2019-2020学年四川省攀枝花市八年级第二学期期末达标测试数学试题含解析

2019-2020学年四川省攀枝花市八年级第二学期期末达标测试数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．一次函数y=-3x+2的图象不经过( )
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
2．矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，AF 平分∠BAD ，DF ⊥AF 于点F ，BF 交CD 于点H ．若AB ＝6，则CH ＝（ ）
A ．62
B ．1243
C ． 32
D ．1262-
3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 的中点，连结AG 并延长，交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知2FG =，则线段AE 的长是( )
A ．10
B ．8
C ．16
D ．12
4．已知点（2a -，a -）在第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．2a <
B ．0a <
C ．2a >
D ．02a <<
5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A ．当AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形
B ．当A
C ⊥B
D 时，四边形ABCD 是菱形 C ．当AC=BD 时，四边形ABCD 是矩形
D ．当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是正方形
6．下列命题中，错误的是（ ）
A ．过n 边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n ﹣2）个三角形
B ．三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点
C ．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
D ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上的一点，∠EBC=30°，则BE 的长为 ( )
A ．5cm
B ．25cm
C ．5 cm
D ．10 cm
8．如图，在平行四边形ABCD 中，9AB cm =，11AD cm =，AC ，BD 相交于点O ，OE BD ⊥，交AD 于点E ，则ABE 的周长为( )
A ．20cm
B ．18cm
C ．16cm
D ．10cm 9．要使分式
52x x +有意义，则x 的取值满足的条件是（ ） A ．2x =- B ．2x ≠- C ．0x = D ．0x ≠
10．定义：在同一平面内画两条相交、有公共原点的数轴x 轴和y 轴，交角a ≠90°，这样就在平面上建立了一个斜角坐标系，其中w 叫做坐标角，对于坐标平面内任意一点P ，过P 作y 轴和x 轴的平行线，与x 轴、y 轴相交的点的坐标分别是a 和b ，则称点P 的斜角坐标为(a ，b )．如图，w =60°，点P 的斜角坐标是(1，2)，过点P 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则四边形OMPN 的面积是( )
A ．
B ．
C ．
D ．3
二、填空题
11．一组数据为5，7，3，x ，6，4. 若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是______.
12．若解分式方程144
x m x m -=++产生增根，则m ＝_____． 13．如图，E 为△ABC 中AB 边的中点，EF ∥AC 交BC 于点F ，若EF=3cm ，则AC=____________．
14．已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，那么相邻两边的长分别是_____．
15．二次三项式()2
459x k x --+是完全平方式,则k 的值是__________． 16．若直线3y kx =-经过点(1,2)-和点(0,)b ，则k b -的值是_____．
17．在平面直角坐标系中，已知点(,)A m n 在第二象限，那么点(,)B n m -在第_________象限．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，:5:3OC CD =，6DB =.反比例函数k (0)y k x
=
≠在第一象限内的图像经过点D ，交AB 于点E ，:1:2AE BE =.
(1)求这个反比例函数的表达式，
(2)动点P 在矩形OABC 内，且满足25
PAO OABC S S ∆=四边形. ①若点P 在这个反比例函数的图像上，求点P 的坐标，
②若点Q 是平面内一点，使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标.
19．（6分）如图，正方形ABCD 和正方形CEFC 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，EH 与CF 交于点O ．
（1）求证：HC ＝HF ．
（2）求HE 的长．
20．（6分）某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共200人，各类学生人数比例见扇形统计图．
（1）参加这次夏令营活动的初中生共有多少人？
（2）活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款结果小学生每人捐款5元，初中生每人捐款10元，高中生每人捐款15元，大学生每人捐款20元问平均每人捐款是多少元？
21．（6分）如图，等腰直角三角形AEF 的顶点E 在等腰直角三角形ABC 的边BC上．AB 的延长线交EF 于 D 点，其中∠AEF＝∠ABC＝90°．
(1)求证：
2 AD AE AE AC
(2)若E 为BC 的中点，求DB
DA
的值．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝1．
（1）当t＝3时，解这个方程；
（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．
23．（8分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．
24．（10分）如图矩形ABCD中,AB=12,BC=8,E、F分别为AB、CD的中点,点P、Q从A．C同时出发,在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动,运动时间为t(0<t<8).
