x2是方程 x2－4 x＋3＝0 的两个实数根，则 x1＋ x2＝▲．
12 ．将点 A（2，－1）向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位获得点A′，则点A′的坐
标是▲ ．
13 ．如图，点 A、 B、C、 D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△
COD 的地点，则旋转角为▲°．
A D
C A
B
D O
（第 13 题） E
（第 14 题）
B C
P
14 ．如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 为 AB 边上一点，将△ AED 沿直线 DE 翻折，点 A
落在点 P 处，且 DP ⊥ BC，则∠EDP＝▲°．
15 ．如图，正五边形 ABCDE 的边长为 2 ，分别以点 C 、D 为圆心， CD 长为半径画弧，两
⌒
▲
．
弧交于点 F ，则 BF 的长为
A
A B
F
E
F E
O
G
C
D
B
C
（第 15 题）
（第 16 题）
16 ．如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 5， BC ＝ 6 ，半径为 1 的⊙ O 分别与 AB 、 AC 相切
于 E 、F 两点， BG 是⊙ O 的切线，切点为 G ，则 BG 的长为
▲ ．
三、解答题（本大题共
11 小题，共 88 分．请在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文
．．．．．．．
字说明、证明过程或演算步骤）
1
m 2＋ 2m ＋ 1 ，此中 m ＝ 1．
17 ． (6 分 )先化简，再求代数式的值：（
1－
m ＋ 2 ）÷
m 2 － 4
x ＋ 3
≥x ＋ 1 ，
18 ． (7 分 )解不等式组
2
并把解集在数轴上表示出来．
3 ＋
4 （x － 1 ）＞－ 9 ，
－4
－3 －2 －1 0 1 2 3 4
19 ．(7 分 )某学校以随机抽样的方式展开了“中学生喜爱数学的程度”的问卷检查，检查的
结果分为 A （不喜爱）、 B （一般）、 C （比较喜爱）、 D （特别喜爱）四个等级，图 1 、
图 2 是依据收集的数据绘制的两幅不完好的统计图．
请依据统计图供给的信息，回答以下问题：
（ 1） C 等级所占的圆心角为
▲ °；
（ 2）请直接在图 2 中补全条形统计图；
（ 3）若该校有学生 1000 人，请依据检查结果，预计“比较喜爱”的学生人数为多少
人．
某校“中学生喜爱数学的程度”的扇形统计图
某校“中学生喜爱数学的程度”的条形统计图
人数（人）
D 80
64
C
32%
60
46
B A
40
20
23% 10%
20
AB
CD
等级
图 1
图 2
（第 19 题）
20 ．(8 分 )如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，DE∥AC 交 BC 的延
长线于点E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若CD＝CE，求证：AC⊥BD．
A D
O
B C E
（第 20 题）
21 ． (7 分 )运动会上，甲、乙、丙三位同学进行跳绳竞赛，经过“手心手背”游戏决定谁先
跳，规则以下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若此中有一个人的手势与
此外两个不一样，则这人先进行竞赛；若三个人手势同样，则从头决定．那么经过一次“手
心手背”游戏，甲同学先跳绳的概率是多少？
22 ．(6 分 )如图，已知点P 为∠ABC 内一点，利用直尺和圆规确立一条过点P 的直线，分别
交 AB、BC 于点E、F，使得BE＝ BF．(不写作法，保存作图印迹)
A
P
B C
（第 22 题）
23 ． (7 分 )如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的
A 、 C 两点间往返摇动， A 点
与地面距离
AN ＝ 14cm ，小球在最低点 B 时，与地面距离
BM ＝5cm ，∠
＝66°，
AOB
求细线 OB 的长度．
（参照数据： sin66 °≈0.91 ， cos66 °≈0.40 ， tan66 °≈2.25 ）
O
A
C
B
N
M
（第 23 题）
24 ．(7 分 )某水果店销售樱桃，其进价为 40 元 / 千克，按 60 元/ 千克销售，均匀每日可售出
100 千克．经检查发现，这类樱桃每降价 1 元 / 千克，每日可多售出 10 千克，若该水
果店销售这类樱桃要想每日赢利
2240 元，每千克樱桃应降价多少元？
25 ． (9 分 )已知一元二次方程 x 2－ 4 mx ＋ 4m 2＋ 2 m －4 ＝0 ，此中 m 为常数．
（ 1）若该一元二次方程有实数根，求
m 的取值范围．
（ 2）设抛物线 y ＝ x 2－ 4 mx ＋ 4 m 2
＋2 m －4 的极点为 M ，点 O 为坐标原点，当
m 变
化时，求线段 MO 长度的最小值．
26 ． (12 分 )今年暑期，小勇、小红打算从城市
A 到城市
B 旅行，他们分别选择以下两种交通
方案：
方案一： 小勇准备从城市 A 坐飞机先到城市 C ，再从城市 C 坐汽车到城市 B ，整个行程中，
乘飞机所花的时间比汽车少用
3h ．如图 1 所示，城市 A 、B 、 C 在一条直线上，且
A 、C
两地的距离为 2400km ，飞机的均匀速度是汽车的 8
倍．
方案二：小红准备坐高铁直抵城市
，其离城市 A 的距离 y 2（ km ）与出发时间 x （h ）之
B
间的函数关系如图 2 所示．
（ 1）AB两地的距离为▲km ；
（2）求飞机飞翔的均匀速度；
（3）若两家同时出发，请在图 2 中画出小勇离城市A的距离y1与x之间的函数图像，并求出 y1与 x的函数关系式．
