2020年东北三省三校高考数学四模试卷(理科)

2020年东北三省三校高考数学四模试卷（理科）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x|log2x≥1}，则A∪B=()
A. (0,+∞)
B. [2,+∞)
C. (0,4)
D. (0,2]
(i为虚数单位，a∈R)，z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围2.已知复数z=1−i+2a
1−i
是()
A. (−2,0)
B. (−1,1)
C. (1,+∞)
D. (−1,2)
3.近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，
坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是()
A. 乡村游人数逐年上升
B. 相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率
C. 近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数
D. 从2016年开始，乡村游人数明显增多
4.在等比数列{a n}中，a1=2，a5=8a2，则数列{a n}前7项的和S7=()
A. 253
B. 254
C. 255
D. 256
5.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为()
A. 123
B. 125
C. 127
D. 129
6.已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，
①若n⊥β，α//β，m⊥α，则m//n；
②若m//α，α⊥β，n⊥β，则m//n；
③若n⊥β，α//β，m//α，则m⊥n；
④若m⊥α，α⊥β，n//β，则m⊥n．
在上述四个命题中，真命题的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.已知函数f(x)=2x cosx
4x+a
是偶函数，则函数f(x)的最大值为()
A. 1
B. 2
C. 1
2
D. 3
8.已知α为锐角，若cos(α+π
4)=3
5
，则tan2α=()
A. 7
10B. 3
10
C. 1
3
D. 7
24
9.已知双曲线C.x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2−a2−b2=0与双
曲线的一个交点为P，若|PF1|=√3|PF2|，则双曲线的离心率为() A. √2 B. √3+1
2
C. 2
D. √3+1
10.把函数f(z)=cos(ωx+π
3)(ω>0)的图象向左平移π
6
个单位后得到函数g(x)的图象，函数g(x)图象的一
条对称轴为直线x=π
6，若函数f(x)在(π
3
,2π
3
)上单调递增，则ω的取值范围是()
A. 2或5
B. 2或3
C. 2
D. 5
11. 已知三棱锥P −ABC(记△ABC 所在的平面为底面)内接于球O ，PA ：PB ：PC =1：2：3，当三棱锥P −ABC
侧面积最大时，球O 的体积为
56√14
3
π.则此时△ABC 的面积为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15 12. 若不等式mxe
mx 2
≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )
A. [1
e 2,+∞)
B. [1
2e ,+∞)
C. (1
e ,+∞)
D. [√e ,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知x ，y 满足{x −y ≥0
x +y −2≥0x ≤2
，则z =2x +y 的最小值为______．
14. 已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=√3，若a ⃗ ⊥(3a ⃗ −4b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小为______．
15. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15−2S 13______0.(填“>”或“=”或
“<”)
16. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直
线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ|的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b =(acosC +ccosA)tanA ．
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．
18. 如图，在三棱锥A −BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD
的中点，DC =AC =BC =√2，AB =2，DO ⊥平面ABC ． (1)求证：平面OEF//平面BCD ； (2)求二面角D −OE −F 的余弦值．
19. “扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如
下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回)，若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．
(1)求一位献爱心参与者不能获奖的概率；
(2)若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2
