江西省新余四中、鹰潭一中等重点中学盟校2018届高三数学第一次联考试题文

江西省2018届高三第一次联考
数学（文科）试卷
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则(C U A)⋂B=（ ）
A ．{3}
B ．{4}
C ．{3，4}
D ．{2，3，4}
2．设x R ∈，i 是虚数单位，则“2x =”是“复数2
(4)(2)Z x x i =-++为纯虚数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．即不充分也不必要条件
3．若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤1y 1y x x
y ，则2z x y =-的最大值为（ ）
A ．5
B ．3
C ．﹣1
D ．
2
1 4．在△ABC 中，若6=a ，b =4，B=2A ，则sinA 的值为（ ）
A ．
36 B ．66 C ．632 D ．3
3 5．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，且在[]1,0-上单调递减， 设)2(f a =,(2)b f =，(3)c f =， 则a ,b ,c 的大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．a c b << 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上
口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半 月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余
4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）
A ．53
B ．54
C ．158
D ．263
7．在数列{}n a 中，411-
=a ，1
1
1--=n n a a ),2(*∈≥N n n ，则2018a 的值为（ ） A ．4
1
-
B ．5
C ．
5
4 D ．
4
5 8．函数ln x x
x x
e e y e e ---=+的图象大致为（ ）
A B C D
9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M 、N 分别为OA 、OB 的中点， 在M 、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA 、OB 为直径 的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是( )
A ．π
2
1-
B ．
π
121- C ．π
4
2-
D ．
π
1
10．设函数⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=42sin )(πx x f )89,0(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈πx ，若方程a x f =)(恰好有三个根，分别为321,,x x x )(321x x x <<，则32132x x x ++的值为（ ）
A ．π
B ．
4
3π C ．
2
3π D ．
4
7π 11．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是 某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．
451π B ．2
41π
C ．π41
D ．π31 12．已知双曲线C ：122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C
上一点，
Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22PF =，021=⋅QF QF ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．13-
B ．13+
C ．213+
D ．213-
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上） 13．抛物线2
8y x =-的焦点坐标是 .
14
，，的夹角为
15．已知函数)(x f =⎩⎨⎧<-≥+1
,11),2(log 3x e x x x ，若0m >，0n >，且[](ln 2)m n f f +=，则n m 2
1+的
最小值为 .
16．函数)4()(+=kx x f x x -ln (x ＞1)，若0)(>x f 的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为 .
三、解答题（共6题，12+12+12+12+12+10共70分本大题共六小题，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，2
2
S q b =
． （1）求n a 与n b ．（2）设数列{}n c 满足1
n n
c S =，求{}n c 的前n 项和．
18．（本小题满分12分）已知边长为2的正方形ABCD 与
菱形ABEF 所在平面互相垂直，M 为BC 中点． （1）求证：EM
平面ADF ．
（2）若 60=∠ABE ,求四面体M ACE -的体积．
19．（本小题满分12分）微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷。

作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段。

某公司为了解人们对“微信支付”认可度，对[]15,45年龄段的人群随机抽取n 人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调
查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值；
（2）在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓
励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾，求所选派的2人没有第四组人的概率.
20．（本小题满分12分）已知椭圆系方程n C ：n b
y a x =+2222(0a b >>，n N *∈)，
F 1、F 2是椭圆6C 的焦点，A )36(，是椭圆6C 上一点，且0212=⋅F F AF （1）求n C 的离心率并求出1C 的方程；
（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ，N 两点，点
P
关于原点的对称点为Q ，求证：QMN ∆的面积为定值，并求出这个定值．
21．（本小题满分12分）已知函数x c bx ax x f ln )(2++=（R c b a ∈,,）．
（1）当a =1，b =1，c =1-时，求曲线)(x f y =在点(1，)1(f )处的切线方程；
（2）当b =2a ，c =1时，求最大的整数b ，使得0＜x ≤2时，函数)(x f y =图象上的点都在
⎩⎨
⎧≤++≤<0
12
0y x x 所表示的平面区域内（含边界）.
