离散数学：第8讲 等价关系

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等价关系
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例4
例: 考虑A={a,b,c}上的划分.
解:
加细
a bc
加细
a 加细 bc
a 加细 bc
a bc
加细
a
加细
bc #
如何确定一个集合上的划分个数？
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等价关系
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例5
例13: 问A={a,b,c,d} 有多少种划分?
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等价关系
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等价关系
5
性质2
性质2: 设 RAA 且 A, 则 (1) rs( R ) = sr( R ); (2) rt( R ) = tr( R ); (3) st( R ) ts( R ).
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等价关系
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等价关系
等价关系: 设 RAA 且 A, 若R 是自反的, 对称的, 传递的,则称R 为等价关系。
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等价关系
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例3（续）
例3: 设 A={1,2,3,4,5,8}, 等价关系 R = { <x,y> | x,yA xy(mod 3) }
的等价类如下： [1]=[4]={1,4}, [2]=[5]=[8]={2,5,8},
[3]={3}. #
4
8
1
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2
5
depending on the size of the block containing the n+1 st
element. If the block has size j for
then we
have choices for the n other elements of the block. The
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定理7.14(证明(3))
(3) xRy [x]R[y]R= ; 证明: (3) (反证) 假设z, z[x]R[y]R, 则
z[x]R[y]R zRxzRy xRzzRy xRy, 这与xRy矛盾! [x]R[y]R=.
z
x
y
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等价关系
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定理7.14(证明(4))
n
0
0,
n
1
1,
n
2
2 n 1
1,
n
n
1
C
2 n
,
n
n
1,
递推公式:
n
k
k
n
k
1
n k
11.
分析：
设有n个不同的球，分别用T1,T2,...,Tn表示。从中取出一个球Tn，Tn的放法有以下两种： 1.Tn独占一个盒子，那么剩下的球只能放在k-1个盒子里，方案数为S（n-1,k-1); 2.Tn与别的球共占一个盒子，那么可以将T1,T2,...,Tn-1这n-1个球放入k个盒子里，然后将Tn 放入其中一个盒子中，方案数为k*S(n-1,k).
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等价关系
11
例2(续1)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R)
=rts( R )
=rst( R )
自反
对称
传递
等价关系 (等价闭包)
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等价关系
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例3
例3: 设 A={1,2,3,4,5,8}, 则 R = { <x,y> | x,yA xy(mod 3) }
等价关系
3
定理7.13
定理7.13: 设RAA且A,则 (1) R自反 s( R )和t( R )自反; (2) R对称 r( R )和t( R )对称; (3) R传递 r( R )传递。
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等价关系
4
性质1
性质1 : 设 R1,R2AA 且 A, 则 (1) r(R1R2) = r( R1 )r( R2 ); (2) s(R1R2) = s( R1 )s( R2 ); (3) t(R1R2) t( R1 )t( R2 ).
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Bell数(Bell number)
问题: 给n个对象进行分类, 共有多少种分法?
答案: Bell数 (Eric Temple Bell, 1883~1960)
Proof:
We count the number of partitions of a set of n+1 elements,
自反、对称、传递闭包
定理7.11 : 设RAA且A,则 (1) R自反 r( R ) = R; (2) R对称 s( R ) = R; (3) R传递 t( R ) = R.
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等价关系
1
定理7.12
定理7.12 : 设 R1R2AA 且 A, 则 (1) r( R1 ) r( R2 ); (2) s( R1 ) s( R2 ); (3) t( R1 ) t( R2 );
(4) U{ [x]R | xA } = A. 证明: (4) A=U{ {x} | xA }
U{ [x]R | xA } U{ A | xA }=A. U{ [x]R | xA } = A. #
xy
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等价关系
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商集(quotient set)
商集: 设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA }
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等价关系
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例5
例5: 问A={a,b,c,d}上有多少种等价关系?
解:
B4
4 1
4 2
4 3
4 4
1
(23
1)
C
2 4
1
1
7
6
1
15.
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等价关系
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作业
P133：31-34,39,41
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等价关系
2
[2] ={ 2+kn|kZ},…,9
3
[n-1] ={(n-1)+kn|kZ}.
8
4
765
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等价关系
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定理7.14
定理7.14:设R是A上等价关系,x,yA,
(1) [x]R (2) xRy [x]R=[y]R ; (3) xRy [x]R[y]R= ; (4) U{ [x]R | xA } =A. 证明: (1) R自反xRxx[x]R[x]R.
等价关系
Bn 4,140 21,147 115,975 678,570 4,213,597 27,644,437 190,899,322
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第二类Stirling数性质
S分ti成rlinkg个子非集空数子(S集ti的rlin分g法ksnu1个bksn数et.nu1nmbern2)kn:把n个nn对. 象
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等价关系
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Stirling子集数
递推公式: n n 1 n 1
k
k
k
k
1.
