瞬时变化率

瞬时变化率
撰稿人：高二文审稿人：高二数学组
目的要求
1．了解曲线的切线的概念．
2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．
3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．
内容分析
1．本小节分为两部分，一是曲线上一点的切线斜率，二是非匀速运动物体的瞬时速度．
2．我们学过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线：直线和曲线有唯一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线．显然，这种推广是不妥当的．如图33－1中
的曲线C是我们熟知的正弦曲线y＝sinx．直线l1显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线切线的定义．
3．在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫作瞬时速度，然后从实际测量速度，结合汽车速度计的使用，对瞬时速度做了说明(可参考高中物理中的有关内容)．
4．本节课的重点是切线的概念和瞬时速度的概念．难点是在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，为下节学习导数的定义奠定基础．
教学过程
1．曲线的切线
怎样找到在曲线上一点P处最逼近的直线l呢？
如图33－2，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x，y)是曲线C上一点，点Q是曲线C上的另一点．直线PQ称为曲线的割线，当点Q沿着曲线C向P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线c，当点Q无限地趋近于点P，割线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l．这条直线l叫做曲线C 在点P处的切线．
问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？
设曲线c 上一点P(x,f(x)),过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q(x+Δx,f(x+Δx)，线PQ 的斜率为：
当点Q 沿曲线C 向点 P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率
接近切线l 的斜率，即当Δx 无限接近于0时，
()()
f x x f x x
+∆-∆无限趋近于点P （x,f(x)）处的切线的斜率。

例题1、已知f(x)= x 2,求曲线y= f(x)在x=2处的切线的斜率。

2． 瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
结论：当t ∆趋近于0时，即无
()()()()
k ()PQ f x x f x f x x f x x x x
x
+∆-+∆-=
=
+∆-∆
论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -
在上述过程中，我们先计算平均变化率
(2)(2)
h t h t
+∆-∆再由t ∆无限趋于0时
(2)(2)
13.1 4.9t
h t h t
+∆-=-∆∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”
求出2t =s 时的瞬时速度，也就是在2t =时s 的高度对于时间的瞬时变化率。

求瞬时速度的步骤：
1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆
2.再求平均速度t
s v ∆∆=
3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t
s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度
例2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为
()2
0v t 3,t t t =+=求时轿车的加速度。

布置作业
1．求下列曲线在指定点处的切线斜率． (1)y ＝－x 3＋2，x ＝2处， (2)y x 0＝，＝处．11
x +
2．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．
2
3.10(),m +一质点的运动方程为s=t 位移单位：，时间单位：s 求该质点在t=3s 时的瞬时速度
2
014.()()()
2
t t m t s S gt g s =自由落体运动的位移S 与时间的关系为为常数（1）求t=时的瞬时速度
（2）分别求出=0,1,2时的瞬时速度。