高一数学下学期开学考试试题PDF

2021-2021届 高一下学期入学考试
科目：数 学(答案解析)
一、单项选择题〔每一小题5分，一共计60分〕
答案解析：
1．A 111131113133322
22
22
22
4
(())(())()()a a a a a a a a a =⋅⋅=⋅=⋅==.
2．C 【解析】当0x >时，12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，是单调减函数，又()01f =. 3．A 【解析】由α为第二象限角，那么22,2
k k k Z π
παππ+
<<+∈
那么,4
2
2
k k k Z π
α
π
ππ+
<
<+
∈
当2,k n n =∈Z 时，22,4
2
2
k k k Z π
α
π
ππ+
<
<+
∈，此时
2
α
在第一象限. 当21,k n n Z =+∈时,5722,422k k k Z παπ
ππ+
<<+∈，此时2
α在第三象限. 4．D 【解析】在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin a b
A B
=可得sin sin sin 13b B A a π==
=，又因为0B π<<，所以B =
2
π
.
5．C 【解析】根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=；
∴解得，或者1-〔舍去〕．
6.A
【解析】由sin 5θ=
，cos 5
θ=，
所以4
sin 22sin cos 25
θθθ=== ，
2
23
cos 22cos 12155
θθ⎛⎫
=-=⨯-= ⎪ ⎪
⎝⎭
，那么4
sin 245tan 23cos 235
θθθ=
== . 7．D 【解析】正切函数在每个区间(,
)()2
2
k k k Z π
π
ππ-
++∈ 上是增函数;
正切函数不会在某一区间内是减函数; 函数tan 2
3y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的周期22
ππ= ;
tan1384237tan143tan tan ︒=-<-=︒.
8．B 【解析】找中间值：0.5
30.53
1,00.51,log 30a b c =><=<=<，可知c b a <<.
9．D 【解析】由图象可知，1A =，函数()f x 周期为74=123πππ⎛⎫
-⨯
⎪⎝
⎭，所以2ω=； 将7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭代入点()sin(2)f x x ϕ=+，得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
所以
73262k k Z ππ
ϕπ+=+∈，，又0ϕπ<< 所以3
π
ϕ=
，所以()sin 2=sin 236f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 所以要得到()sin 2g x x =只需将()f x 向右平移
6
π
个长度单位.
10．B 【解析】解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小，
因为()1
21(3f x f -<），所以1213
x -<
，解得：1233x <<.
11．B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a =
=-，33
()24
DF DE b a ==-，
1353
()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，
∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.
12．C 【解析】由题意()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x
F x f x g x x x x ≤⎧=⊗=⎨
>⎩
， 由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π，
故只须在一个周期[0,2]π上考虑函数的值域即可，
分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如下图，
观察图象可得：()F x 的值域为2[1,
2
-. 二、填空题〔每一小题5分，一共计20分〕
13．2-【解析】∵()f x 是幂函数，∴251m m --=，∴260m m --=，
解得2m =-或者3，当2m =-时，11+=-m ，1
()f x x -=是奇函数，符合题意；
当3m =时，14m +=，4
()f x x =是偶函数，不符合题意，∴2m =-.
14．4【解析】由余弦定理得：22222
12cos 23223164c a b ab C ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
，
那么4c =.
15．3【解析】分别作出x y 2=与2x y =的图像，在y 轴左边一个交点，y 轴右边两个交点.
113
cos(),cos()255
sin sin 1
cos cos ,sin sin ,tan tan .
55cos 22
1cos αβαβαβαβαβαβαβ+=-=====16.【解析】将分别展开，再将两式进行加和减，可得到则三、解答题(请写出必要的解题过程，本大题一一共计6个小题，总分70分) 17．〔本小题一共10分〕〔1〕(){}
26U A C B x x ⋂=≤<;〔2〕3m ≥或者6m ≤-. 【解析】〔1〕当1m =时，{}
06A x x =<<，{}|12=-<<B x x
{1U C B x x ∴=≤-或者}2x ≥(){}26U A C B x x ∴⋂=≤< ------5分
〔2〕{}
15A x m x m =-<<+，{}|12=-<<B x x
A B =∅12m ∴-≥或者51m +≤-3m ∴≥或者6m ≤-．
------10分
18．〔本小题一共12分〕〔1〕2,4c
或者()2,4c =--；〔2〕π.
