数学(文)卷·2015届浙江省桐乡第一中学等四校高三上学期期中联考(2014.11)

浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考数学（文）
试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U I （ ▲ ） Ａ．{}2,3 Ｂ．{}1,4,5 Ｃ．{}4,5 Ｄ．{}1,5 2．设x 是实数，则“0x >”是“||0x >”的（ ▲ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 （ ▲ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
4．若0.5
2
2
2,log 3,log 2
a b c π===，则有 （ ▲ ）. A.a b c >> B.b a c >>
C.c a b >>
D .b c a >>
5．已知一几何体三视图如右，则其体积为 （ ▲ ）
A ．
23 B ．4
3
C ．1
D ．2 6.数列{}n a 满足123,n n a a n ++=-若12,a =则2120a a -=
（ ▲ ）
A ．9 B. 7 C ．5 D ．3
7.已知变量x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标
函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值,则实数a 的取值范围（ ▲ ）
A ．2(,)3+∞
B ．1(,)3-∞
C ．1(,)2+∞
D ．1
(,)3
+∞
8. 已知20,1,().x
a a f x x a >≠=-当(1,1)x ∈-时，均有1(),2
f x <则实数a 的取值范围是
（ ▲ ）
A ．1(0,][2,)2⋃+∞
B ．1[,1)(1,2]2⋃ C. 1(0,][4,)4⋃+∞ D. 1[,1)(1,4]4
⋃
9．点P 是双曲线22122x y a b
C : -=1(a>0,b>0)与圆2222
2C : x +y =a +b 的一个交点，且
2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为（ ▲ ）
A 1
B
C
D ．1- 10．设函数()[](),0
1,0
x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨
+<⎪⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[]1.22-=-，[]1.21=，[]11=，若直线()()10y k x k =+>与函数()y f x =的图像恰有
三个不同的交点，则k 的取值范围是 （ ▲ ）
A ．11(,]43 B.1
(0,]4 C.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.11
[,)43
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共有7小题，每小题4分，共28分．） 11.等差数列{}n a 中，266a a +=，则7S ＝ ▲ .
12．已知,1)cos(,3
1
sin -=+=
βαα则=+)2sin(βα ▲_______． 13. 12:210,:(1)10l ax y l a x ay +-=-++=两直线垂直，则a = ▲ .
14. 已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()3
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，则AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为__▲.
15. 设向量,a b r r
满足1a b a b ==+=r r r r ，则()a tb t R -∈r r 的最小值为 ▲ .
16. 函数()f x 定义域为R ，且对定义域内的一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，又当0x >时，有()0f x <，且1
(1)2
f =-，则()f x 在区间[]2,6-上的最大值与最小值之和为 ▲ .
17. 关于x 的二次不等式220ax x b ++>的解集为1|x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭
，且a b >，则22a b a b +-的
最小值为______▲_____.
三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）
已知函数2
()2sin ()2,,442f x x x x π
ππ⎡⎤
=+
∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A π
α=-
，且2
sin sin sin B C A =，
求b c -的值．
445566,,a S a S a S +++成等差数列。

（1）求数列}{
n a 的通项公式；
（2）对,n N +∈在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，记插入的这n 个数的和为,n b 求数列}{
n b 的前n 项和.n T
20. （本题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，△PAC 为等边三角形，//PE CB ，过BC 作平面交AP AE 、分别于点M N 、． (1)求证：//MN PE ；
(2) 设AN
AP
λ=，求λ 的值，使得平面ABC 与平
面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒.
21.（本题满分15分）已知点)2,0(F 是抛物线
2x ay =的焦点.
（1）求抛物线方程；
E A
B
C M
N
P （第20题）
（2）若点00(,)P x y 为圆122=+y x 上一动点，直线l 是圆在点P 处的切线，直线l 与抛物线相交于B A ,两点（B A ,在y 轴的两侧），求平面图形OAFB 面积的最小值．
22. （本题满分15分）设函数2
(),().a f x x x a g x x
=+-= （1）当0a =时，解关于x 的不等式()2;f x > （2）求函数()f x 的最小值；
（3）若(0,2),,t x R ∀∈∃∈使()()f x g t =成立，求实数a 的取值范围.
