2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷
试题数：22.满分：0
1.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）
A.[-1.1]
B.[-1.2）
C.（0.1]
D.（-∞.2）
2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（1
3
）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）
A.若α || β.m || β.则l || m
B.若α || β.m⊥β.则l⊥m
C.若1 || m.α || β.则m || β
D.若l⊥m.m || β.则α⊥β
4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0
x+y+1≥0
y≤1
.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）
A.[0.7]
B.（1.7）
C.[0.4]
D.[1.4]
5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1
a1+1
a2
+1
a3
=2 .a2=2.则S3=（）
A.8
B.7
C.6
D.4
6.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)
x2−1
的部分图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”
的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π
6
对称.则θ的最小值为（）
个单位长度.得到的图象关于直线x=π
6
A. π
6
B. π
3
C. π
2
D.π
9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+2
10.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.10 D.14
11.（填空题.6分）复数
i (1+2i )
1+i
的虚部为___ .模为___ ． 12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.则该几何体的体积（单位：cm 3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm 2）为___ ．
13.（填空题.6分）若（1+x ）（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8.则a 1+a 2+…+a 7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法． 14.（填空题.6分）已知数列{a n }.{b n }满足：a 1=1.a n +a n+1=n.b n =a 2n-1.则数列b n =___ ；记S n 为数列{a n }的前n 项和.S 31-S 24=___ ．
15.（填空题.4分）函数f （x ）=sin （ωx+φ）的部分图象如图所示.则f （x ）的单调递增区间为___ ．
16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xy
x2+4y2+xy
x2+y2
的最大值为___ ．
17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．
18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 2
3 sinAsinC.c=2．
（1）求sinB的值；
（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．
19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面
为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 1
2
BC.CD=SD.点M是SA的中点．
（1）求证：BD⊥平面SCD；
（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．
20.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1= 1
2
，(a n+1+1)(a n+1)=2a n+1，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）证明：对∀n∈N*.a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜1
12
．
21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为√3
2
.且经过点P（- √3 . 1
2
）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．
22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．
（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；
（2）当x≥−π
2
时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：0
1.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）
A.[-1.1]
B.[-1.2）
C.（0.1]
D.（-∞.2）
【正确答案】：C
【解析】：求出集合A.集合B.由此能求出A∩B．
【解答】：解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}.
集合B={x|-1≤x≤1}.
∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0.1]．
故选：C．
【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（1
）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）
3
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
【正确答案】：D
【解析】：根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
）-0.8=30.8.
【解答】：解：a=30.7.b=（1
3
则b＞a＞1.
log0.70.8＜log0.70.7=1.
∴c＜a＜b.
【点评】：本题考查了指数函数和对数函数的性质.属于基础题．
3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）
A.若α || β.m || β.则l || m
B.若α || β.m⊥β.则l⊥m
C.若1 || m.α || β.则m || β
D.若l⊥m.m || β.则α⊥β
【正确答案】：B
【解析】：由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】：解：对于A.若α || β.m || β.则l || m或l与m异面.故A错误；
对于B.若α || β.m⊥β.则m⊥α.又l⊂α.则l⊥m.故B正确；
对于C.若1 || m.α || β.则m || β或m⊂β.故C错误；
对于D.若l⊥m.m || β.则α || β或α与β相交.故D错误．
故选：B．
【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用.考
查空间想象能力与思维能力.是中档题．
4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0
x+y+1≥0
y≤1
.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）
A.[0.7]
B.（1.7）
C.[0.4]
D.[1.4]
【正确答案】：A
【解析】：根据二元一次不等式组画出可行域.目标函数几何意义z′=x-3y-2的纵截距相反数.平移目标函数观察Z取值范围．
【解答】：解：如图可行域：
令z′=x-3y-2.平移直线x-3y-2=0可知当直线过C（0.-1）时.z′取得最大值1.