(1)如图1，连接PE、EQ、QF、PF，求证：无论t在0<t<8内取任何值，四边形PEQF总为平行四边形；
(2)如图2，连接PQ交CE于G，若PG=4QG，求t的值；
(3)在运动过程中，是否存在某时刻使得PQ⊥CE于G?若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由25．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．
(1)求G点坐标
(2)求直线EF解析式
(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像与性质，结合k=-3<0，b=2>0求解即可.
【详解】
∵k=-3<0，b=2>0，
∴一次函数y=-3x+2的图象经过一二四象限，不经过第三象限.
故选B.
【点睛】
题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b （k 为常数，k≠0），当k ＞0，b ＞0，y=kx+b 的图象在
一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0，y=kx+b 的图象在一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0，y=kx+b 的图象在一、
二、四象限；当k ＜0，b ＜0，y=kx+b 的图象在二、三、四象限．
2．D
【解析】
【分析】
过F 作//MN DC ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN CD =，证ADF ∆是等腰直角三角形，得出AF DF =，证1322FM
AD ，FN 为BCH ∆的中位线，进而得出答案．
【详解】 解：如图，过F 作//MN DC ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN CD =，
四边形ABCD 是矩形，
90BAD ∴∠=︒，DC AD ⊥，6CD AB ==，
MF AD ，6MN =，
AF 平分BAD ∠，
45BAF DAF ∴∠=∠=︒，
6AB =， 262AD AB ，
DF AF ，
ADF ∴∆是等腰直角三角形，
AF DF ∴=，
∴点M 是AD 的中点， 1322FM AD ，FN 为BCH ∆的中位线， 632FN
MN FM ，12FN CH ， 21262CH FN ；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出
2AF AB GF GD
==，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，
∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，
∴△ABF ∽△GDF ， ∴2AF AB GF GD
==， ∴AF=2GF=4，
∴AG=6，
∵CG ∥AB ，AB=2CG ，
∴CG 为△EAB 的中位线，
∴AE=2AG=12，
故选D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
根据象限的定义以及性质求出a 的取值范围即可．
【详解】
∵点（2a -，a -）在第二象限
∴200
a a -<⎧⎨->⎩ 解得0a <
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了象限的问题，掌握象限的定义以及性质是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据对角线相等的平行四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，则
A、当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，正确；
B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，正确；
C、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，正确；
D、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故D错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查了菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的判定定理.
6．D
【解析】
【分析】
根据多边形对角线的定义对A进行判断；根据三角形外心的性质对B进行判断；根据三角形中线定义和三角形面积公式对C进行判断；根据平行四边形的判定方法对D进行判断．
【详解】
解：A．过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形，所以A选项为真命题；B．三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，所以B选项为真命题；
C．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以C选项为真命题；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以D选项为假命题．
故选D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．D
【解析】
试题解析：设,CE x =
30EBC ∠=︒，
2,BE x ∴=
根据勾股定理，BC ===
5,x ∴=
210.BE x ∴==
故选D.
8．A
【解析】
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分可知点O 是BD 中点，继而可判断出EO 是BD 的中垂线，得出BE=ED ，从而可得出△ABE 的周长=AB+AD ，即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，
∴BO=DO ，
由∵EO ⊥BD ，
∴EO 是线段BD 的中垂线，
∴BE=ED ，
故可得△ABE 的周长=AB+AD=20cm ，
故选A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及中垂线的判定及性质等，正确得出BE=ED 是解题关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得x+2≠0；解不等式可得结果，从而得出正确选项.
【详解】
由分式有意义的条件可得x+2≠0，
解得x≠-2.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.
10．B
【解析】
【分析】
添加辅助线，将四边形OMPN转化为直角三角形和平行四边形，因此过点P作PA∥y轴，交x轴于点A，过点P作PB∥x轴交y轴于点B，易证四边形OAPB是平行四边形，利用平行四边形的性质，可知OB=PA，OA=PB，由点P的斜角坐标就可求出PB、PA的长，再利用解直角三角形分别求出PN，NB，PM，AM的长，然后根据S四边形OMPN=S△PAM+S△PBN+S平行四边形OAPB，利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式，就可求出结果.