y（ km ）
3000
2400
1800
1200
A C
B 600
图 1
O
（ h）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x
图 2
（第 26 题）
OP
27 ．(12 分)定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点 P 在射线 OA 上的射影值；当
OA
点 P 不在射线 OA 上时，把射线 OA 上与点 P 近来点的射影值，叫做点P 在射线 OA 上的射影值．比如：如图1，△OAB三个极点均在格点上，BP 是 OA 边上的高，则点
P 和点 B 在射线 OA 上的射影值均为OP 1
＝．OA 3
B
B
B
D
O
O AC O
A C P A
图1图2
图3
（第 27 题）
（ 1）在△OAB中，
①点 B 在射线 OA 上的射影值小于 1 时，则△OAB是锐角三角形；
②点 B 在射线 OA 上的射影值等于 1 时，则△OAB是直角三角形；
③点 B 在射线 OA 上的射影值大于 1 时，则△OAB是钝角三角形．
此中真命题有
A ．①②B．②③C．①③ D ．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝ 1 ，以O为圆心，OA为半径画圆，点
B 是⊙ O 上随意点．
1
①如图 2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC 是⊙ O 的切线．
2
②如图3，已知 D 为线段BC 的中点，设点 D 在射线OA 上的射影值为x，点 D
在射线OB 上的射影值为y，直接写出y 与x 之间的函数关系式．
数学参照答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每题 2 分，合计 12 分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C B D C C
二、填空题（每题 2 分，合计 20 分）
7 ．x≥2 8 ．1.2629 ×10 4 9．a (a－ 1) 2 10．0 11 ．4
12 ．（ -1 ，3 13 ．90°14 ．45 °8 11
）15 ．π16 ．
15 3
三、解答题（本大题共10 小题，合计88 分）
17 ．（此题 6 分）
m ＋1 (m＋ 2)( m－ 2)
·····································2分解：原式＝
(m＋ 2) 2
m ＋2
m－ 2
＝···············································4分
m＋ 1
1－ 2 1
当 m ＝1时，原式＝＝－．································6分
1＋ 1 2
18 ．（此题7 分）
解：解不等式①，得x≤1．·········································2分解不等式②，得x＞－2．·······································4分因此，不等式组的解集是－2＜x≤1 ．································5分绘图正确（略）．··········································7分
19 ．（此题7 分）
（1 ）126 ；·················································2分（2 ）图略；·················································4分（3）在抽取的样本中，“比较喜爱”数学的人数所占的百分比为
1 － 32% － 10% －23% ＝ 35% ，····································5分
由此可预计，该校1000 名学生中，“比较喜爱”数学的人数所占的百分比35% ，
1000 ×35% ＝ 350 （人）．·······································6分答：预计这些学生中，“比较喜爱”数学的人数约有350 人．····················7分
20 ．（本小题满分8 分）
证明：（ 1 ）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB// CD， AB＝ DC．∴ ∠ABC＝∠DCE．∵AC// DE，∴∠ACB ＝∠DEC． (3)
分
在△ABC 和△DCE 中，∠ABC＝∠DCE，∠ACB＝∠DEC ， AB＝DC ．
∴△ABC≌△DCE（AAS）．·····································4分（2 ）由（ 1 ）知△ABC≌△DCE，则有BC＝CE．
∵ CD＝ CE，∴ BC＝ CD．
∴四边形 ABCD 为菱形． (7)
分
∴AC⊥ BD ．·············································8分21 ．（此题7 分）
列表或树状图表示正确；·······································3分∵共有 8 种等可能的结果，
经过一次“手心手背”游戏，小明先跳绳的有 2 种状况·······················5分
2 1
∴经过一次“手心手背”游戏，小明先跳绳的概率是：＝．
8 4
1
答：经过一次“手心手背”游戏，小明先跳绳的概率是．······················7分
4
22 ．（此题 6 分）
方法 1：方法 2：
······················································6分23 ．（此题7 分）
解：过点 A 作 AD⊥ OB 于点 D.