经过B（-2.1）时.z′有最小值-7.Z=|x-3y-2|.所以Z的取值范围：[0.7]
【点评】：本题考查线性规划问题.属常规题较简单.解题的关键是画好可行域.弄清z所对应的几何意义．
5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1
a1+1
a2
+1
a3
=2 .a2=2.则S3=（）
A.8
B.7
C.6
D.4
【正确答案】：A
【解析】：利用已知条件化简.转化求解即可．
【解答】：解：1
a1+1
a2
+1
a3
=a1+a3
a1a3
+1
a2
=a1+a2+a3
a22
=S3
4
=2 .则S3=8．
故选：A．
【点评】：本题考查等比数列的性质.考查化归与转化的思想．
6.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)
x2−1
的部分图象大致是（）A.
B.
C.
D.
【正确答案】：D
【解析】：由函数为偶函数.可排除选项A.由f（2）＞0.可排除BC.即可得到正确答案．
【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠±1}. f(−x)=−x(e −x−e x)
x2−1
=f(x) .故函数f（x）为偶函数.其图象关于y轴对称.故排除A；
又f(2)=2(e 2−e−2)
3
＞0 .故排除BC；
故选：D．
【点评】：本题考查利用函数性质确定函数图象.考查数形结合思想.属于基础题．
7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：C
【解析】：根据条件判断函数f（x）是奇函数.同时也是增函数.结合函数奇偶性和单调性的性质.利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】：解：∵f（x）=|x|（e x-e-x）.
∴f（-x）=|-x|（e-x-e x）=-|x|（e x-e-x）=-f（x）.即函数f（x）是奇函数.
当x≥0.f（x）为增函数.
则由a+b＞0得a＞-b.此时f（a）＞f（-b）=-f（b）.即f（a）+f（b）＞0成立.即充分性成立. 若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞-f（b）=f（-b）.则a＞-b.即a+b＞0成立.即必要性成立.
则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件.
故选：C．
【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合条件判断函数的奇偶性和单调性是
解决本题的关键．
8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π
6
) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）
个单位长度.得到的图象关于直线x=π
6
对称.则θ的最小值为（）
A. π
6
B. π
3
C. π
2
D.π
【正确答案】：C
【解析】：根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式.再根据函数图象关于直线x=
π
6
对称求出θ的最小值．
【解答】：解：函数f(x)=2sin(2x+π
6
) .
将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.
得y=f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+ π
6 ]=2sin（2x-2θ+ π
6
）；
又函数y的图象关于直线x=π
6
对称.
即2× π
6 -2θ+ π
6
=kπ+ π
2
.k∈Z；
解得θ=- 1
2
kπ.k∈Z；
又θ＞0.所以θ的最小值为π
2
．
故选：C ．
【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了图象平移问题.是基础题． 9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+2 【正确答案】：C
【解析】：过O 作OD⊥AB .由已知求得|OD|.再求出原点到直线x+y-4=0的距离.求得| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.再由 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |求解．
【解答】：解：如图.
P 为直线x+y-4=0上的任意一点.
过原点O 作OD⊥AB .由|AB|=2 √3 .可得|OD|=1. ∴| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP|-1.则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√
2
−1=2√2−1 ． 则| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 4√2−2 ． 故选：C ．
【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质.考查向量模的最值的求法.理解题意是关键.是中档题．
10.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ）
A.2
B.4
C.10
D.14
【正确答案】：B
【解析】：可将数列的递推式两边平方.运用累加法和排除法.可得结论．
【解答】：解：|a i+1|=|a i +1|.两边平方可得a i+12=a i 2+2a i +1. 由a 12=a 02+2a 0+1=0+0+1.
a 22=a 12+2a 1+1.a 32=a 22+2a 2+1.….a 212=a 202+2a 20+1. 上面的式子累加可得a 212=2（a 1+a 2+…+a 20）+21.
则| ∑a k 20
k=1 |=| a 212−212
|.