【详解】
解：过点P作PA∥y轴，交x轴于点A，过点P作PB∥x轴交y轴于点B，
∴四边形OAPB是平行四边形，∠NBP=w=∠PAM=60°，
∴OB=PA，OA=PB
∵点P的斜角坐标为（1，2），
∴OA=1，OB=2，
∴PB=1，PA=2，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠PMA=∠PNB=90°，
在Rt△PAM中，∠PAM=60°，则∠APM=30°，
∴PA=2AM=2，即AM=1
PM=PAsin60°
∴PM=
∴S△PAM=
在Rt△PBN中，∠PBN=60°，则∠BPN=30°，
∴PB=2BN=1，即BN=
PN=PBsin60°
∴PN=
∴S△PBN=，
∵S四边形OMPN=S△PAM+S△PBN+S平行四边形OAPB
故答案为：B
【点睛】
本题考查了新概念斜角坐标系、图形与坐标、含30°角直角三角形的性质、三角函数、平行四边形的判定与性质、三角形面积与平行四边形面积的计算等知识，熟练掌握新概念斜角坐标系与含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．5
【解析】
【分析】
首先根据众数的定义：是一组数据中出现次数最多的数值，即可得出5
x=，进而可求得该组数据的平均数.
【详解】
解：根据题意，可得5
x=
则该组数据的平均数为573564
5
6
+++++
=
故答案为5.
【点睛】
此题主要考查众数的理解和平均数的求解，熟练掌握，即可解题.
12．-5
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，解得x=-4，然后把分式方程化为整式方程x-1=m，解得m=-5
故答案为-5.
13．1cm
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，得到BF=FC，根据三角形中位线定理求出AC的长．【详解】
解：∵E为△ABC中AB边的中点，
∴BE=EA．
∵EF∥BC，
∴BF
FC
=
EB
EA
，
∴BF=FC，则EF为△ABC的中位线，
∴AC=2EF=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的运用和平行线分线段成比例定理的运用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
14．4和1
【解析】
【分析】
设短边为x,则长边为x+4,再利用周长为24作等量关系，即可列方程求解.
【详解】
∵平行四边形周长为24，
∴相邻两边的和为12，
∵相邻两边的差是4，
设短边为x,则长边为x+4
∴x+4+x=12
∴x=4
∴两边的长分别为：4，1．
故答案为：4和1；
【点睛】
主要考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边相等这一性质，并建立适当的方程是解题的关键. 15．17或-7
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
解：∵二次三项式4x 2-（k-5）x+9是完全平方式，
∴k-5=±12，
解得：k=17或k=-7，
故答案为：17或-7
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．4
【解析】
【分析】
分别把(1,2)-和(0,)b 代入3y kx =-中即可求出k 和b 的值，从而可以得出k-b 的值.
【详解】
解：∵直线3y kx =-经过点(1,2)-和点(0,)b ，
∴将(1,2)-代入3y kx =-中得-2=k-3，解得k=1，
将(0,)b 代入3y kx =-中得b=-3，
∴k-b=1-（-3）=4，
故答案为4.
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是能根据函数图象上的点与函数的解析式的关系列出关于k 和b 的一元一次方程，并分别求出k 和b 的值.