2014/2015学年第一学期联盟学校高三期中联考
数学（文科）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U I （ ▲B ） Ａ．{}2,3 Ｂ．{}1,4,5 Ｃ．{}4,5 Ｄ．{}1,5 2．设x 是实数，则“0x >”是“||0x >”的（ ▲A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3、已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 （ ▲B ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
4、若0.5
2
2
2,log 3,log 2
a b c π===，则有 （ ▲ A ）. A .a b c >> B .b a c >>
C .c a b >>
D .b c a >>
5．已知一几何体三视图如右，则其体积为 （ ▲A ）
A ．
23 B ．4
3
C ．1
D ．2 6. 数列{}n a 满足123,n n a a n ++=-若12,a =则2120a a -=（ ▲ B ）
A ．9 B. 7 C ．5 D ．3
7.已知变量x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函
数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值,则实数a 的取值范围（ ▲ C ）
A ．2(,)3+∞
B ．1(,)3-∞
C ．1(,)2+∞
D ．1
(,)3
+∞
8. 已知2
0,1,().x
a a f x x a >≠=-当(1,1)x ∈-时，均有
1
(),2f x <则实数a 的取值范围是（ ▲ B ）
A ．1(0,][2,)2⋃+∞
B ．1[,1)(1,2]2⋃ C. 1(0,][4,)4⋃+∞ D. 1
[,1)(1,4]4
⋃
9．点P 是双曲线22122x y a b
C : -=1(a>0,b>0)与圆2222
2C : x +y =a +b 的一个交点，且
2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为（ ▲A ）
A
1 B
C
D ．
1 10、设函数()[](),0
1,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.22-=-，
[]1.21=，[]11=，若直线()()10y k x k =+>与函数()y f x =的图像恰有三个不同的交
点，则k 的取值范围是 （ ▲ D ） A 、11(,]43 B 、1
(0,]4 C 、11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D 、11
[,)43
二、填空题（本大题共有7小题，每小题4分，共28分．） 11.等差数列{}n a 中，266a a +=，则7S ＝ ▲ 21 .
12、已知,1)cos(,31
sin -=+=
βαα则=+)2sin(βα ▲_13
-______． 13. 12:210,:(1)10l ax y l a x ay +-=-++=两直线垂直，则a = ▲ 0或-1 .
14. 已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()3AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为__▲23
π
.
15. 设向量,a b r r 满足1a b a b ==+=r r r r ，则()a tb t R -∈r r 的最小值为 ▲ 1
2
.
16. 函数()f x 定义域为R ，且对定义域内的一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，
又当0x >时，有()0f x <，且1
(1)2
f =-，则()f x 在区间[]2,6-上的最大值与最小值之
和为 ▲ -2 .
17. 关于x 的二次不等式2
20ax x b ++>的解集为
1
{|}x x a ≠-，且a b >，则22a b a b +-的最小值为
______
三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18、（本题满分14分）
已知函数2
()2sin ()2,,442f x x x x π
ππ⎡⎤
=+
∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A π
α=-，且2
sin sin sin B C A =，
求b c -的值．
（1）依题
()1cos(2)21sin 2212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡
⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣
⎦（3分）
又,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则22633x πππ-剟，（5分）
故当232x ππ-=即512
x π
α==时，max () 3.f x =（8分）
（2）由（1）知123
A π
π
α=-
=
，（9分）
由2sin sin sin B C A =即2
bc a =，（10分）
又22222
2cos a b c bc A b c bc =+-=+-，（12分）
则22
b c bc bc +-=即2()0b c -=， 故0.b c -=（14分）
445566,,a S a S a S +++成等差数列。

（1）求数列}{
n a 的通项公式；
（2）对,n N +∈在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，记插入的这n 个数的和为,n b 求数列}{
n b 的前n 项和.n T
解：（I ）5544666542()(1230a S a S a S a a a +=+++⇒-+=分）（3分）
211
2310,(51.(6().(722n n q q q q a ⇒-+=≠∴=∴=Q 分）分）分）
（II ） 1()31(),(9242
n
n n n n a a b n ++=
=分）
231311111
[12()3()(1)()()]422222
n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+⨯L ，①
23411311111
[1()2()3()(1)()()]2422222
n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+⨯L ② （11分） ①－②得
2311311111
[()()()()]2422222
n n n T n +=++++-L ， 11
1()13112[()]12422
12
n
n n T n +-=--（13分） 1311
[1()()]222
n n n T n +⇒=
-- （14分）
20. （本题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，△PAC 为等边三角形，//PE CB ，过BC 作平面交AP AE 、分别于点M N 、．
(1)求证：//MN PE ； (2) 设
AN
AP
λ=，求λ 的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒.