a +
y 2b =1(a >b >0)的右焦点为F ，
上顶点为B ，∠OBF =30°，点A(−√2,√6
2
)在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段
PQ 的中点，若7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由．
21. 已知函数f(x)=2xe x −ax −alnx(a ∈R)．
(1)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线l 过点(0,−2e −1)，求实数a 的值； (2)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ,
y =sinβ
，(β为参数)，以坐标原点为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4
)=3√2
2
．
(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
(2)若点P 在曲线C 上，且点P 到直线l 的距离最小，求点P 的坐标．
23.已知函数f(x)=|x−2|−|x|．
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若x∈[−2,2]时，f(x)≥mx恒成立，求实数m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵A={x|0<x<4}，B={x|x≥2}，
∴A∪B=(0,+∞)．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：因为z=1−i+2a
1−i =1−i+2a(1+i)
(1−i)(1+i)
=1−i+a(1+i)=1+a+(a−1)i；
由题意可得：1+a>0且a−1<0；
即−1<a<1；
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C
【解析】解：从柱状图可看出，乡村游人数逐年上升，故A正确；
2015年乡村游增长人数为250−180=70万人，2014年乡村游增长人数为180−150=30万人，由70
180>30
150
，
故B正确；
近8年乡村游人数平均数为110+150+180+250+330+510+720+950
8
=400>330，即近8年乡村游人数的平均数大于2016年乡村游人数，故C错误；
从2016年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D正确．
故选：C．
根据所给柱状图，逐一对照分析即可
本题考查学生合情推理的能力，考查统计图的使用，属于中档题
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，
又由a5=8a2，变形可得a5a
2=8，即a5
a2
=q3=a5
a2
=8，变形可得q=2；
则数列{a n}前7项的和S7=a1(1−q7)
1−q
=254；
故选：B．
根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由a5=8a2，变形分析可得q的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，注意求出公比q的值，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：模拟程序的运行，可得 x =2
执行循环体，x =3
不满足判断框内的条件x >100，执行循环体，x =7 不满足判断框内的条件x >100，执行循环体，x =127
此时，满足判断框内的条件x >100，退出循环，输出x 的值为127． 故选：C ．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 6.【答案】B
【解析】解：①若n ⊥β，α//β，则n ⊥α， 而m ⊥α，则m//n ； 故①正确；
②若m//α，α⊥β，n ⊥β，则m//n 或m ⊥n ； 故②错误；
③若n ⊥β，α//β，m//α，则m ⊥n ； 故③正确；
④若m ⊥α，α⊥β，n//β，则m//n ， 故④错误； 故选：B ．
利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．
本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直与线面平行的判定与性质及面面平行与垂直判定与性质，属于中档题． 7.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(x)=
2x cosx 4x +a
是偶函数，则有
2−x cos(−x)4−x +a
=
2x cosx 4x +a
，
变形可得：a(4x −1)=4x −1，分析可得a =1； 则f(x)=
2x cosx 4x +a
=cosx
2x +2−x ，
又由当x =0时，cos x 取得最大值为1，同时2x +2−x 取得最小值2， 则此时f(x)取得最大值1
2； 故选：C ．
根据题意，由偶函数的定义可得
2−x cos(−x)4−x +a
=
2x cosx 4x +a
，变形可得a 的值，即可得f(x)的解析式，据此分析可
得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，关键是求出a 的值，属于基础题． 8.【答案】D
【解析】解：∵a为锐角，且cos(α+π
4)=3
5
，α+π
4
∈(π
4
,3π
4
)，
∴sin(α+π
4)=4
5
，
∴sinα=sin[(α+π
4)−π
4
]=sin(α+π
4
)cosπ
4
−cos(α+π
4
)sinπ
4
=4
5
×√2