17．三
【解析】
【分析】
根据在第二象限中，横坐标小于0，纵坐标大于0，所以-n ＜0，m ＜0，再根据每个象限的特点，得出点B 在第三象限，即可解答．
【详解】
解：∵点A （m ，n ）在第二象限，
∴m ＜0，n ＞0，
∴-n ＜0，m ＜0，
∵点B （-n ，m ）在第三象限，
故答案为三．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
三、解答题
18．（1）15y x
=
；（2）① 15(,4)4P ；②12(91);(6,9)Q Q -- 【解析】
【分析】 （1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，
13
n ），点D 的坐标为（m−6，n ），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m 的值，结合OC ：CD ＝5：3可求出n 值，再将m ，n 的值代入k ＝13mn 中即可求出反比例函数的表达式；
（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S △PAO ＝25
S 四边形OABC 可求出点P 的纵坐标． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；
②由点A ，B 的坐标及点P 的纵坐标可得出AP≠BP ，进而可得出AB 不能为对角线，设点P 的坐标为（t ，2），分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑：（i ）当AB ＝AP 时，利用勾股定理可求出t 值，进而可得出点P 1的坐标，结合P 1Q 1的长可求出点Q 1的坐标；（ii ）当BP ＝AB 时，利用勾股定理可求出t 值，进而可得出点P 2的坐标，结合P 2Q 2的长可求出点Q 2的坐标．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，
13n ），点D 的坐标为（m−6，n ）． ∵点D ，E 在反比例函数k (0)y k x =
≠的图象上， ∴k ＝13
mn ＝（m−6）n ， ∴m ＝1．
∵OC ：CD ＝5：3，
∴n ：（m−6）＝5：3，
∴n ＝5，
∴k ＝13mn ＝13
×1×5＝15， ∴反比例函数的表达式为y ＝
15x ； （2）∵S △PAO ＝25
S 四边形OABC ， ∴12
OA•y P ＝25OA•OC ， ∴y P ＝
45OC ＝2．
①当y ＝2时，15x ＝2， 解得：x ＝154
， ∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（
154，2）． ②由（1）可知：点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（1，5），
∵y P ＝2，y A ＋y B ＝5，
∴y P ≠2
A B y y ， ∴AP≠BP ，
∴AB 不能为对角线．
设点P 的坐标为（t ，2）．
分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑（如图所示）：
（i ）当AB ＝AP 时，（1−t ）2＋（2−0）2＝52，
解得：t 1＝6，t 2＝12（舍去），
∴点P 1的坐标为（6，2），
又∵P 1Q 1＝AB ＝5，
∴点Q 1的坐标为（6，1）；
（ii ）当BP ＝AB 时，（1−t ）2＋（5−1）2＝52，
解得：t 3＝1−26，t 2＝1＋26（舍去），
∴点P 2的坐标为（1−26，2）．
又∵P 2Q 2＝AB ＝5，
∴点Q 2的坐标为（1−26，−1）．
综上所述：点Q 的坐标为（6，1）或（1−26，−1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B 的横纵坐标；（2）①由点P 的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P 的坐标；②分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况，利用勾股定理
及菱形的性质求出点Q的坐标．
19．（1）见解析；（2）HE＝.
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（2）分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长．
【详解】
（1）证明：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
又∵H是AF的中点，
∴CH＝HF；
（2）∵CH＝HF，EC＝EF，
∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，
∴HE是CF的中垂线，
∴点H和点O是线段AF和CF的中点，
∴OH＝AC，
在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，
∴AC＝，
∴CF＝3，
又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，
∴OE＝，
∴HE＝HO+OE＝2；
【点睛】
本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，垂直平分线，勾股定理，解题的关键是根据题干与图形中角和边的关系，找到解决问题的条件.
20．（1）80人；（2）11.5元
【解析】
【分析】
（1）参加这次夏令营活动的初中生所占比例是：1-10%-20%-30%=40%，就可以求出人数．
（2）小学生、高中生和大学生的人数为200×20%=40，200×30%=60，200×10%=20，根据平均数公式就可以求出答案．
【详解】
（1）参加这次夏令营活动的初中生共有200×（1﹣10%﹣20%﹣30%）=80人；
（2）小学生、高中生和大学生的人数分别为：
200×20%=40，200×30%=60，200×10%=20， 所以平均每人捐款为：
40580106015202011.5200⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】
本题考查了扇形统计图、加权平均数等知识.从扇形统计图中得出初中生所占比例是解题的关键. 21．（1）见解析；（2）
15 【解析】
【分析】
（1）由△AEF 、△ABC 是等腰直角三角形，易证得△FAD ∽△CAE ，然后由相似三角形的对应边成比例，可
得AD AF AE AC = ，又由等腰直角三角形的性质，可得 AE ，即可证得AD AE AC
=； （2）首先设BE=a ，由射影定理，可求得DB 的长，继而可求得DA 的长，即可求得答案．
【详解】
(1)证明：∵△AEF 、△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠BAC=45°,∠F=∠C=45°，
∴∠FAD=∠CAE ，
∴△FAD ∽△CAE ， ∴AD AF AE AC
=， ∵∠AEF=90°，AE=EF ，
∴，
∴AD AE AC
=； (2)设BE=a ，
∵E 为BC 的中点，
∴EC=BE=a ，AB=BC=2a ，
∵∠AEF=∠ABC=90°，
∴BE 2 =AB ⋅DB ，
∴DB=2
a ， ∵DA=DB+AB ，
∴DA=
52