【解】方法一： (Ⅰ) 证明：因为 PE ∥CB ， 所以BC ∥平面APE ……………… 3分
又依题意平面ABC 交平面APE 于MN ，故MN ∥BC ，所以 MN ∥PE ……………… 6分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN ∥BC ，故C 、B 、M 、N
共面，平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角即N —CB —A ． 因为平面PAC ⊥平面ABC ，
平面PAC ∩ 平面ABC = AC ，且CB ⊥AC ，所
以CB ⊥平面PAC ．故CB ⊥CN ，即知NCA ∠为二面角N —CB —A 的平面角……10分 所以45NCA ∠=︒．在△NCA 中运用正弦定理得，
sin 451sin 75AN AC ︒
==︒
．
所以，1AN
AP
λ=
=． ……14分 方法二：
(1) 证明：如图以点C 为原点建立 空间直角坐标系C －xyz ，不妨设CA ＝1，CB ＝t
（t >0），PE CB μ=u u u r u u u r
，则(0,0,0)C ， (1,0,0)A ，(0,,0)B t ，
1(,0,2P
，1(,2E t μ．由
AM AN AE AP
λ==，得
1(1,)2M t λλμ-，
1(1,0,)2N λ-，(0,,0)MN t λμ=-u u u u r ．
0n u u r =(0，0，1) 是平面ABC 的一个法向量，且0n u u r 0MN ⋅=u u u u r ，故0n u u r MN ⊥u u u u r ．
又因为MN ⊄平面ABC ，即知MN ∥平面ABC ．
(2) 解：(0,,0)MN t λμ=-u u u u r
，1(1,)2CM t λλμ=-su u u ，设平面CMN 的法向量
1111(,,)n x y z =u u r ，则10n MN ⋅=u u r u u u u r ，10n CM ⋅=u u r u u u u r
，可取1(1,0n =u u r ，
又0n u u r
=(0，0，1) 是平面ABC 的一个法向量．
E A
B
C
M
N
P （第20题）
由0101|||cos |||||
n n n n θ⋅=⋅u u r u u r u u
r u u r ，以及45θ=︒可得
=，即22440λλ+-=．解
得1λ=
（将1λ=-
，故1λ．
21．（http:///本题满分15分）已知点)2,0(F
是抛物线2
x ay =的焦点. （1）求抛物线方程；
（2）若点00(,)P x y 为圆122=+y x 上一动点，直线l 是圆在点P 处的切线，直线l 与抛物线相交于B A ,两点（B A ,在y 轴的两侧），求平面图形OAFB 面积的最小值．
21.解：（Ⅰ）2
8x y =…………………………….2分
（Ⅱ）联立直线l 与抛物线方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=y
x y x y x y 81
2
000可得088020=-+x x x y ， 由题意可得0326402
>+=∆y x 且08
21<-=y x x ，故100≤<y ，……………..8分 而00218y x x x -
=+，0
218y x x -=，且12
020
=+y x ，………………10分 B
y
∴2
02
002020212
21221326432644)(||y y x y y x x x x x x x +=+=
-+=-……………..12分
32817)4
11(23232)1(64202
00
2
0≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=y y y y ，……………….14分 当且仅当10=y 时取“=”， ∴24||21≥-x x ， ∴24||||2
1
21≥-⋅=
x x OF S ，……………………..15分 即平面图形OAFB 面积的最小值为24．
22. （本题满分15分）设函数2
(),().a f x x x a g x x
=+-= （1）当0a =时，解关于x 的不等式()2;f x > （2）求函数()f x 的最小值；
（3）若(0,2),,t x R ∀∈∃∈使()()f x g t =成立，求实数a 的取值范围. 22. （本题满分15分）
（Ⅰ）当0a =时，2
()2,f x x x =+>
20,()22,1,1;x f x x x x x x ≥=+≥⇒≤-≥⇒≥或（2分） 20,()21,2,1;x f x x x x x x <=-≥⇒≤-≥⇒≤-或（4分）
11;x x ∴≤-≥或（5分）
（Ⅱ）2
2
,(=;,(=;x a f x x x a x a f x x x a ≥+-<-+）
） 22
min min min
1111,(=();,()()()2244
a x a f x f a a x a f x f a a f x a ≥≥=<==-+<∴=-+时，），；
林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 （7分）
222min min 11,(=();,()()()22
a x a f x f a a x a f x f a a f x a -≤<≥=<>=∴=时，），；（8分） 2min min 11111,(=();,()()();22444
a x a f x f a x a f x f a a a f x a <-≥-=--<>=>--∴=--时，），（10分） 综上，min 1
1()24a f x a ≥=-+时，；2min 11,()22
a x a f x a -≤<≥=时，； min 11();24
a f x a <-=--时， （11分） （Ⅲ）由题意得，函数()((0,2g t t ∈）的值域包含于函数()f x 的值域，因为恒有()0,f x > ()=0((0,20()=((0,2a a g t t a g t t t t
∴>∈⇒>⇒∈））是减函数， ()((0,2g t t ∈）的值域是(),);2
a g t ∈+∞（（13分） 1111;;2422
a a a a a ≥≥-+⇒≤⇒=时，2 2110;222
a a a a <<≥⇒<时， 综上，10.2
a <≤（15分）。