数学二轮复习学案：第2讲函数与方程及函数的应用(含2013试题,含名师点评)

第二讲函数与方程及函数的应用
真题试做►———-———-———————----
1．（2013·高考课标全国卷Ⅱ）设a＝log32,b＝log52，c＝log23,则( ）
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b〉a D．c〉a〉b
2．(2013·高考安徽卷）已知函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1<x2,则关于x的方程3（f（x)）2＋2af(x）＋b＝0的不同实根个数为（）
A．3 B．4
C．5 D．6
3．（2013·高考重庆卷)若a<b<c,则函数f（x)＝(x－a)(x－b）＋(x－b)（x－c)＋(x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间( ）A．(a，b)和(b，c）内B．（－∞，a)和（a，b)内
C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞,a）和(c，＋∞)内
4．（2013·高考陕西卷）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分), 则其边长x为________（m)．
考情分析►-———————————-——-———
(1)主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景,与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题．
（2）函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现．属中、高档题．
考点一基本初等函数
(1)二次函数主要考查其图象、单调性、值域（或最值）问题，多与方程、不等式、导数等知识结合．
（2)对指数函数、对数函数、幂函数考查利用性质进行大小比较，可与导数结合研究函数性质．
（1）（2013·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)若x∈（e －1，1)，a＝ln x，b＝(错误!）ln x，c＝e ln x,则a,b,c的大小关系为（) A．c>b>a B．b>c〉a
C．a〉b〉c D．b〉a〉c
（2）(2013·苏北四市联考)已知函数f(x）＝错误!则满足f(x）≥1的x的取值范围是________．
【思路点拨】(1)利用“中间量”比较大小；
（2）利用指数函数与对数函数的单调性求解．
(1)利用指数函数与对数函数的性质比较大小．
①底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
②底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数,可以引入中间量或结合图象进行比较．
(2)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时,要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性
质求解．
强化训练1 (1)（2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知幂函数y＝f(x）的图象过点（错误!，错误!）,则log4f(2)的值为( ) A。

错误!B．－错误!
C．2 D．－2
(2）在实数集R中定义一种运算“＊”，具有性质:①对任意a，b∈R，a＊b＝b＊a；②对任意a∈R，a＊0＝a;③对任意a，b，c，（a*b)＊c＝c*（ab)＋(a*c)＋(b＊c)－2c，则函数f(x)＝x＊错误!（x〉0）的单调递增区间是________．
考点二函数零点的判断
(1)根据函数解析式判断零点所在的区间；(2)根据函数解析式求零点的个数问题．
(2012·高考湖北卷)函数f（x）＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为（)
A．4 B．5
C．6 D．7
【思路点拨】由cos x2＝0知x2＝kπ＋错误!（k∈Z），再结合x2的范围从而确定零点个数．
确定函数零点的常用方法：
(1)解方程判定法,若方程易解时用此法．
(2）利用零点存在的判定定理．
(3）利用数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
强化训练2 （1)(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)若f（x）是奇函数，且x0是y＝f（x）＋e x的一个零点，则－x0一定是
下列哪个函数的零点（)
A．y＝f（－x）e x－1 B．y＝f（x）e－x＋1
C．y＝e x f（x）－1 D．y＝e x f(x)＋1
(2)（2013·武汉市武昌区高三联考)函数f(x）＝(1＋x－错误!＋错误!
－x4
4
＋…－错误!＋错误!)·cos 2x在区间[－3，3］上的零点的个数为
（）
A．3 B．4
C．5 D．6
考点三函数与方程的综合应用
（1）由函数零点情况求参数范围问题；(2)由方程根的情况求参数范围及研究方程根的情况．
对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝错误!设函数f(x)＝（x2－2）⊗（x－x2），x∈R。

若函数y＝f（x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( ）
A．（－∞,－2］∪错误!B．（－∞,－2]∪错误!
C。

错误!∪错误! D.错误!∪错误!
【思路点拨】根据新的定义，确定函数y＝f（x）的解析式，画出y＝f（x）的图象,把y＝f(x)－c的图象与x轴交点转化为y＝f （x）与y＝c的交点,从而求c的取值范围．
解决由函数零点(方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，再者，对于存在零点求参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题．
强化训练3 若f(x)＝ax3＋ax＋2（a≠0）在[－6，6]上满足f(－
6)>1且f(6）<1，则方程f（x）＝1解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
综合应用能力—-
数学建模及应用
该类试题以实际生活为背景，通过巧妙设计和整合命制，试题常与函数解析式的求法、函数最值、不等式、导数等知识交汇,多以求最值为高考考向．这类题目对学生的阅读、审题能力、建模能力提出了较高的要求．
一般解题程序为
错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!
（2011·高考湖南卷)
如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度为v（v〉0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R)．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与｜v－c|×S成正比,比例系数为错误!；
②其他面的淋雨量之和,其值为错误!.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝错误!时，
(1)写出y的表达式；
（2）设0〈v≤10，0〈c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
【解】(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为错误!｜v －c｜＋错误!，故y＝错误!错误!＝错误!（3｜v－c｜＋10）．
（2）由(1）知：
当0<v≤c时，y＝错误!(3c－3v＋10)＝错误!－15;
当c〈v≤10时，y＝错误!(3v－3c＋10)＝错误!＋15。