a ， ∴DB DA =15 . 【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题关键在于证明△FAD ∽△CAE
22．（2）x 2＝3，x 2＝；（2）Q 的最小值是﹣2．
【解析】
【分析】
（2）把t ＝3代入x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝2，再利用公式法即可求出答案；
（2）由根与系数的关系可得出m+n ＝2t 、mn ＝t 2﹣2t+4，将其代入（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4中可得出（m ﹣2）（n ﹣2）＝（t ﹣3）2﹣2，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m ﹣2）（n ﹣2）的最小值．
【详解】
（2）当t ＝3时，原方程即为x 2﹣6x+7＝2，
3x ==±
解得13x =，23x =
（2）∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝2的两实数根，
∴m+n ＝2t ，mn ＝t 2﹣2t+4，
∴（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4＝t 2﹣6t+8＝（t ﹣3）2﹣2．
∵方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2t ）2﹣4（t 2﹣2t+4）＝8t ﹣26≥2，
∴t ≥2，
∴（t ﹣3）2﹣2≥（3﹣3）2﹣2＝﹣2．
故Q 的最小值是﹣2．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c ＝2（a ≠2）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞2时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝2时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜2时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解法．
23．（1）证明见解析；（2）AB ⊥BC 时，四边形AEOF 正方形．
【解析】
【分析】
（1）根据中点的定义及菱形的性质可得BE=DF，∠B=∠D，BC=CD，利用SAS即可证明△BCE≌△DCF；（2）由中点的定义可得OE为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质可得OE//BC，根据正方形的性质可得∠AEO=90°，根据平行线的性质可得∠ABC=∠AEO=90°，即可得AB⊥BC，可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BE=1
2
AB，DF=
1
2
AD，
∴BE=DF，
在△BCE和△DCF中，
BE DF
B D B
C CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCE≌△DCF．
（2）AB⊥BC，理由如下：
∵四边形AEOF是正方形，
∴∠AEO=90°，
∵点E、O分别是边AB、AC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE//BC，
∴∠B=∠AEO=90°，
∴AB⊥BC．
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定及正方形的性质，菱形的四条边都相等，对角相等；正方形的四个角都是直角；熟练掌握菱形和正方形的性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）8
3
；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS证明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出结论；
（2）根据题意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，证出EH是梯形ABQP的
中位线，由梯形中位线定理得出EH=1
2
（AP+BQ）=4，证出GH：GQ=3：2，由平行线得出△EGH∽△CGQ，
得出对应边成比例
3
2 EH GH
CQ GQ
==，即可得出t的值；
（3）由勾股定理求出CE=22
BE BC
+=10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，证出△GCQ∽△BCE，得出对应边成比例求出CG=t
4
5
，得出EG=10-
4
5
t，由平行线证明△GME∽△GQC，得出对应边成比例，求出t=0或t=8.5，即可得出结论．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12,AD=BC=8,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=6，DF=CF=6，
∴AE=BE=DF=CF，
∵点P、Q从A. C同时出发，在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动，
∴AP=CQ=t，
在△APE和△CQF中,
AE CF
A C
AP CQ
⎧=
∠=∠
=
⎪
⎨
⎪
⎩
，
∴△APE≌△CQF(SAS),
∴PE=QF，
同理：PF=QE，
∴四边形PEQF总为平行四边形；
(2)根据题意得：AP=CQ=t，
∴PD=QB=8−t，
作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如图2所示：
则F为CD的中点，H为PQ的中点，EF=BC=8，
∴EH是梯形ABQP的中位线，
∴EH=
1
2
(AP+BQ)=4，
∴GH:GQ=3:2，
∵EF ∥BC ，
∴△EGH ∽△CGQ ， ∴=EH GH CQ GQ
=32 ,即4t=32
， 解得：t=83
， ∴若PG=4QG,t 的为83
值; (3)不存在，理由如下：
∵∠B=90°，BE=6，BC=8，
∴CE=22BE BC + =10，
作EM ∥BC 交PQ 于M ，如图3所示：
由(2)得：ME=4， ∵PQ ⊥CE ，
∴∠CGQ=90°=∠B ，
∵∠GCQ=∠BCE ，
∴△GCQ ∽△BCE ，
∴=CG CB CQ CE ,即CG t =810
， ∴CG=
45
t ， ∴EG=10−45t ， ∵EM ∥BC ，
∴△GME ∽△GQC ，
∴=EM EG CQ CG ,即4104545
t t t -= ， 解得：t=0或t=8.5，
∴不存在。

【点睛】
此题考查四边形综合题，解题关键在于作辅助线
25．（1）G （0，）；（2）4y =++（3）
234,,(1,4M M M -+⎝⎝⎝. 【解析】
【分析】
1（1）由F （1，4），B （3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，在Rt △AGF 中，
利用勾股定理求出AG =，那么G （0，；
（2）先在Rt △AGF 中，由tan AG AFG AF ∠===，得出∠AFG=60°，再由折叠的性质得出
∠GFE=∠BFE=60°，解Rt △BFE ，求出BE=BF tan60°E （3，.
