学科数学高二年级11班教师倾转莉(20210922074915)

学科：数学高二年级11 班教师：倾转莉课题1．2．2组合
教
学
目
标
教课要点
教课难点
教课假想
教课器具电子白板教课方法研究式课时安排5
板
书
设
计
教
学
反
思
1．2．2 组合
第一课时
一、复习引入：
1 分类加法计数原理：做一件事情，达成它能够有n 类方法，在第一
类方法中有 m1种不一样的方法，在第二类方法中有 m2种不一样的方法，，在第n 类方法中有m n种不一样的方法那么达成这件事共有
2. 分步乘法计数原理：做一件事情，N m1m2m n种不一样的方
法
m2达成它需要分红n 个步骤，做第一步有m1种不一样的方法，做第二步
有
种不一样的方法，，做第n 步有m n种不一样的方法，那么达成这件事有 N m1m2m n种不一样的方法
3．摆列的观点：从n个不一样元素中，任取m （m n ）个元素（这
里的被取元素各不同样）依照必定的次序排成一列，叫做从n 个不一样元
．．．．．
素中拿出 m 个元素的一个摆列
．．．．
4．摆列数的定义：从n个不一样元素中，任取m（ m n ）个元素的
全部摆列的个数叫做从 n 个元素中拿出 m 元素的摆列数，用符号 A n m表示
5．摆列数公式：A n m n(n 1)(n2)(n m 1) （ m, n N , m n ）
6 阶乘： n!表示正整数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘规定 0!1．
7．摆列数的另一个计算公式：A n m=n!
(n m)!
8.提出问题：
示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，
此中 1 名同学参加上午的活动， 1 名同学参加下午的活动，有多少种不一
样的选法？
示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少
种不一样的选法？
指引察看：示例 1 中不只需求选出 2 名同学，并且还要依照必定的次序“摆列”，而示例 2 只需求选出 2 名同学，是与次序没关的引出课
题：组合．
．．
二、解说新课：
1 组合的观点：一般地，从n个不一样元素中拿出m m n 个元素并成一组，叫做从 n 个不一样元素中拿出m 个元素的一个组合
说明：⑴ 不一样元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶同样组合：
元素同样
例 1．判断以下问题是组合仍是摆列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直抵航线上，有多少种不一样的飞机票？有多少种不一样的飞机票价？
（ 2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（ 3）从全班 23 人中选出 3 人分别担当班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不一样的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不一样的选法？
（ 4）10 个人相互通讯一次，共写了多少封信？（ 5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是同样的组合吗？
（ 2）什么样的两个组合就叫同样的组合 2．组合数的观点： 从 n 个不一样元素中拿出
m m n 个元素的全部组合
的个数，叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的 组合数 ．用符号 C m 表
．．．
n
示．
例 2．用计算器计算 C
107
．解：由计算器可得
例 3．计算：（1） C 4 ； （ ） C 7 ；
7 2 10 （1）解： C 74
7 6 5
4
＝35；
4!
（2）解法 1：
7
10
9 8 7 6 5
4
＝
．
C 10
7!
120
解法 2：
7
10! 10 9 8 ＝
．
C 10
7!3!
3!
120
第二课时
3．组合数公式的推导：
（1）从 4 个不一样元素 a,b, c,d 中拿出 3 个元素的组合数 C 43 是多少
呢？
启迪：因为摆列是先组合再摆列 ，而从 4 个不一样元素中拿出 3 个元
．．．．．．．．．
素的摆列数 A 43 能够求得，故我们能够观察一下 C 43 和 A 43
的关系，以下：
组 合
摆列
abc
abc ,
bac ,
cab ,
acb ,
bca ,
cba
abd abd ,
bad ,
dab ,
adb , bda , dba
acd
acd ,
cad , dac , adc , cda ,
dca
bcd
bcd ,
cbd ,
dbc ,
bdc ,
cdb ,
dcb
由此可知 , 每一个组合都对应着
6 个不一样的摆列，所以，求从
4 个
不一样元素中拿出
3 个元素的摆列数
A43，能够分以下两
考虑从4步：①
个不一样元素中拿出 3 个元素的组合，共有 C 43个；②对每一个组合的3
个不一样元素进行全摆列，各
有A33种方法．由分步计数原理得：A43＝
C 43A33，所以，C43A 43．
A33
（ 2）推行：一般地，求从 n 个不一样元素中拿出m个元素的摆列数A n m，能够分以下两步：
①先求从 n 个不一样元素中拿出m个元素的组合数C n m；
②求每一个组合中 m个元素全摆列数A m m，依据分步计数原理得： A n m
＝C n m A m m．
（3）组合数的公式：
C n m A n m n(n1)(n2)(n m 1)
A m m m!
或 C m n n!
m)!(n, m N ,且m n)
m!( n
规定 : C n01.
三、解说典范：
例 4．求证：C m n m 1
C n m 1．
n m
证明：∵ C m n n!
m!( n m)!
m 1 C n m 1 n m m 1n!
n m ( m 1)!( n m 1)!
＝m
1n!
(m1)! (n m)(n m 1)!
＝
n!
m!(n m)!
∴ C m n m1 C n m 1
n m
例 5．设x N , 求 C 2x x13 C x2 x13的值
，解得 2 x 4 ，
解：由题意可得： 2 x3x1
x1 2 x3
∵ x N ，∴ x 2 或 x 3 或 x 4 ，
当 x 2 时原式值为7；当 x 3 时原式值为7；当 x 4 时原式值为11．
∴所求值为 4 或 7 或 11．
第三课时
例 6．一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中从前没有一人参
加过比赛．依照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中能够形成多少种学员上场方案？
(2)假如在选出 11 名上场队员时，还要确立此中的守门员，那么教
练员有多少种方式做这件事情？
剖析：关于（ 1) ，依据题意， 17 名学员没有角色差别，地位完整同样，所以这是一个从 17 个不一样元素中选出 11 个元素的组合问题；关于（ 2 ) ，守门员的地点是特别的，其余上场学员的地位没有差别，所以这
是一个分步达成的组合问题．
解： (1 ）因为上场学员没有角色差别，所以能够形成的学员上场
方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .
(2 ）教练员能够分两步达成这件事情：
第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人构成上场小组，共有C1711种选法；
第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C111种选法．
所以教练员做这件事情的方法数有
C 1711 C 111=136136（种）.
例 7．（1）平面内有 10 个点，以此中每 2 个点为端点的线段共有多
少条？
(2 ）平面内有 10 个点，以此中每 2 个点为端点的有向线段共有
多少条？
解： (1 ）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是
从 10 个不一样的元素中拿出 2 个元素的组合数，即线段共有
109
C 102
45 （条）.
12
(2 ）因为有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平
面内 10 个点中每 2个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不一样元素中拿出 2 个元素的摆列数，即有向线段共有
A10210 9 90（条）.
例 8．在 100 件产品中，有 98 件合格品， 2 件次品．从这 100 件产
品中随意抽出 3 件 .
(1 ）有多少种不一样的抽法？
(2 ）抽出的 3件中恰巧有1件是次品的抽法有多少种？
(3 ）抽出的 3件中起码有1件是次品的抽法有多少种？
解：(1 ）所求的不一样抽法的种数，就是从 100 件产品中拿出 3 件的组合数，所以共有
3 C 10099 98
= 161700 （种） .
1 2 3
(2 ）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C21种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C982种，所以抽出的 3 件中恰巧有 1 件
次品的抽法有
C 21 C 982=9506(种).
(3）解法1从 100 件产品抽出的 3 件中起码有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种状况．在第（2）小题中已求得此中1
件是次品的抽法有 C 21 C 982种，所以依据分类加法计数原理，抽出的3件中起码有一件是次品的抽法有
C 21 C 982+C 22 C 981=9 604（种）.
解法 2 抽出的3件产品中起码有1件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即
C 1003 C 983=161 700-152 096 = 9 604（种）.
说明：“起码”“至多”的问题，往常用分类法或间接法求解。