若| a 212−21
2 |=2.可得a 21=±5.故A 可能； 若|
a 212−21
2
|=4.可得a 21不为整数.故B 不可能； 若| a 212−21
2 |=10.可得
a 21=±1.故C 可能； 若|
a 212−21
2
|=14.可得a 21=±7.故D 可能．
故选：B ．
【点评】：本题考查数列递推式的运用和数列的求和.考查分类讨论思想和判断能力.属于中档题．
11.（填空题.6分）复数
i (1+2i )
1+i 的虚部为___ .模为___ ． 【正确答案】：[1] 3
2
; [2]
√102
【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.可得复数的虚部.再由复数模的计算公式求复数的模．
【解答】：解：∵ i (1+2i )1+i = −2+i
1+i
=
(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )
=
−2+2i+i−i 2
2
=−12+3
2i .
∴复数 i (1+2i )1+i 的虚部为 3
2
. |
i (1+2i )1+i |=| −1
2
+3
2i |= √(−12)2+(32)2
=
√10
2
． 故答案为： 3
2 ； √10
2
．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数模的求法.是基础题．
12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）.则该几何体的体积（单位：cm3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm2）为___ ．
【正确答案】：[1] 16
3
; [2]4 √2
【解析】：首先把三视图转换为几何体的直观图.进一步利用体积公式和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E-ABCD．
如图所示：
所以V E−ABCD=1
3×2×4×2=16
3
. S△ADE=1
2
×4×√22+22=4√2．
故答案为：16
3
；4√2．
【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换.几何体的体积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．
13.（填空题.6分）若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.则a1+a2+…+a7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法．【正确答案】：[1]125; [2]35
【解析】：利用二项式定理可知.对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．先求出任取不同的三项的所有取法.再求出三项均相邻和只有两项相邻的不同取法.利用间接法即可求解．
【解答】：解：∵（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.
∴a8= C77•（-2）7=-128．
令x=0.得（1+0）（1-0）7=a0.即a0=1；
令x=1.得（1+1）（1-2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-2.
∴a1+a2+…+a7=-2-a0-a8=-2-1+128=125．
在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.有C93 =84种不同取法.
三项均相邻.有7种不同的取法.
两项相邻.有2×6+6×5=42种不同的取法.
故三项均不相邻有84-7-42=35种不同的取法．
故答案为：125；35．
【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.组合数公式的应用.属于中档题．
14.（填空题.6分）已知数列{a n}.{b n}满足：a1=1.a n+a n+1=n.b n=a2n-1.则数列b n=___ ；记S n为数列{a n}的前n项和.S31-S24=___ ．
【正确答案】：[1]n; [2]97
【解析】：由a n+a n+1=n.可将n换为n-1.相减可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.再由数列的分组求和.可得所求和．
【解答】：解：a1=1.a n+a n+1=n.可得a2=1-a1=0.
将n换为n-1可得a n-1+a n=n-1.n≥2.
又a n+a n+1=n.相减可得a n+1-a n-1=1.
可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.可得
b n=a2n-1=1+（n-1）=n；
a2n=0+n-1=n-1.
则S31-S24=a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31
=（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）=（13+14+15+16）+（12+13+14）
=58+39=97．
故答案为：n.97．
【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的求和方法：分组求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．
15.（填空题.4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.则f（x）的单调递增区间为___ ．
【正确答案】：[1][2k- 5
4 .2k- 1
4
].k∈Z
【解析】：由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式.再利用正弦函数的单调性.得出结论．
【解答】：解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象.可得1
2• 2π
ω
= 5
4
- 1
4
.∴ω=π．
再根据五点法作图.可得π× 1
4+φ=π.∴φ= 3π
4
.f（x）=sin（πx+ 3π
4
）．
令2kπ- π
2≤πx+ 3π
4
≤2kπ+ π
2
.k∈Z.解得 2k- 5
4
≤x≤2k- 1
4
.k∈Z.