2
−3
5
×√2
2
=√2
10
，cosα=2α=
7√2 10
∴tanα=sinα
cosα=1
7
，
∴tan2α=2tanα
1−tan2α=2×
1
7
1−(1
7
)2
=7
24
．
故选：D．
由已知利用同角三角函数关系式可求sin(α+π
4)的值，从而利用sinα=sin[(α+π
4
)−π
4
]，可求sinα，cosα，
即可得解tanα的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．
本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系的运用，考查了两角差的正弦函数公式的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设|PF2|=x，则|PF1|=√3x，
∵圆O：x2+y2−a2−b2=0，即x2+y2=a2+b2=c2，是以O为圆心，c为半径的圆，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即3x2+x2=4c2，
∴c=x，
由双曲线的定义知，|PF1|−|PF2|=2a=(√3−1)x，
∴a=√3−1
2
x，
∴离心率e=c
a
=
√3−1
2
x
=√3+1．
故选：D．
设|PF2|=x，则|PF1|=√3x，由于圆O：x2+y2−a2−b2=0可化简为x2+y2=c2，是以O为圆心，c 为半径的圆，所以PF1⊥PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即3x2+x2=4c2，解得c=x；由
双曲线的定义知，|PF1|−|PF2|=2a=(√3−1)x，解得a=√3−1
2x，最后由离心率e=c
a
代入化简即可得
解．
本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】C
【解析】解：把函数f(z)=cos(ωx+π
3)(ω>0)的图象向左平移π
6
个单位后，
得到函数g(x)=cos(ωx+ωπ
6+π
3
)的图象，
∵函数g(x)图象的一条对称轴为直线x=π
6
，
∴ω⋅π
6+ω⋅π
6
+π
3
=kπ，即ω=3k−1，k∈Z①．
若函数f(x)在(π
3,2π
3
)上单调递增，则1
2
⋅2π
ω
≥2π
3
−π
3
，∴ω≤3②．
根据①②，综合所给的选项，可得ω的取值范围是ω=2，
故选：C．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C
【解析】解：设PA=x，PB=2x，PC=3x，
当三棱锥P−ABC三个侧面的面积之和最大时，PA，PB，PC两两垂直，
有4
3πR3=56√14
3
，得R=√14．
又由PA2+PB2+PC2=4R2，有14x2=4×(√14)2，得x=2．此时AB=2√5，AC=2√10，BC=2√13．
由cos∠BAC=
2×2√5×2√10=√2
10
，sin∠BAC=7√2
10
．
∴△ABC的面积为1
2×2√5×2√10×7√2
10
=14．
故选：C．
设PA=x，PB=2x，PC=3x，可知当三棱锥P−ABC三个侧面的面积之和最大时，PA，PB，PC两两垂直，由球的体积求出外接球的半径，再由长方体对角线长与棱长的关系求得x，则三条侧棱长可求，进一步求得△ABC的面积．
本题考查多面体外接球的体积，考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】B
【解析】解：当x=e时，me⋅e me2≥1，可得m>0，
①当0<x≤1时，lnx<0，mxe mx2>0，不等式显然成立，
②当x≥1时，不等式mxe mx2≥lnx，可化为mx2e mx2≥xlnx，
两边取对数有ln(mx2)+mx2≥lnx+ln(lnx)，
令g(x)=x+lnx，可得g(mx2)≥g(lnx)，
又由函数g(x)单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx
x2
，
令ℎ(x)=lnx
x2，有ℎ′(x)=x−2xlnx
x4
=1−2lnx
x3
(x≥1)，
由ℎ′(x)>0，有1<x<√e，可得函数ℎ(x)的递增区间为(1,√e)，减区间为(√e,+∞)，
有ℎ(x)max=ℎ(√e)=√e
(√e)2=1
2e
，
故实数m的取值范围为[1
2e
,+∞)．
故选：B．
当x=e时，me⋅e me2≥1，可得m>0，①当0<x≤1时，不等式显然成立，②当x≥1时，问题可转化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln(mx2)+mx2≥lnx+ln(lnx)，令g(x)=x+lnx，可得g(mx2)≥
g(lnx)，由函数g(x)单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx
x2，令ℎ(x)=lnx
x2
，只需要m大于等于ℎ(x)的最大
值即可．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．13.【答案】3
【解析】解：作出不等式组{x−y≥0
x+y−2≥0
x≤2
表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A(1,1)，B(2,2)，C(2,0)
设z=F(x,y)=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z
最小值
=F(1,1)=3
故答案为：3
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，z=2x+y取得最小值为3．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14.【答案】π
6
