湖南省邵阳市普通高中2019年数学学业水平模拟考试试卷

湖南省邵阳市普通高中2019年数学学业水平模拟考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

(共10题；共40分) 1．（4分）如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则该几何体是（）
A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球
2．（4分）已知集合A={-1，0，2}，B={x，3}，若A∩B={-1}，则x的值为（）A．3B．2C．0D．-1
3．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的y值为（）
A．2B．3C．4D．5
4．（4分）函数y=sinx，x∈R的最小正周期是（）
A．1B．2C．πD．2π
5．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）
A．y=( )x B．y=log2x C．y=x2D．y=cosx 6．（4分）在长度为6的线段AB上任取一点C，则AC之间的距离小于2的概率为（）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，在△ABC中，=（）
A．B．C．0D．
8．（4分）已知直线l过点（2，0），且与直线y=-2x+1平行，则直线/的方程为（）A．y=2x-4B．y=2x+4C．y=-2x+4D．y=-2x-4
9．（4分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠A=120°，则BC长为（）
A．B．C．D．
10．（4分）实数x，y满足不等式组则z=x-y的最大值为（）
A．2B．1C．-2D．-1
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

(共5题；共20分)
11．（4分）已知sinθ=cosθ，则tanθ的值为。

12．（4分）不等式x（x-1）<0的解集为。

13．（4分）已知x0是函数f（x）=2x-4的零点，则实数x0的值为。

14．（4分）为调查学校新生的运动时间，该收有学生1800人，教师200人，现用分层指样的方法抽取20人作样本，则从教师中应抽取人.
15．（4分）已知直线l：3x-4y+6=0，圆C：（x-1）2+（y-1）2=P（G>0），若直线l与圆C相切，则圆C的半径r=.
三、解答题：本大题共5小题，共40分。

(共5题；共40分)
16．（6分）已知等差数列{a n}的首项为1，且a2+a3=5.
（1）（3分）求公差d及a n；
（2）（3分）若b n=2an，求数列{b n}的前项和S n。

17．（8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PAL底面ABCD，且PA=AB.
（1）（4分）求证：BD⊥平面PAC；
（2）（4分）求异面直线BC与PD所成的角.
18．（8分）已知向量a=（1，sinx），b=（1，2cosx），函数f（x）=a-b
（1）（4分）求f( )的值：
（2）（4分）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合。

19．（8分）为了解某校高二学生的学业水平，现从某次数学模拟测试中随机抽取10名学生的成绩进行分析，得到如图的频率分布直方图。

（1）（4分）若成绩不低于80分为优秀，根据频率分布直方图中的数据，估算该校这次数学模拟测试的优秀率；
（2）（4分）从样本低于80分的学生中任取2人，求选出的2人成绩均在70分以下的概率。

20．（10分）已知函数f（x）=log a x（a>0，且a≠1），且f（2）=1
（1）（3分）求a的值，并写出函数f（x）的定义域；
（2）（3.5分）设g（x）=f（2-x）-f（2+x），判断g（x）的奇偶性，并说明理由：
（3）（3.5分）若不等式f(t·9x）≥f(3x-t)对任意x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围。

答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意观察三视图可知该几何体是球。

故答案为：D
【分析】通过观察三视图即可得出该几何体是球。

2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵A={−1，0，2}，B={x，3}，且A∩B={-1}，∴x=-1.
故答案为：D
【分析】根据题意利用交集的定义即可得出结论。

3．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意当x=2时代入程序框图，计算出y=4.
故答案为：C
【分析】根据已知的条件把数值代入到程序框图，计算出结果即可。

4．【答案】D
【解析】【解答】解：利用正弦函数的周期公式,当时，.
故答案为：D
【分析】结合正弦函数的周期公式代入数值即可。

5．【答案】A
【解析】【解答】解;A为指数函数且底数小于1，所以为减函数。

B为对数函数且底数大于1，所以为增函数；C为二次函数且对称轴为y轴，开口向上所以在指定区间内为增函数；D为余弦函数在R 上有增有减；
故答案为：A
【分析】根据各个函数的增减性逐一判断即可。

6．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意利用几何概型的概率，线段AC的长度不超过2的概率为
.
故答案为：B
【分析】结合题意利用几何概型的的概率，代入数值即可。

7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示
由向量的减法运算法则，差向量是由第二个向量的终点指向第一个向量的终点.
故答案为：A
【分析】根据题意由向量的减法运算法则计算出结果即可。

8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线l与直线y=-2x+1平行∴设直线方程为y=-2x+b ，∵直线l经过点（2,0）∴-4+b=0 ∴b=4,由直线的斜截式方程可得y=-2x+4.
故答案为：C
【分析】利用两条直线平行的直线斜截式的关系，设出直线方程再由点在直线上把点的坐标代入求出b的值，从而得出结果。