剔除一个
其余分k类
加入一类
其余分k-1类
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自成一类
等价关系
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第二类Stirling数表
n\ 0 1 2 3
4
5
6
k
01
1 01
2 01 1
3 01 3 1
4 01 7 6
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等价关系
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例1(续)
定义 自反 对称 传递 等价关系
R1 x与y同年生
R2 x与y同姓
R3 x的年龄不比
y小
R4 x与y选修同
门课程
R5 x的体重比y
重
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等价关系
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例2
例2: 设 RAA 且 A, 对R依次求 三种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些 顺序一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )
则称S为A的一个划分, A中元素称为划分块 (block).若只满足(1)(2)则称S为A的一 个覆盖.
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等价关系
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划分的加细(refinement)
定义: {A1,A2,… Ar}与{B1,B2,… Bs}是同一个 集 得合 Ai A的B两j,种则划{A分1,，A2,若…对A于r}每称一为个是A{iB都1,有B2B,j…使Bs} 的加细。
3
等价关系
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同余(congruence)关系
同余关系: 对于任意大于１的自然数n, x,yZ, 则x与y模n同余(be congruent module n)
xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ)
同余关系是等价关系
[0] ={
kn|kZ},
11 0 1
[1] ={ 1+kn|kZ}, 10
1
5 0 1 15 25 10
1
6 0 1 31 90 65
15
1
7 0 1 63 301 350 140
21
8 0 1 127 966 1,170 1,050 266
9 0 1 255 3,035 7,770 6,951 2,646
10 0 1 511 9,330 34,501 42,525 22,827
例4 （续2）
解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } } A/EA={ {a1,a2,…,an } }
A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}
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等价关系
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覆盖和划分(partition)
设A, S={A1,A2,… An}P(A),若A满足 (1) Ai≠ ;不空 (2) ∪Ai = A（不漏 (3) Ai∩Aj= (i≠j)（不重复
称为A关于R的商集, 简称A的商集.
(即:以R的所有等价类作为元素的集合)
例11(续)（Slide 13）
A/R ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
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等价关系
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例4
例: 考虑A={a,b,c}上的等价关系.
解: IA, EA, R1=IA{<a,b>,<b,a>} R2=IA{<a,c>,<c,a>} R3=IA{<c,b>,<b,c>}
remaining n+1-j elements can be partitioned in B(n&#:
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等价关系
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Bell数表
n
Bn
1
1
2
2
3
5
4
15
5
52
6
203
7
877
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n 8 9 10 11 12 13 14
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等价关系
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定理7.10
定理7.10 : 设 RAA 且 A, 则
r( R ) = RIA; s( R ) = RR-1; t( R ) = RR2R3….
推论: 设 RAA 且 0<|A|<, 则l N, 使 得 t( R ) = RR2R3…Rl
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等价关系
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例6
例6: A={a,b,c}, 求A上全体等价关系. 解: A上不同划分共有5种:
a bc
a bc
a bc
a bc
a bc
R1= EA, R2=IA{<b,c><c,b>}, R3=IA{<a,c><c,a>}, R4=IA{<a,b><b,a>}, R5=IA. #
x
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等价关系
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定理7.14(证明(2))
(2) xRy [x]R=[y]R ;
证明: (2) 只需证明[x]R[y]R和[x]R[y]R.
() z, z[x]RxRy zRxxRy
()
zRy 同理可证.
zz[y]R
.
[x]R[y]R.
x
y
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等价关系
是否为等价关系, 画出R的关系图.
R是等价关系#
4
8
1
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2
5
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等价关系
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等价类(equivalence class)
• 等价类: 设R是A上等价关系,xA, [x]R={y|yAxRy }称为x关于R的等价类, 简称x的等价类,简记为[x].
• X的等价类是A中所有与x等价的元素构成 的集合。
对应的商集分别是什么？ A上是否还有其他等价关系？
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等价关系
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例4（续）
例4(2): 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>}
都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中 ai,ajA, ij.
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等价关系
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等价关系
7
1 28 462 5,880
89
1 36 1 750 45
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等价关系与划分是一一对应的
定理: 设A, 则 (1) R是A上等价关系 A/R是A的划分 (2) A是A的划分 RA是A上等价关系,其中
xRAy B(BA xB yB) RA称为由划分A 所定义的等价关系(同块关系). #
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等价关系
7
内容提要
等价(equivalence)关系 等价类 同余关系 商集 集合的划分
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等价关系
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例1
例1: 判断是否等价关系(A是某班学生):
R1={<x,y>|x,yAx与y同年生} R2={<x,y>|x,yAx与y同姓} R3={<x,y>|x,yAx的年龄不比y小} R4={<x,y>|x,yAx与y选修同门课程} R5={<x,y>|x,yAx的体重比y重}