变式：按以下条件，从12 人中选出5 人，有多少种不一样选法？
（1）甲、乙、丙三人一定入选；（2）甲、乙、丙三人不可以入选；
（3）甲一定入选，乙、丙不可以入选；（4）甲、乙、丙三人
只有一人入选；
（5）甲、乙、丙三人至多 2 人入选；（6）甲、乙、丙三人起码 1 人入选；
例 9．（1）6 本不一样的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不一样的分法？
解： C62 C42 C2290 ．
（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求起
码有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种选法？
解：问题能够分红 2 类：
第一类 2名男生和 2 名女生参加，有C52C4260中选法；
第二类 3名男生和 1 名女生参加，有C53C4140中选法
依照分类计数原理，共有100 种选法
错解： C 52C 14C 61 240 种选法 指引学生用直接法查验， 可知重复的很
多
例 10．4 名男生和 6 名女生构成起码有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问构成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情况： 3 男，2 男 1 女，1 男
2
女，分别有
C 43 ， C 42
C 61 ， C 41
C 62 ，
所以，一共有 C 43 +C 42 C 61 +C 41 C 62 ＝100 种方法． 解法二：（间接法） C 103 C 63 100
第四课时
组合数的性质 1： C n m C n n m ．
一般地，从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素后，剩下
n
m 个元素．因
为从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的每一个组合，与剩下的 nm 个
元素的每一个组合一一对应 ，所以从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的组
．．．．
合数，等于从这 n 个元素中拿出 n m 个元素的组合数，即：
C n m C n n m ．在这里，主要表现： “取法”与“剩法”是“一一对应”的
思想
证明：∵ C n n m
n!
n!
m)!
(n m)![ n (n m)]!
m! (n 又 C n m
n!
，∴ C n m C n n m
m! (n m)!
说明：①规定： C n 0
1 ；
②等式特色：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当 m
n
时，计算 C n m 可变成计算 C n n m ，能够使运
2
算简化 .
比如 C 20022001 ＝ C 20022002 2001 ＝ C 20021 =2002；
④ C n x C n y
x y 或 x y n ．
2．组合数的性质 2： C n m 1 ＝ C n m +C n m 1
．
一般地，从
a 1 , a 2 ,
, a n 1 这
n+1
个不一样元素中拿
出
m 个元素的组
合数是
C nm 1 ，这些组合能够分为两类：一类含有元素
a 1 ，一类不含有
a 1 ．含有
a 1 的组合是从
a 2 , a 3 ,
, a n 1这n 个元素中拿
出m 1 个元
素
与 a1构成的，共有 C n m 1个；不含有 a1的组合是从 a2 , a3 , , a n 1这n个元素中拿出 m 个元素构成的，共有C n m个．依据分类计数原理，能够获得组合数的另一个性质．在这里，主要表现从特别到一般的概括思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：C n m C n m 1n!
m)! ( m n!
(m1)]!
m! (n1)! [n
(n m1m) n!( n1)!
m! (n m1)!m! (n m1)!∴ C n m1＝ C n m+C n m 1．
n! (n m 1)n! m
m! (n m1)!
C n m1
说明：①公式特色：下标同样而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标
比原下标多 1 而上标与大的同样的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算
例 11．一个口袋内装有大小不一样的 7 个白球和 1 个黑球，
（1）从口袋内拿出 3 个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内拿出 3 个球，使此中含有 1 个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内拿出 3 个球，使此中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）C8356,或 C 83 C 72C73，；（2） C7221；（3） C7335 ．例 12．（ 1）计算：C73 C 74 C 85C96；
（2）求证：C m n2＝C m n + 2C m n 1 +C m n 2．
解：（1）原式C84C85C96C95C96C106C104210 ；
证明：（ 2）右侧(C m n C m n 1)(C m n 1C m n 2 )C m n1C m n 11C m n2左边
例 13．解方程：（1）C13x
1C132x3；（2）解方程：C x x22 C x x231A x3 3
．
10
解：（ 1 ）由原方程得x1 2 x 3 或 x12x313 ，∴ x 4 或x 5 ，
1x113
又由1 2 x313得 2x8 且x N，∴原方程的解为x 4 或x N
x5
, 直接把 x 4 和 x 5 代入检上述求解过程中的不等式组能够不解
验 , 这样运算量小得多 .
（ 2 ）原方程可化为C x x321
A x33，即 C x53
1
A x33，∴1010
( x3)!( x3)! ，5!( x 2)!10 x!
∴11，
120( x
2)!10 x( x 1)(x 2)!
∴ x2x120 ，解得x 4 或 x 3 ，
经查验： x 4 是原方程的解
第五课时
例 14．证明： C m n C n p C m p C m n p p。