（二）选考题：共十分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程是6=y ，圆C 的参数方程是⎩
⎨⎧+==ϕϕsin 1cos y x （ϕ为参数）．以
原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）分别求直线l 与圆C 的极坐标方程； （2）射线OM :θα=（02
π
α<<
）与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 交于点M ．射线
ON :2
π
θα=+
与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求
ON
OQ OM OP ⋅的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
a R ∈）． （1）当1a =时，求()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围．
江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考文科数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上） 三、解答题（共6题，12+12+12+12+12+10共70分本大题共六小题，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤。

）
17．解：（1）设等差数列公差为d ，由题目列出各方程：2212b S +=
即11212b q a a ++=，22S q b =即12
2
a a q
b +=，得266q d q d
+=⎧⎨=+⎩，解出3q =，3d = ……………（4分）
∴1(1)3n a a d n n =+-=，1113n n n b b q --==． ………………（6分）
（2）∵1()2n n n S a a =+(33)2n n =+233
22n n =+．21121333(1)22
n n c S n n n n ⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦
+21131n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．
………………（9分）
21111113223
1n T n n ⎛⎫=-+-+
+
- ⎪+⎝⎭21131n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭231
n
n =⨯
+． ………………（12分）
18．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC∥AD．∵BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，
∴BC∥平面ADF ．∵四边形ABEF 是菱形， ∴BE∥AF．
∵BE ⊄平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，
∴BE∥平面ADF ．∵BC∥平面ADF ，BE∥平面ADF ，BC∩BE=B， ∴平面BCE∥平面ADF ．
∵EM ⊂平面BCE ，∴EM∥平面ADF ． ………………（6分） （2）取AB 中点P ，连结PE ．∵在菱形ABEF 中，∠ABE=60°，
∴△AEB 为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴EP =3． ∵平面ABCD⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF=AB ， ∴EP⊥平面ABCD ， ………………（9分） ∴EP 为四面体E ﹣ACM 的高．
∴
EP S V V ACM ACM E ACE M ⋅==∆--31
333212131=
⨯⨯⨯⨯=. ………………（12分） 19．解：（1）画图（见右图） ………………（2分） 由频率表中第四组数据可知，第四组总人数为
60
1500.4
=，再结合频率分布直方图
可知150
10000.035
n =
=⨯ ………………（3分）
所以0.04510000.5100a =⨯⨯⨯= ………………（4分） 第二组的频率为0.3，所以195
0.65300
p =
= ………………（5分） （2）因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为4人，2人，1人. ………………（7分）
（3）设第四组4人为：4321,,,A A A A ，第五组2人为：21,B B ，第六组1人为：1C .
则从7人中随机抽取2名所有可能的结果为：
12A A ，13A A ，14A A ，11A B ，12A B ，11A C ，23A A ，24A A ，21A B ，22A B ，21A C 34A A ，31A B ，32A B ，31A C ，41A B ，42A B ，41A C ，12B B ，11B C ，21B C 共21种；
其中恰好没有第四组人的所有可能结果为：121121,,C B C B B B ，共3种； 所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为7
1
213==P . ………………（12分）
20．解：（1）椭圆6C 的方程为：6C ：62222=+b y a x 即：16622
22=+b
y a x
∵0212=⋅F F AF ．∴212F F AF ⊥
，又
A c ∴=
2
2
2
666a b c ∴-==即：2
2
1a b -=
1= 2
2a ∴=,2
1b =∴椭圆n C 的方程为：2
22
x y n +=
∴222
2
2122n n e n -==
，∴e = ∴椭圆1C 的方程为：1222=+y x ； ………………（5分）
（2）解法（一）：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --
当直线l 斜率存在时，设l 为：y kx m =+,
则00y kx m =+，由2
232y x kx m y ⎧⎪⎨⎪=+=⎩