【解析】解：∵|a⃗|=2,|b⃗ |=√3,a⃗⊥(3a⃗−4b⃗ )，
∴a⃗⋅(3a⃗−4b⃗ )=3a⃗2−4a⃗⋅b⃗ =12−4a⃗⋅b⃗ =0，
∴a⃗⋅b⃗ =3，
∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ ||b⃗|=
2√3
=√3
2
，且0≤<a⃗,b⃗ >≤π，
∴a⃗与b⃗ 的夹角为π
6
．
故答案为：π
6
．
根据a⃗⊥(3a⃗−4b⃗ )可得出a⃗⋅(3a⃗−4b⃗ )=0，进行数量积的运算即可求出a⃗⋅b⃗ =3，从而可得出cos<
a⃗,b⃗ >的值，进而得出a⃗与b⃗ 的夹角．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】>
【解析】解：由题意，S6>S7<S8，则a7<0，a8>0．
S13=13(a1+a13)
2=13a7<0，S15=15(a1+a15)
2
=15a8>0．
∴S15−2S13>0．故答案为：>．
由题意可知a 7<0，a 8>0，由等差数列的前n 项和公式结合等差数列的性质可得S 15>0，S 13<0，则答案可求．
本题考查数列的函数特性，考查等差数列的前n 项和，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题． 16.【答案】4
【解析】解：根据题意，作出如下所示的图形，
由题可知，焦点F(1,0)，设点A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +1，
联立{x =my +1y 2=4x
，得y 2−4my −4=0，∴{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 22
16=1，
∵直线OA 的方程为y =y
1
x 1
x ，
∴令x =−1，则y =−y 1x 1，∴P(−1,−y
1
x 1)，
同理可得，Q(−1,−y
2
x 2
)，
记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD|⋅|QD|=|y 1y 2
x
1x 2
|=4
1
=4，
由|PQ|=|PD|+|QD|≥2√|PD|⋅|QD|=4，可知|PQ|的最小值为4． 故答案为：4．
设点A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +1，将其与抛物线的方程联立，消去
x ，写出韦达定理可得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1；写出直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，从而得点P(−1,−y 1x 1)，同理可得点Q(−1,−y 2x 2)，记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD|⋅|QD|=|y 1y 2
x 1x 2
|=4
1=4，然后根据
均值不等式有，|PQ|=|PD|+|QD|≥2√=4，故而得解．
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及曲线与直线联立，还利用了均值不等式解决最值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵√3b =(acosC +ccosA)tanA ，
由正弦定理可得，√3sinB =(sinAcosC +sinCcosA)tanA =sin(A +C)tanA =sinBtanA ， 因为sinB ≠0，故tanA =√3， 因为A ∈(0,π)，故A =π
3； (2)S △ABC =1
2bcsinA =√34bc =√3，
∴bc =4，
因为cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=1
2，
∴b 2+c 2=10，
∴(b +c)2=10+2×4=18， 则b +c =3√2， 由{b +c =3√2bc =4
， 解可得{b =√2c =2√2或{b =2√2
c =√2
．
【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； (2)由已知结合三角形的面积公式可求bc ，然后结合余弦定理即可求解． 18.【答案】解：(1)证明：∵AO =OB ，AE =EC ，AF =FD ， ∴OE//BC ，EF//CD ，
∵OE 不在平面BCD 内，BC 在平面BCD 内， ∴OE//平面BCD ；
∵EF 不在平面BCD 内，CD 在平面BCD 内， ∴EF//平面BCD ；
又EF ∩OE =E ，且都在平面OEF 内， ∴平面OEF//平面BCD ； (2)如图，
连接CO ，由AC =BC ，AO =OB ，有CO ⊥AB ，
在△AOC 中，OC =√AC 2−AO 2=√2−1=1，可得AO =OB =OC =OD =1， ∵OD ⊥平面ABC ，可得OB ，OC ，OD 两两垂直，
以O 为坐标原点，OB ，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0),B(1,0,0),A(−1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(−12,12,0)，F(−12,0,1
2)， 设平面OED 的一个法向量为m
⃗⃗⃗ =(a,b,c)， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,1
2,0),OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 有{OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−12a +1