故y＝错误!
①当0<c≤错误!时，y是关于v的减函数,
故当v＝10时，y min＝20－错误!.
②当错误!〈c≤5时，在（0，c］上，y是关于v的减函数；在(c，
10]上，y是关于v的增函数，故当v＝c时，y min＝错误!.
即当v＝c时，物体E的总淋雨量最少，最少淋雨量为错误!．
构建函数模型：先求E移动时单位时间内的淋雨量（分为两部分,一是P或P的平行面；二是其他面的淋雨量之和）．
求解数学问题：分0<v≤c或c〈v≤10两种情况,利用函数的单调性求解．
反馈检验作答:实际应用问题本步不可少，是易漏点．
错误!跟踪训练某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式f(x)＝错误!《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0。

02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)。

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体验真题·把脉考向_
1．【解析】选D.a＝log32〈log33＝1；c＝log23〉log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b〈a〈c，故选D.
2．【解析】选A.
因为f′(x）＝3x2＋2ax＋b,函数f（x）的两个极值点为x1，x2，则f′（x1)＝0，f′(x2)＝0，所以x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，所以解关于x的方程3(f（x））2＋2af(x）＋b＝0，得f(x)＝x1或f(x）＝x2.由上述可知函数f（x）在区间（－∞，x1），(x2,＋∞)上单调递增,在区间(x1，x2)上单调递减，又f（x1)＝x1<x2，如图所示，由数形结合可知f（x）＝x1时有两个不同的实根,f（x）＝x2有一个实根，所以不同实根的个数为3。

3．【解析】选A。

∵f（x)＝（x－a)(x－b）＋(x－b）(x－c)＋（x －c)·（x－a），
∴f（a）＝(a－b)（a－c），f(b）＝（b－c)（b－a)，f(c)＝（c－a）（c－b)，
∵a<b<c，∴f（a)〉0，f(b）<0，f(c）〉0,
∴f(x）的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c）内．
4．【解析】设矩形花园的宽为y m,则错误!＝错误!，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－（x－20)2＋400,当x＝20 m时，面积最大．
【答案】20
_典例展示·解密高考_
【例1】【解析】(1)依题意得a＝ln x∈(－1，0)，b＝(错误!)ln x∈(1，
2）,c ＝x ∈（e －1，1）,因此b >c 〉a 。

(2）据题意知原不等式等价于错误!或错误!分别求解然后取并集即得原不等式解集，即为（－∞,2］．
【答案】(1）B (2)(－∞,2]
［强化训练1］【解析】（1)设f （x ）＝x a ，由其图象过点（错误!，
错误!),得（错误!）a ＝错误!＝（错误!)错误!⇒a ＝错误!，故log 4f (2)＝log 42错误!＝错误!。

故选A.
（2）令a ＝x ，b ＝错误!,c ＝0，由定义及性质知f (x )＝(x ＊错误!)*0＝1＋x ＋错误!（x >0），由对勾函数的性质知递增区间为（1,＋∞)．
【答案】（1)A （2)(1，＋∞）
【例2】【解析】当x ＝0时，f (x ）＝0.
又因为x ∈［0，4］,所以0≤x 2≤16。

因为5π〈16〈错误!，所以函数y ＝cos x 2在x 2取错误!，错误!，错误!，
错误!，错误!时为0，此时f （x ）＝0，所以f (x ）＝x cos x 2在区间［0,4］
上的零点个数为6。

【答案】C
[强化训练2］（1)【解析】选C 。

由已知可得f (x 0）＝－e x 0，则e －x 0f （x 0)＝－1，e －x 0f （－x 0）＝1，故－x 0一定是y ＝e x f （x ）－1的零点．
（2)选C 。

cos 2x ＝0⇒x ＝±错误!,±错误!，即在区间［－3，3］上cos 2x 有4个零点．
设g (x ）＝1＋x －错误!＋错误!－错误!＋…－错误!＋错误!.
g ′（x ）＝1－x ＋x 2－x 3＋…－x 2 011＋x 2 012＝1＋x 2 0131＋x
>0（x ≠－1），故g （x )为增函数，
而g （1)〉0，当x 〉1时，g （x )〉0，g (－1）〈0，故g （x ）的图象与x 轴有一个交点，综上可知，函数f (x )在区间[－3，3］上共有5个零点．
【例3】【解析】f(x）＝错误!
即f(x)＝错误!
f(x)的图象如图所示,由图象可知B正确．
【答案】B
［强化训练3]【解析】选A。

设g(x)＝f（x)－1，即由f（－6）>1及f(6）〈1得［f(－6）－1］[f（6）－1]<0,即g(－6)g（6)〈0,因此，g （x）在（－6,6)内有零点，又g(x)当a〉0时，单调递增；a〈0时,单调递减;故g(x)仅有一个零点，故选A。

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［跟踪训练]【解析】∵0≤x≤1时，－2≤x－2≤－1,
∴5－2≤5x－2≤5－1,
而5－2>0。

02。

又x>1时，由错误!·错误!错误!≤错误!，得错误!错误!≤错误!,∴x≥4.
故至少要过4小时后才能开车．
【答案】4。