【解析】〔1〕设向量(),c x y =，因为()1,2a =，25c =，c a ∥，
所以225
2x y x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩
24x y =⎧⎨=⎩，或者24x y =-⎧⎨=-⎩
所以2,4c
或者()2,4c =--； ------6分
〔2〕因为2a b +与2a b -垂直，所以()()
220a b a b +⋅-=，
所以22
2420a a b a b b -⋅+⋅-=,而52
b =
，212a =+= 所以5
253204a b ⨯+⋅-⨯
=，得52a b ⋅=-，a 与b 的夹角为θ，
所以5
2cos 15a b a b
θ-⋅=
=
=-⋅⨯
，因为[]0,θπ∈，所以θπ=. ------12分
19．〔本小题一共12分〕〔1〕()222
,00,02
,0
x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪
==⎨⎪⎪+>⎩
；〔2〕证明见解析.
【解析】〔1〕令0x >,那么0x -<,所以()()2
222
f x x x x x
-=--+=---, 又由奇函数的性质可知()()f x f x -=-,
∴0x >时,()2
2f x x x =+,故()222
,00,02
,0
x x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩
. ------6
分
〔2〕()f x 在()0,1x ∈上单调递减.
证明:任取1
20
1x x ,那么()()2
2
121212
22
f x f x x x x x -=-+
- ()1212122x x x x x x ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
,
∵1
20
1x x ,故120x x -<,1202x x <+<,
12
2
2x x >, 那么121220x x x x +-
<,故()()()1212121220f x f x x x x x x x ⎛⎫-=-+-> ⎪⎝⎭
, 即()()12f x f x >,∴()f x 在()0,1x ∈上单调递减. ------12分
20．〔本小题一共12分〕〔1〕证明见解析 〔2〕证明见解析
【解析】解：〔1〕将a 角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与x 轴的正半轴重合，设
a 角终边一点P 〔非原点〕，其坐标为(),P x y
.r OP ==∵()2
a k k Z π
π≠+∈，∴0x ≠，2222
2
2
222
sin cos 1y x x y a a r r r ++=+==. ------6分 〔2〕由于cos sin 2a a π⎛⎫-=
⎪⎝⎭，将a 换成2a π-后，就有cos sin 22
2a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
即sin cos 2a a π⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
，sin cos 12tan 2sin tan cos 2a a a a a a πππ⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
. ------12分 21．〔本小题一共12分〕〔Ⅰ〕20.51212,016
(){21210,16
x x x f x x x -+-≤≤=-> ;〔Ⅱ〕12 .
【解析】〔1〕由题意得()1210P x x =+
∴()()()20.51212,016{21210,16
x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . ------6分
〔2〕当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元
当016x ≤≤时，函数()()2
0.51260f x x =--+
当12x =时，()f x 有最大值60万元
所以，当工厂消费12百台时，可使利润最大为60万元 . ------12分
22．〔本小题一共12分〕〔1〕对称轴23
k x ππ=
+，k Z ∈，单调减区间5,36k k ππππ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭k Z ∈
〔2〕
334
5
- 【解析】 〔1〕由题意2
()23cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫
=-+=-=-
⎪⎝
⎭
， 令()26
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得()3
2
k x k Z π
π
=
+
∈， ∴函数()f x 的对称轴为()3
2
k x k Z π
π
=
+
∈. 令()322,2622x k k k Z π
ππππ⎛⎫-
∈++∈ ⎪⎝⎭，解得()5,36ππk πk πZ x k ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭+∈+， ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36ππk πk Z k π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
+∈+. ------6分
〔2〕由6()5f α=
可得3sin 265πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
又
73
12π
πα<<
，∴226ππαπ<-<，∴24cos 21sin 2665ππαα⎛⎫⎛
⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴2sin 22sin 21266f πππααα⎛⎫⎛
⎫+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin 2cos 2sin 6634122cos 2266552ππαπαπ⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⨯⨯⨯=
⎭
. ------12分。