证明：原式左端可当作一个班有 m 个同学，从中选出 n 个同学构成兴
趣小组，在选出的 n 个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的
n p 个同学参加物理兴趣小组的选法数。

原式右端可当作直接在m 个
同学中选出 p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的 m p 个同学中选出
n p 个同学参加物理兴趣小组的选法数。

明显，两种选法是一致的，
故左侧 =右侧，等式建立。

例 15．证明：C n0C m m C n1C m m 1 C n m C m0 C m m n（此中n
m）。

证明：设某班有 n 个男同学、 m 个女同学，从中选出 m 个同学构
成兴趣小组，可分为 m 1 类：男同学 0 个，1 个，，m个，则女同学
分别为 m 个，m 1 个，， 0 个，共有选法数为 C n0 C m m C 1n C m m 1
C n m C m0。

又由组合定义知选法数为C m m n，故等式建立。

例 16．证明：C n12C n23C n3nC n n n2n 1。

证明：左侧 = C n12C n23C n3nC n n= C11C n1 C 21C n2 C 31C n3
C 1n C n n，
此中 C i1C n i可表示先在 n 个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合
数。

设某班有 n 个同学，选出若干人（起码 1 人）构成兴趣小组，并指
定一人为组长。

把这类选法按取到的人数i 分类（ i1，2，，n），则选
法总数即为原式左侧。

现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定
剩下的 n 1 人能否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n 1种，
所以选法总数为 n2 n 1种。

明显，两种选法是一致的，故左侧=右侧，等式
建立。

例 17．证明：C n122 C n232 C n3n 2 C n n n( n 1)2n 2。

证明：因为 i 2C n i C i1C i1C n i可表示先在 n 个元素里选i个，再从 i 个
元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可当作在例 3 指定一
人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。