2b =0
OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =c =0
，则可取m
⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 同理可求得平面OEF 的一个法向量为n ⃗ =(1,1,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗
|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=
√6
3
，
∴二面角D −OE −F 的余弦值为√6
3
．
【解析】本题考查面面平行的判定定理以及利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．
(1)先证明OE//平面BCD 及EF//平面BCD ，进而可证平面OEF//平面BCD ；
(2)建立空间直角坐标系，求得平面ODE 及平面OEF 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可． 19.【答案】解：(1)“一位献爱心参与者不能获奖”记为事件A ， 则P(A)=C 6
3C 93=5
21；
(2)设一位献爱心参与者参加活动，企业所得善款为X 元，
则X =100，80，60，−100， 则P(X =100)=C 63
C 9
3=5
21，
P(X =80)=26
C 31C
C 9
3=
1528
， P(X =60)=
16
C 32C
C 9
3=3
14， P(X =−100)=C 33
C 9
3=1
84，
故若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为E(X)=100×5
21+80×15
28+60×3
14+100×1
84=
2353
，
故此次募捐所得善款的数学期望为
2353
×300=23500(元)．
【解析】(1)设“献爱心参与者中奖”为事件A ，求出献爱心参与者中奖的概率．
(2)设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X =100，80，60，−100，由此能求出X 学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算、互斥事件概率计算公式求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
20.【答案】解：(1)设点F 的坐标为(c,0)，由|OF|=c ，|OB|=b ，|BF|=a ，∠OBF =30°，有a =2c ，b =√3c ，可得椭圆C 的标准方程为x 2
4c 2+y 2
3c 2=1， 代入点A 的坐标有1
2c 2+1
2c 2=1，解得c =1， ∴椭圆C 的坐标方程为
x 24+
y 23
=1；
(2)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m(m >0)， 联立方程{x 2
4+y 2
3=1
y =kx +m ，消去y 后整理得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，
∴x 1+x 2=−8km
4k 2+3，x 1x 2=
4m 2−124k 2+3
，
由△=64k 2m 2−4(4k 2+3)(4m 2−12)>0，得4k 2−m 2+3>0，
∴y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m =−8k 2m
4k 2+3+2m =6m
4k 2+3， y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=k 2(4m 2−12)4k 2+3
−
8k 2m 24k 2+3
+m 2=
3m 2−12k 24k 2+3
，
∴x 1x 2+y 1y 2=
7m 2−12k 2−12
4k +3，
点T 的坐标为(−4km
4k 2+3,3m
4k 2+3)，点M 的坐标为(−m
k ,0)，点N 的坐标为(0,m)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m k
,m)，∴OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4m 24k 2+3
+3m 24k 2+3=7m 2
4k 2+3， ∴7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =7(x 1x 2+y 1y 2)−28m 2
4k 2
+3 =7(7m 2−12k 2−12)4k 2+3−28m 2
4k 2
+3 =
7(3m 2−12k 2−12)
4k 2+3 =7[−12k 2+(3m 2−12)]
4k 2+3
=
−21[4k 2+(4−m 2)]
4k 2+3
，
若7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，必有4−m 2=3，解得m =±1，由m >0可得m =1， 故直线l 过定点(0,1)，实数n 的值为−21．
【解析】(1)由题意可知a =2c ，b =√3c ，所以椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 2
3c 2=1，把点A 的坐标代入求
出c 的值，进而求出a ，b 的值，即可得到椭圆C 的坐标方程；
(2)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定
理可得x 1x 2+y 1y 2，和点T ，点M ，点N 的坐标，代入7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简整理得7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅
OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−21[4k 2
+(4−m 2
)]
4k 2+3
，若7OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，则必有4−m 2=3，可得m =1，故直线l 过定点(0,1)，实数n 的值为−21．
本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．
21.【答案】解：(1)由f′(x)=2(x +1)e x −a −a
x ，得f′(1)=4e −2a ，
又f(1)=2e −a ，
∴切线l 的方程为y −(2e −a)=(4e −2a)(x −1)，代入点(0,−2e −1)， 有−2e −1−(2e −a)=−(4e −2a)，解得a =−1． 故实数a 的值为−1；
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)．
由f′(x)=2(x +1)e x −a −a
x =(x +1)(2e x −a
x
)=
(x+1)(2xe x −a)
x
．
①当a ≤0时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，最多只有一个零点；
②当a >0时，令g(x)=2xe x −a(x ≥0)．
由g′(x)=2(x +1)e x >0，可知函数g(x)单调递增，又g(0)=−a <0，
g(a)=2ae a −a =a(2e a −1)>0，可得存在x 0∈(0,a)，使得g(x 0)=0， 有x 0e x 0=a
2，可知函数f(x)的减区间为(0,x 0)，增区间为(x 0,+∞)． 若函数f(x)有两个零点，必有f(x 0)=2x 0e x 0−ax 0−alnx 0 =a −a(x 0+lnx 0)=a −aln(x 0e x 0)=a −aln a
2<0，得a >2e ． 又由f(e −a )>−ae −a −alne −a =a 2−a
e a =
a(ae a −1)
e a >0．
令ℎ(x)=x −lnx ，有ℎ′(x)=1−1
x =
x−1x ，令ℎ′(x)>0，
可得x >1，故函数ℎ(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)，有ℎ(x)≥ℎ(1)=1． 当x >lna 时，e x >a ，f(x)=x(2e x −a)−alnx >ax −alnx =a(x −lnx)≥a >0． 可得此时函数f(x)有两个零点．
由上可知，若函数f(x)有两个零点，则实数a 的取值范围是(2e,+∞)．
【解析】(1)求出原函数的导函数，得到f′(1)=4e −2a ，再求出f(1)=2e −a ，由直线方程点斜式写出切线方程，代入已知点的坐标求解a 值；
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2(x +1)e x −a −a
x =
(x+1)(2xe x −a)
x
.当a ≤0时，f(x)单调递增，
最多只有一个零点；当a >0时，令g(x)=2xe x −a(x ≥0)，利用导数可知存在x 0∈(0,a)，使得g(x 0)=0，有x 0e x 0=a
2，函数f(x)的减区间为(0,x 0)，增区间为(x 0,+∞).由f(x 0)<0，得a >2e.然后证明当x >lna 时，f(x)>0.即可说明函数f(x)有两个零点．由此可得实数a 的取值范围．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，考查转化思想方法，考查推理论证能力及运算求解能力，属难题．
22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ,y =sinβ
，(β为参数)，转换为直角坐标方程为x 2
3+y 2=1．
直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π
4
)=
3√2
2.根据{x =ρcosθ
y =ρsinθ
转换为直角坐标方程为x −y +3=0．
(2)设点P(√3cosα,sinα)为曲线上一点，所以点P 到直线的距离d =√3cosα−sinα+3|
√12+12
=
|2cos(α+π6
)+3|
√2
，
当cos(α+π
6)=−1时，即α=
5π6
时，
点P 到直线l 的距离的最小值为√2
2
，且P(−32,1
2).
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：(1)不等式|x −2|−|x|≥1等价为{
x ≥2x −2−x ≥1或{0<x <22−x −x ≥1或{x ≤0
2−x +x ≥1
，
解得x ∈⌀或0<x ≤1
2或x ≤0， 则原不等式的解集为{x|x ≤1
2}；
(2)x ∈[−2,2]时，f(x)≥mx 恒成立， 由f(−2)=2，f(2)=−2， 可得{f(2)≥2m f(−2)≥−2m ，即{−2≥2m 2≥−2m
，
解得−1≤m ≤−1，故m =−1，
当m =−1时，且−2≤x ≤2时，f(x)+x =|x −2|+x −|x|=2−x +x −|x|=2−|x|≥0， 故实数m 的值为−1．
【解析】(1)由题意可得|x −2|−|x|≥1，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
(2)可得f(−2)=2，f(2)=−2，结合不等式f(x)≥mx 恒成立，可得m 的值，检验即可得到结论．
本题考查绝对值不等式的解法和函数恒成立问题解法，注意运用特值法和检验法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。