设直线EF 的表达式为y=kx+b ，将E （3，，F （1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.（3）因为M 、N 均为动点，只有F 、G 已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG 为一边，N 点在x 轴上；FG 为一边，N 点在y 轴上；FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.
【详解】
解：（1）∵F （1，4），B （3，4），
∴AF=1，BF=2，
由折叠的性质得：GF=BF=2，
在Rt △AGF 中，由勾股定理得，
AG ==∵B （3，4），
∴OA=4，
∴
∴G （0，；
（2）在Rt △AGF 中，
∵tan 1
AG AFG AF ∠===，
∴∠AFG=60°，由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，在Rt△BFE中，
∵BE=BF tan60°=23，
.CE=4-23，
.E（3，4-23）.
设直线EF的表达式为y=kx+b，
∵E（3，4-23），F（1，4），
∴
3423
4
k b
k b
⎧+=-
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
3
43
k
b
⎧=-
⎪
⎨
=+
⎪⎩
∴343
y x
=-++；
（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：
①FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFMN为平行四边形，如图1所示.
过点G作EF的平行线，交x轴于点N1，再过点N：作GF的平行线，交EF于点M，得平行四边形GFM1N1. ∵GN1∥EF，直线EF的解析式为343,(0,43)
y x G
=-
∴直线GN1的解析式为34-3
y x
=
当y=0时，1
433433
x N
⎫
--
=⎪⎪
⎝⎭
.
∵GFM1N1是平行四边形，且G（0，3，F（1，4），N1
433
-
，0），
∴M，（
3
3
3；
②FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFNM为平行四边形，如图2所示. ∵GFN2M2为平行四边形，
∴GN₂与FM2互相平分.
∴G（0，3，N2点纵坐标为0
∴GN：中点的纵坐标为
3
2
2 -，
设GN₂中点的坐标为（x，
3
2-.
∵GN2中点与FM2中点重合，
∴
3 3432
x+=-
∴x=39 6
∵.GN2的中点的坐标为（4393
,2
62
-），
.∴N2439
+
0）.
∵GFN2M2为平行四边形，且G（0，3，F（1，4），N2439
+
，0），
∴M2436
3
+
；
③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示.
∵GFN3M3为平行四边形，.
∴GN3与FM3互相平分.
∵G（0，4-3），N2点横坐标为0，
.∴GN3中点的横坐标为0，
∴F与M3的横坐标互为相反数，
∴M3的横坐标为-1，
-⨯-++=+，
当x=-1时，y=3(1)43423
∴M3（-1，4+23）；
④FG为平行四边形的对角线，GMFN为平行四边形，如图4所示.
过点G作EF的平行线，交x轴于点N4，连结N4与GF的中点并延长，交EF于点M。

，得平行四边形
GM 4FN 4
∵G （0，，F （1，4），
∴FG 中点坐标为（1,422
-）， ∵M 4N 4的中点与FG 的中点重合，且N 4的纵坐标为0，
.∴M 4的纵坐标为
5-45解方程48+=，得63
x -=
∴M 4. 综上所述，直线EF 上存在点M ，使以M ，N ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，此时M 点坐标为：
23466,,,(1,4,8333M M M ⎛⎛⎛--+ ⎝⎝⎝ 。

【点睛】
本题是一次函数的综合题，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数的解析式，矩形、平行四边形的性质，轴对称、平移的性质，勾股定理等，对解题能力要求较高.难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有四种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏.。