故函数的增区间为[2k- 5
4 .2k- 1
4
].k∈Z．
故答案为：[2k- 5
4 .2k- 1
4
].k∈Z．
【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.正弦函数的单调性.属于中档题．
16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xy
x2+4y2+xy
x2+y2
的最大值为___ ．
【正确答案】：[1] 2√2
3
【解析】：换元t= x
y +2y
x
.然后结合基本不等式可求t的范围.然后结合函数y=t+ 1
t
的单调性
可求范围.然后2xy
x2+4y2+xy
x2+y2
= 3x3y+6xy3
x4+5x2y2+4y4
=
3x
y
+6y
x
x2
y2
+4y
2
x2
+5
=
3(x
y
+2y
x
)
(x
y
+2y
x
)
2
+1
= 3t
1+t2
= 3
t+1
t
.从而可求
【解答】：解：因为x＞0.y＞0.
令t= x
y +2y
x
.
则t ≥2√2 .
所以y=t+ 1
t 在[2 √2 .+∞）上单调递增.y ≥9√2
4
.
则2xy
x2+4y2+xy
x2+y2
= 3x3y+6xy3
x4+5x2y2+4y4
=
3x
y
+6y
x
x2
y2
+4y
2
x2
+5
=
3(x
y
+2y
x
)
(x
y
+2y
x
)
2
+1
= 3t
1+t2
= 3
t+1
t
≤
9√2
4
= 2√2
3
.
当且仅当t= 1
t
即t=1时取等号.
故答案为：2√2
3
【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是应用条件的配凑.属于中档试题．
17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．
【正确答案】：[1]2 √3
【解析】：构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O 为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.推导出∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理推导出12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．【解答】：解：四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°. 构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.
则O为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.
∵异面直线AB与CD所成角为60°.∴∠ABE=60°.
设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.
AE=2rsin60°=2 √3 .
由余弦定理得：
AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos60°.
∴AB2+BE2-AB•BE=12.
∴12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.
∴四面体ABCD的体积：
V A−BCD=1
3V ABE−CDF = 1
3
×1
2
×AB×BE×sin60°×BC = √3
6
×AB×BE≤ 2√3．
∴四面体ABCD的体积的最大值为2 √3．
故答案为：2√3．
【点评】：本题考查四面体的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．
18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 2
3 sinAsinC.c=2．
（1）求sinB的值；
（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用正弦定理化角为边.再由余弦定理求出cosB.从而求出sinB的值；（2）根据题意画出图形.利用余弦定理求出BD的值.再求△ABC的面积．
【解答】：解：（1）△ABC中.sin2A+sin2C-sin2B= 2
3
sinAsinC.
由正弦定理得.a2+c2-b2= 2
3
ac.
所以cosB= a 2+c2−b2
2ac
=
2
3
ac
2ac
= 1
3
；
又B∈（0.π）.
所以sinB= √1−sin2B = √1−(1
3)
2
= 2√2
3
；
（2）如图所示.
设BD=AD=2DC=x.由c=AB=2.
利用余弦定理得.AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB. 即x2=22+x2-2×2×x× 1
3
.
解得x=3.CD= 1
2 x= 3
2
.
所以△ABC的面积为
S△ABC= 1
2AB•BC•sinB= 1
2
×2×（3+ 3
2
）× 2√2
3
=3 √2．
【点评】：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题.也考查了运算求解能力.是中档题．
19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 1
2
BC.CD=SD.点M是SA的中点．
（1）求证：BD⊥平面SCD；
（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．
【正确答案】：
【解析】：（1）取BC的中点E.连接DE.分别计算BD.CD.利用勾股定理的逆定理证明BD⊥CD.再根据面面垂直的性质得出BD⊥平面SCD；
（2）建立空间坐标系.计算平面MBD的法向量n⃗ .计算n⃗和DS
⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出SD与平面MBD所
成角的大小．
【解答】：（1）证明：取BC 的中点E.连接DE. 设AB=a.则AD=a.BC=2a.BE= 1
2 BC=a. ∵∠ABC=90°.AD || BE.AD=BE. ∴四边形ABED 是正方形. ∴BD= √2 a.DE⊥BC .DE=CE=a. ∴C D= √2 a.
∴BD 2+CD 2=BC 2.故BD⊥CD .
∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.BD⊂平面ABCD.BD⊥CD . ∴BD⊥平面SCD ．
（2）解：过S 作SN⊥CD .交CD 延长线于N.
∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.SN⊂平面SCD.SN⊥CD . ∴SN⊥平面ABCD.
∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角.故∠SDN=60°. ∵SD=CD= √2 a.∴DN=
√2a 2 .SN= √6a
2
. 以D 为原点.以DB.DC.及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz.如图所示.
则B （ √2 a.0.0）.D （0.0.0）.A （ √2
2
a.- √22
a.0）.S （0.- √22
a. √62
a ）. ∵M 是SA 的中点.∴M （ √2
4 a.- √2
2 a. √64 a ）.
∴ DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.- √22 a. √62 a ）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 a.0.0）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √24 a.- √22 a. √64
a ）. 设平面MBD 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {√2ax =0√24ax −√22ay +√6
4az =0 . 令z=2可得 n ⃗ =（0. √3 .2）.
∴cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •DS ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DS ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √6
2a √7×√2a
= √2114 . ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= √2114 ．
【点评】：本题考查面面垂直的性质.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1= 1
2，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ ． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）证明：对∀n∈N *.a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2＜ 1
12 ．
【正确答案】：
【解析】：（1）求得a n+1= a
n
1+a n
.判断a n ＞0.两边取倒数.结合等差数列的定义和通项公式.可得
所求通项公式；
（2）求得a k a k+1a k+2= 1
2 [ 1(k+1)(k+2) - 1
(k+2)(k+3)
].再由数列的裂项相消求和和不等式的性质.即可
得证．
【解答】：解：（1）由a 1= 12
，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ .
可得a n+1= a
n 1+a n
.
由a 1＞0.可得a n ＞0. 则 1
a n+1
=1+ 1
a n
.
即
1
a n+1
- 1a n
=1.
所以{ 1
a n
}是首项为2.公差为1的等差数列. 则 1a n
=2+n-1=n+1.即a n = 1
n+1 ；
（2）证明：a n = 1n+1 .对k=1.2.3.….a k a k+1a k+2= 1
(k+1)(k+2)(k+3)
= 1
2 [ 1
(k+1)(k+2)
- 1
(k+2)(k+3)
].
所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2= 1
2 [ 1
2×3
- 1
3×4
+ 1
3×4
- 1
4×5
+…+ 1
(n+1)(n+2)
- 1
(n+2)(n+3)
]
= 1
2 [ 1
2×3
- 1
(n+2)(n+3)
]= 1
12
- 1
2(n+2)(n+3)
＜1
12
．
【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的裂项相消求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．
21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为√3
2
.且经过点P（- √3 . 1
2
）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）通过椭圆E的离心率.及椭圆过点P（- √3 . 1
2
）.求得a.b即可得到椭圆方程．（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.
写出直线MA、MB的方程即可得到得D（0. 2 y0
x0+2）.C（x0
y0+1
.0）.
所以三角形OCD的面积S= 1
2 |OC||OD|= x0y0
(x0+2)(y0+1)
= x0y0
x0y0+x0+2y0+2
令x0+2y0=t.利用椭圆参数方程无得t的范围即可求解．
【解答】：解：（1）由题意{c
a =√3
2
3 a2+1
4b2
=1
.结合a2=b2+c2.
解得a2=4.b2=1.c2=3.
故.椭圆C的标准方程为：x 2
4
+y2=1．；
（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.a（-2.0）.B（0.-1）.
直线MA的方程为：y=y0
x0+2(x+2) .令x=0.得D（0. 2 y0
x0+2
）.
