勾股定理求长度基础含答案

第1节 《勾股定理》
【知识要点】
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 ，公式的变形：a 2 = ，b 2= 2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是 ，这个定理叫做勾股定理的逆定理. 3、勾股数
满足2
2
2
c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：
（1） 2
22543=+ （2） 2
2
2
13125=+ （3） 2
2225247=+ （4） 2
2
2
17158=+ （5）
2
2
2
4140
9=+
类型1：【利用勾股定理求直角三角形的边长】 （1） A
B
C
8
A
B
C
20
（3） （4）
（5）
A
B
C 9
12 A
B
C
28
A
B
C
A
B
C
69
A
C
5
A
B
C
25
A
B
C
36
A
B
C
52
（7）（8）（9）
A
B
C
36
A B
C
84
A
B
C
45
108
A
B
C
60
144
A
C
6
A
B
C
2.4
A
C
7
24
A
C
21
72
（11）
（12）
（13）
A
C
48
A
C
3.5
12
A
C
28
96
A
C
144
A
C
A
C
A
C
8
15
A
C
24
45
（11）
（12）
（13）
A
C
4
7.5
A
C
20
37.5
A
C
75
A
C
60
A
C
16
A
C
48
A
C
9
40
A
C
27
120
（14）
（15）
（16）
类型2：【求长度】
1.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2=____________.
D
C
B
A
O
A
C
3 A
C
120
A
C
200
A
C
18
A
C
4.5 20
A
C
1.8
8
2、如图， 等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6，则腰AB 的长为____________.
3、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结
果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为___________m.
A
B
C
200m
520m
4、 如图， 在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1， 求AC 2的值.
B D C
5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，AC=4cm ，BC=3cm ，则CD= ．
6、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
（2题图）
A
B
D
7、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
8、在直角三角形中, 若两直角边的长分别为1、2，则斜边长的平方为
9、已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长的平方为
10、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 5或13
11、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 则斜边上的高为 13
60
12、如果直角三角形的两直角边长分别为12-n ，2n （n >1），那么它的斜边长是 12
+n
13、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是 242
c m
14、一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高的平方为
15、在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则2
AB+2
BC=__________.
AC+2
16、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，
则________
AB米．
17、一个三角形三边满足(a+b)2－c2＝2ab, 则这个三角形是三角形.
18、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个
桌面__________ (填“合格”或“不合格”).
19、直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为．
20、有六根细木棒，它们的长分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），首尾连结能搭成直
角三角形的三根细木棒分别是．
21、正方形的面积为18cm2, 则正方形对角线长为__________ cm.
22、一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）.
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
23、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（）.
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D. 等腰三角形
24、一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是
49cm , 则斜边的长( ).
A. 18cm
B. 20 cm
C. 24 cm
D. 25cm
25、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为7米
26、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是12米.
27、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）
28、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了 吗？
观测点 小汽车
29、如图，AC ⊥CE ，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC =
12 .
A
B
C D E 30、若直角三角形的两条直角边长分别为3cm 、4cm ，则斜边上的高为
512cm
31、在Rt △ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边中最大边长是 26
32、小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为 2m
33、已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为．
34、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
35、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
36、如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
37、如图，从电线杆离地面8m的C处向地面拉一条电缆拉线，测得地面电缆固定点A到电线杆底部AB 的距离是6m，则电缆拉线AC的长是10m．
【解】Rt△ABC中，AB=6m，BC=8m；
根据勾股定理，得：AC===10（m ）； 即电缆拉线AC 的长是10m ．故答案为：10．
38、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若11a =，61c =，则b = 60
39、若直角三角形中，有两边长是12和5，则第三边长的平方为 169或119
40、已知，三角形的三边长为6810，
，，则这个三角形最长边上的高是 4.8
41、在ABC △中，15AB =，20AC =，BC 边上的高12AD =，则BC 的长为 25或7
42、已知一直角三角形的木板，三边的平方和为21800cm ，则斜边长为 30cm
43、一直角三角形的两边长是3和5，则第三边边长的平方是______34或16
44、在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是______32或42。