9．【答案】C
【解析】【解答】解：利用余弦定理可得，
把数值代入，
所以.
故答案为：C
【分析】根据题意利用余弦定理代入数值求出结果即可。

10．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意首先做出约束条件的可行域如图所示
将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x-y，经过（0,2）时z有最大值为-2.
故答案为：C
【分析】根据已知条件做出不等式所对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出z 的最大值。

11．【答案】
【解析】【解答】解：∵,∴.
故答案为：1
【分析】利用同角三角函数的基本关系式，结合已知条件代入数值求出。

12．【答案】或（0，1）或
【解析】【解答】解：∵已知方程的两个根为x=0或1 ∴不等式x(x-1)＜0的解集是.故答案为：（0,1）
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求出结果。

13．【答案】2
【解析】【解答】解;根据零点的定义可知即.
故答案为：2
【分析】利用零点的定义可知函数在处的函数值为零，从而计算出结果即可。

14．【答案】2
【解析】【解答】解：根据分层抽样的基本性质，设抽取的20人中教师的人数为x，则有，x=2.
故答案为：2
【分析】利用已知的分层抽样的定义，建立教师在总人数中的比例关系，从而求出20人中的教师人数。

15．【答案】1
【解析】【解答】解：利用直线与元的位置关系可得d=r，圆心为（1,1）则有
,所以圆的半径为1.
故答案为：1
【分析】根据题意利用已知的正弦与圆相切的位置关系d=r,代入数值求出结果即可。

16．【答案】（1）解：= ，则
（2）解：，则
【解析】【分析】(1)根据题意结合后等差数列的通项公式首先求出首项和等差，从而求出通项公式。

(2)根据题意求出数列的通项公式，结合通项公式的性质列出前5项，加起来即可求出结果。

17．【答案】（1）证明：∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD
∴BD⊥PA
∵AC 平面PAC，PA 平面PAC，AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC
（2）解：∵AD∥BC
∴∠PDA为异面直线BC与PD所成的角
∵PA=AB=AD
∴在Rt△PAD中，有∠PDA=45°
故异面直线BC与PD所成的角为45°
【解析】【分析】（1）根据题意利用线面垂直的性质，由题意易得PA⊥BD且BD⊥AC，又线面垂直的判定定理可得，由PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，即可得BD⊥平面PAC
（2）由已知条件结合四边形的性质可得，BC∥AD，所以∠PDA为异面直线BC与PD所成的角．解三角形△PDA得∠PDA=45所以异面直线BC与AD所成的角为45°
18．【答案】（1）解：f(x)= 、=1+sinx×2cosx=1+2sinx·cosx=1+ sin2x
则f( )=1+ sin =2
（2）解：知f(x)=1+sin2x，1≤sinx≤1则f(x)
max=2
仅当在sin2x=1取得最大值，2x=
x= ，k∈Z
【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算公式，即可求出函数f(x)的解析式，再由二倍角的正弦公式整理从而得出函数f(x)的解析式，代入数值求出即可。

（2）结合正弦函数的图象性质，利用整体思想即可求出当函数f(x)取最大值时x的集合。

19．【答案】（1）解：
（2）解：样本中60～70的人数人
70～80的人数人
假设60～70中的2人分别为a,b，
70～80的3人分别为1，2，3，
从5人中任取2人的方法共有ab，a1，a2，a3
b1，b2，b3，12，13，23，共10种
选出的2人均在70分以下的1种，则P=
【解析】【分析】（1）根据频率直方图观察可得，该学校这次数学模拟测试的优秀率。

（2）首先利用频率直方图的数据求出满足条件的人数，列举出满足条件的情况个数，结合概率的定义代入数值求出结果即可。

20．【答案】（1）解：由，得，所以.
函数的定义域为
（2）解：，定义域为.
因为，
所以是奇函数.
（3）解：因为函数在上是增函数，所以. 不等式
对
任意恒成立，等价于不等式组
对任意恒成立.
由（1）得；
由（2）得，依题意得；
由（3）得.
令，则. 易知在区间上是增函数，所以在区间
上的最小值为，故的最大值为，依题意，得.
综上所述，的取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据题意首先求出a的值进而得到函数f(x)的解析式，再由对数函数的性质求出函数的定义域。

（2）结合对数的运算性质整理函数g(x)的解析式，再由奇、偶函数的定义判断即可。

（3）首先利用函数的增减性结合解不等式的方法解出t的取值范围，再结合已知不等式解出t的代数式，把两者结合合起来由函数的增减性结合基本不等式的性质，求出最值进而把两种情况结合合起来即可求出t的取值范围。