+联立得：()222
214260k x kmx m +++-=
由0∆=得(
)
2
2
321m k =+
Q 到直线l 的距离1
21
2
2
00+=
+++-=
k m k m
y kx d
同理，由2
262y x kx m y ⎧⎪⎨⎪=+=⎩+联立得：()222
2142120k x kmx m +++-=
122421km x x k ∴+=-+，2122
212
21
m x x k -=+………………（8分） MN ∴
=2
421k =⎥+⎦
==1
2
QMN S MN d ∆∴=
12=
=
=
=
当直线l
斜率不存在时，易知
QMN S ∆∴=，QMN ∆
的面积为定值 ………………（12分）
解法（二）：设00(,)P x y ，由（1）得3C 为：2
232
x y +=，
∴过P 且与椭圆3C 相切的直线l ：
0032
x x
y y +=．且220026x y += 点P 关于原点对称点00(,)Q x y --，点Q 到直线l 的距离20
20
2
020********
2y
y
x y x d +=
+++=
………………（7分）
设11(,)M x y ，22(,)N x y
由0022
26212
x x y y x y +=⎧⎨+=⎩得22004824160x x x y -+-=22002640x x x y ⇒-+-= 1202x x x +=，2
12064x x y =-，………（8分）
∴MN =)0(0≠y ∴QMN ∆
的面积为
12S d MN =⋅=
26=（定值） 当00=y
时，易知
QMN S ∆∴=， 综上：QMN ∆
的面积为定值 ………………（12分）
21．解：（1）当1,1,1a b c ===-时，2()ln f x x x x =+-，则x
x x f 1
12)(-
+='，2)1(='∴f ， 又(1)2f =∴所求的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -= ………………（3分） （3）当2,1b a c ==时，由题意得 2
1()ln 2
f x bx bx x =
++,当02x <≤时，()1f x x ≤-- 即21ln (1)102x bx b x ++++≤,设2
1()ln (1)12
g x x bx b x =++++,则问题等价于
当02x <≤时，max ()0g x ≤
)1(1
)(+++=
'b bx x
x g (1)(1)bx x x ++= ………………（6分）
当0b ≥时，若02x <≤，则0)(>'x g ， ()g x 递增，max ()(2)g x g =ln 243b =++0> 故不满足条件 ………………………………………………（8分） 当0b <时，因为b 为整数,故1b ≤-，所以101b <-
≤,()g x 在1
(0,)b
-上递增 在1,2b ⎛⎤- ⎥⎝⎦
上递减，max 1()()g x g b ∴=-1ln()02b b =---
≤，即021
)ln(≥+-b b ()* 易知函数1()ln()2h x x x =-+
（0<x ）为递减函数，又1(1)02h -=-<，1
(2)ln 204
h -=-> 所以满足()*的最大整数b 为2-，
综上可知，满足条件的最大的整数为2-. ………………（12分）
22．解：（1）直线l 的方程是6y =，可得极坐标方程：sin 6ρθ= ………………（2分）
圆C 的参数方程是cos 1sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），可得普通方程：22(1)1x y +-=
展开为2220x y y +-=．化为极坐标方程：22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ= …………（5分） （2）由题意可得：点P ，M 的极坐标为：(2sin ,)αα，),sin 6
(
a a
． ∴2sin OP α=,|OM|=a
sin 6
，可得3sin 2a OM OP =． 同理可得：3
)2(sin 2π
+=a ON OQ =
3cos 2a
． ∴361362sin 2≤=⋅a ON OQ OM OP ．当4
π
=a 时，取等号． ∴ON OQ OM OP ⋅的最大值为36
1
………………（10分） 23．解：（1）当1a =时，()121f x x x =-+-，()2f x ≤1212x x ⇒-+-≤
上述不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤221121x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<<2
121121x x x 或⎩⎨⎧≤-+-≥21211x x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧≥≤021x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥3
41x x ∴210≤≤x 或121<<x 或3
41≤≤x ， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫≤≤340x x . ………………（5分） （2）∵1(2)f x x ≤+的解集包含⎥⎦⎤
⎢⎣⎡121，，∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈121，x 时，不等式1(2)f x x ≤+恒成立，… 即1212+≤-+-x x a x 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈121，
x 上恒成立， ∴2211x a x x -+-+≤，即2x a -≤∴22x a -≤-≤ ∴22x a x -≤≤+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈121，
x 上恒成立，∴min max )2()2(+≤≤-x a x ∴2
51≤≤-a ， 所以实数a 的取值范围
是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-251，． ………………（10分）。