由题意得 AN ⊥ MN ，OB⊥ MN ， AD ⊥ OB，∴四边形 ANMD 是矩形，
O
∴DM ＝ AN ，··············································2分
A D C
设 OB＝ OA ＝ x cm，在Rt ? OAD 中，∠ODA ＝90°，
B
OD x＋5－14
N M
cos ∠AOD＝OA＝x ≈0.6 ．··································5分解得 x＝15cm．
经查验， x＝15为原方程的解．
答：细线 OB 的长度是15cm．·····································7分
24 ．（本小题满分7 分）
解：设每千克樱桃应降价x 元，依据题意，得 (1)
分
（60 －x－ 40 ）（ 100 ＋ 10 x）＝ 2240 ．...............................4分解得： x1＝4， x2＝6．. (6)
分
答：每千克樱桃应降价 4 元或 6 元．·································7分25 ．（本小题满分9 分）
（1 ）解法一：∵对于x的一元二次方程x2－ 4 mx＋ 4m2＋ 2 m－ 4 ＝ 0 有实数根，∴△＝（－4 m）2－4 （4 m2＋ 2 m－ 4 ）＝－ 8m＋16 ≥0 ，·······················3分
∴m ≤2．···············································4分解法二：∵ x2－4mx ＋4 m 2＋2 m －4＝0，∴（x－2m ）2＝4－2 m ．··················3分∴m ≤2．···············································4分（2 ）解法一：y＝x2－ 4 mx＋4 m2＋2 m－4 的极点为M为（ 2m， 2m－ 4 ），····6分
∴MO 2＝（2m ）2＋（2 m －4）2＝8（ m －1）2＋8．·························7分∴MO 长度的最小值为2 2 ．·····································9分解法二： y＝ x2－4 mx ＋4 m 2＋2 m －4的极点为 M 为（2 m ，2m －4），················6分∴点 M 在直线 l： y=x －4上，····································7分∴点 O 到 l 的距离即为MO 长度的最小值22．···························9分26 ．（本小题满分12 分）
解：（ 1） 3000 ；·············································2分（ 2 ）设汽车的速度为x km/h，则飞机的速度为8x km/h ，依据题意得：
3000 － 24002400
－＝ 3 ，······································4分x 8 x
解之得： x＝100．
经查验， x＝100为原方程的解.则飞机的速度为8 ×100 ＝800 km/h．
答：飞机的速度为800 km/h．····································6分（3 ）图略．·············································8分当 0 ≤x≤3 ，y1=800 x．
当 3< x≤9,，设函数关系式为y1＝ kx＋ b ，
3 k＋b＝ 2400 ，k＝100，
代入点（ 3， 2400 ），（ 9 ， 3000 ）得：解得
9 k＋b＝ 3000 b ＝2100．
∴函数关系式为： y1＝100 x＋2100 (12)
分
27 ．（此题10 分）
解：（ 1） B． (2)
分
（ 2 ）解法一：过点 B 作 BH 垂直 OC ，垂足为H． B
1 OH 1 OH 1
∵B 在射线 OA 上的射影值为 2 ，∴OA＝2 ，∵OB＝ OA ，∴OB＝2 ，O H AC
OB 1 OH OB
∵CA＝OA ，∴＝，∴＝．又∵∠O＝∠O，
OC 2 OB OC
∴△OHB ∽△OBC ．···········································6分∴∠OBC＝∠OHB ＝90°．∴OB⊥ BC，∵点 B 是圆 O 上的一点，
∴BC 是圆 O 的切线．·········································8分解法二：连结AB ，过点B作BH垂直OC，垂足为H．
1 OH 1 OH 1
∵B 在射线 OA 上的射影值为，∴＝，∵OB＝ OA ，∴＝＝ cos ∠O ，
2 OA 2 OB 2
∴∠O＝ 60 °．∵OB＝OA，∴△OBA是等边三角形，∴∠OAB＝ 60 °．...................4分∵AC＝ OA ，∴AB = AC ，∴∠ABC=∠C，∴∠C=30°．.. (6)
分
∴∠OBC＝90°．∴OB ⊥BC，∵点 B 是圆 O 上的一点，
∴BC 是圆 O 的切线．·········································8分
1 3
（3 ）y＝ 0 ( ≤x＜ )；·········································10分
2 4
3 3 3
y＝2 x－（≤x
≤）·······································12分
2 4 2。