对原式右
端我们可分为组长和副组长是不是同一个人两种状况。

若组长和副组长
是同一个人，则有 n2n 1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有
n(n 1)2n 2种选法。

∴共有 n2 n 1+ n(n1)2n 2n(n1) 2n 2种选法。

明显，两种选法是一致的，故左侧=右侧，等式建立。

例 18．第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏天在韩国、日本举办、五大
洲共有 32 支球队有幸参加，他们先分红 8 个小组循环赛，决出 16 强
（每队均与本组其余队赛一场，各组一、二名晋级16 强），这支球队按
确立的程序进行裁减赛，最后决出冠亚军，别的还要决出第三、四名，
问此次世界杯总合将进行多少场比赛？
82842264
，这题假如作为习题课应怎样剖析
答案是： C 4
解：可分为以下几类比赛：
⑴小组循环赛：每组有 6 场， 8 个小组共有48 场；
⑵八分之一裁减赛： 8 个小组的第一、二名构成 16 强，依据抽签规则，每两个队比赛一场，能够决出 8 强，共有 8 场；
⑶四分之一裁减赛：依据抽签规则， 8 强中每两个队比赛一场，可
以决出 4 强，共有 4 场；
⑷半决赛：依据抽签规则， 4 强中每两个队比赛一场，能够决出 2 强，共有 2 场；
⑸决赛： 2 强比赛 1 场确立冠亚军， 4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名共有 2 场 .
综上，共有 8C428 4 2 2 64场
四、讲堂练习：
1．判断以下问题哪个是摆列问题，哪个是组合问题：
（1）从 4 个景色点中选出 2 个安排旅行，有多少种不一样的方法？
（2）从 4 个景色点中选出 2 个，并确立这 2 个景色点的旅行次序，有多
少种不一样的方法？
2．7 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场
数为（）
A．42B．21C．7D．6
3．假如把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，
异面直线有（）
15对
B ．
25
对 C ．
30
对
D
．
20
A ．
对
4．设全集 U a,b,c, d，会合 A、B是U 的子集，若 A有3个元素， B
有 2 个元素，且A B a ，求会合 A 、B ，则此题的解的个数为（）
A．42 B ．21 C．7 D．3 5．从 6 位候选人中选出 2 人分别
担当班长和团支部书记，有种不一样的选法
6．从 6 位同学中选出 2 人去参加会谈会，有种不一样的选法
7．圆上有 10 个点：
（ 1）过每 2 个点画一条弦，一共可画条弦；
（ 2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8．（1）凸五边形有条对角线；（2）凸n五边形有条对角线9．计算：（1）C153；（ 2）C63C84．
10．A, B, C , D , E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）
若各队的得分互不同样，则冠、亚军的可能状况共有多少种？
11．空间有10 个点，此中任何4 点不共面，（1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4 个点为极点作一个四周体，一共可作多少个四周体？
12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共能够构成多少种
币值？
13．写出从a,b, c, d, e这 5 个元素中每次拿出 4 个的全部不一样的组合
答案： 1.（1）组合 ,（2）摆列 2. B 3. A 6. 15
7.（1）45（2） 1208. （1）5（2）n(n 3) / 2
9.⑴455；⑵ 2
10. ⑴10；⑵ 20 7
11.⑴ C103120 ；⑵ C104210
12.C41C42C43C4424 115
13.a, b, c,d ；a, b, c, e ；a,b, d, e ；a, c, d, e ；b, c, d, e
教课反省：
1 注意差别“恰巧”与“起码”
从 6 双不一样颜色的手套中任取 4 只，此中恰巧有一双同色的手套
的不一样取法共有多少种
2 特别元素（或地点）优先安排
将5 列车停在5 条不一样的轨道上，此中a 列车不断在第一轨道上，b 列车不断在第二轨道上，那么不一样的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
七人排成一排，甲、乙两人一定相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则
不一样的排法有多少种
4、混淆问题，先“组”后“排”
对某种产品的 6 件不一样的正品和 4 件不一样的次品 , 一一进行测试，
5,
这样的测试方法有种可能？
5、分清摆列、组合、平分的算法差别
(1)今有 10 件不一样奖品 , 从中选 6 件分给甲一件 , 乙二件和丙三件 , 有多少种分法 ?
(2)今有 10 件不一样奖品 , 从中选 6 件分给三人 , 此中 1 人一件 1 人二件 1 人三件 , 有多少种分法 ?
(3)今有 10 件不一样奖品 , 从中选 6 件分红三份 , 每份 2 件, 有多少种分法 ?
6、分类组合 , 隔板办理
从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学比赛 , 每校起码有 1 人, 这样有几种选法 ?。