福建省厦门市2020年(春秋版)高二下学期期中数学试卷(理科)A卷

福建省厦门市 2020 年（春秋版）高二下学期期中数学试卷（理科）A 卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2018 高二上·潮州期末) 如图:在平行六面体
点.若
，
，
，则向量
（）
中， 为
的交
A. B. C. D. 2. （2 分） 已知函数 f（x）=2x2 ， 则 f′（1）等于（ ） A.4 B.2 C . 4+2△x D . 4+2（△x）2 3. （2 分） (2015 高三上·巴彦期中) 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题 正确的是（ ）
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A . 若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线 B . 若 n，m 不平行，则 n 与 m 不可能垂直于同一个平面 C . 若 α，β 垂直于同一个平面，则 α 与 β 平行 D . 若 n，m 平行于同一个平面，则 n 与 m 平行
4. （2 分） 设
是函数
的导函数，且
则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D. 5. （2 分） (2019 高一下·扬州期末) 如图，正方体 的大小为（ ）
，
（ 为自然对数的底数），
中，异面直线
和
所成角
A. B.
C.
D. 或
6. （2 分） (2018 高二下·张家口期末) 定义在 上的奇函数
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满足
，并且当


时，
，则
（）
A. B.
C. D. 7. （2 分） (2018 高二上·泸县期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A. B. C. D.5
8. （2 分） 设函数 y=fn（x）在（0，+∞）内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK（x）=
，
取函数 f（x）=
， 恒有 fK（x）=f（x），则（ ）
A . K 的最大值为
B . K 的最小值为 C . K 的最大值为 2 D . K 的最小值为 2
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9. （2 分） 已知一次函数 f（x）=ax﹣1 满足 a∈[﹣1，2]且 a≠0，那么对于 a，使得 f（x）≤0 在 x∈[0， 1]上成立的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） (2017 高三下·深圳模拟) 已知棱长为 2 的正方体
个面相切，则平面
截此球所得的截面的面积为（ ）
，球 与该正方体的各
A.
B.
C.
D.
11. （2 分） 若函数 A.
在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
B. C. D.
12. （2 分） (2019 高三上·郑州期中) 已知双曲线
的左右焦点为
双曲线右支上的一点，
的内切圆圆心为 ，且圆 与 轴相切于 点，过
垂足为 ，若双曲线的离心率为 ，则（ ）
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为它的中心， 为 作直线 的垂线，


A.
B.
C.
D.
与
关系不确定
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2017 高二下·仙桃期末) 如图，点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（2，4），函数 f（x）=x2 ， 若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ________
14. （1 分） 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则 p 的值为________
15. （1 分） (2016 高二上·绍兴期中) 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的余弦值是 ________
16. （1 分） (2016 高三上·晋江期中) 已知函数 f（x）=sinx﹣x，若 f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m） ＞0 对任意的 θ∈（0， ）恒成立，则实数 m 的取值范围为________．
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
17. （10 分） (2019 高一下·吉林期末) 如图，在直三棱柱 是棱 的中点．
中，
，
，
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（1） 求证：
；
（2） 求证：
．
18. （5 分） (2017 高三·三元月考) 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了 鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x（吨），用水量 不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得 了 100 位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成 9 组，制成了 如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中 a 的值； （Ⅱ）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨），估计 x 的值，并说明理由； （Ⅲ）已知平价收费标准为 4 元/吨，议价收费标准为 8 元/吨．当 x=3 时，估计该市居民的月平均水费．（同 一组中的数据用该组区间的中点值代替） 19. （15 分） (2016 高二下·武汉期中) 函数 f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1） 当 x＞0 时，求证：
；
（2） 在区间（1，e）上 f（x）＞x 恒成立，求实数 a 的范围．
（3） 当
时，求证：
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（n∈N*）．


20. （ 5 分） 如图， 在四棱 锥
中，
，
，
，
.设
分别为
的中点.
（I）求证：平面 （II）求二面角
平面
；
的平面角的余弦值.
21. （10 分） (2020 高二下·六安月考) 已知 上一点，O 为坐标原点．
是椭圆
的两个焦点，P 为 C
（1） 若
为等边三角形，求 C 的离心率；
（2） 如果存在点 P ， 使得
，且
的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.
22. （15 分） (2018·河南模拟) 已知函数 （1） 求 的值；
（ ） ，且
是它的极值点．
（2） 求
在
上的最大值；
（3） 设
，证明：对任意 ，
都有
．
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一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
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16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
17-1、 17-2、
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18-1、 19-1、
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19-2、19-3、
20-1、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
22-3、。