直线MB的方程为：y=y0+1
x0x−1 .令x=0.得C（x0
y0+1
.0）.
所以三角形OCD的面积S= 1
2 |OC||OD|= x0y0
(x0+2)(y0+1)
= x0y0
x0y0+x0+2y0+2
.
令x0+2y0=t.则t2=(x0+2y0)2=x02+4y02+4x0y0 =4+4x0y0. ∴ x0y0=t2−4
4
.
∴S=
t2−4
4
t2−4
4
+t+2
=1+ −4
t+2
．
令x0=2cosθ，y0=sinθ，θ∈(0，π
2
) .
则t=2cosθ+2sinθ=2 √2 sin（θ+π
4
）.
∵ θ∈(0，π
2) .∴ θ+π
4
∈(π
4
，3π
4
) .sin（θ+π
4
）∈（√2
2
.1]．
∵函数S=1+ −4
t+2
在（2.2 √2 ]单调递增.∴ S∈(0，3−2√2 ]．
三角形OCD的面积的取值范围为（0.3-2 √2 ]．
【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的综合应用.三角形面积的求法.考查转化思想以及计算能力.是难题．
22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．
（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；
（2）当x≥−π
2
时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）求导.判断函数的单调性.进而得到函数的最值；
（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.依题意当x≥−π
2
时.x•h（x）≥0恒成立.然后分a≤1及a＞1讨论.即可得出结论．
【解答】：解：（1）f'（x）=e x-sinx.令g（x）=e x-sinx.x≥0.则g'（x）=e x-cosx．
当x∈[0.π）时.g'（x）为增函数.g'（x）≥g'（0）=0；
当x∈[π.+∞）时.g'（x）≥eπ-1＞0．
故x≥0时.g'（x）≥0.g（x）为增函数.
故g（x）min=g（0）=1.即f'（x）的最小值为1．
时.x•h（x）≥0恒成立．
（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.h'（x）=e x-sinx-a.则x≥−π
2
当a≤1时.若x≥0.则由（1）可知.h'（x）≥1-a≥0.
所以h（x）为增函数.故h（x）≥h（0）=0恒成立.即x•h（x）≥0恒成立；
，0] .则h''（x）=e x-cosx.
若x∈[−π
2
h'''（x）=e x+sinx在[−π
，0]上为增函数.
2
)=e−π2−1＜0 .
又h'''（0）=1. ℎ‴(−π
2
故存在唯一x0∈(−π
，0) .使得h'''（x0）=0．
2
，x0)时.h'''（x）＜0.h''（x）为减函数；
当x∈(−π
2
x∈（x0.0）时.h'''（x）≥0.h''（x）为增函数．
)=e−π2＞0 .h''（0）=0.
又ℎ″(−π
2
，0)使得h''（x1）=0．
故存在唯一x1∈(−π
2
故x∈(−π
，x1)时.h''（x1）＞0.h'（x）为增函数；
2
x∈（x1.0）时.h''（x1）＜0.h'（x）为减函数．
)=eπ2+1−a＞0 .h'（0）=1-a≥0.
又ℎ′(−π
2
，0]时.h'（x）＞0.h（x）为增函数.
所以x∈[−π
2
故h（x）≤h（0）=0.即x•h（x）≥0恒成立；
当a＞1时.由（1）可知h'（x）=e x-sinx-a在[0.+∞）上为增函数.
且h'（0）=1-a＜0.h'（1+a）≥e1+a-1-a＞0.
故存在唯一x2∈（0.+∞）.使得h'（x2）=0．
则当x∈（0.x2）时.h'（x）＜0.h（x）为减函数.
所以h（x）＜h（0）=0.此时x•h（x）＜0.与x•h（x）≥0恒成立矛盾．
综上所述.a≤1．
【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.极值及最值.考查不等式的恒成立问题.考查转化思想.分类讨论思想.考查逻辑推理能力.属于中档题．。