(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测(含答案解析)(4)

一、选择题
1．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则
（a+b）2可以表示为（）
A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2
BC=，点P移2．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若8
动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）
A．6 B．4πC．8 D．10
3．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝（）
A．2.1 B．1.4 C．3.2 D．2.4
4．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（）
A ．210cm
B ．225cm 2
C ．2252cm 2
D ．225cm 5．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A ．2,3,4a b c ===
B ．5,6,8a b c ===
C ．5,12,13a b c ===
D ．7,15,12a b c ===
6．如图①，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图②方式折叠，使点A 与点CB 重合，折痕为DE ，则BCE 与ADE 的面积之比为（ ）
A ．2:3
B ．4:9
C ．9:25
D ．14:25 7．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A 点的蚂蚁想吃到B 点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（ ）
A ．9
B ．13
C ．14
D ．25
8．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝1；再以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，那么点P 表示的数是（ ）
A ．2.2
B 5
C ．1+2
D 6
9．下列几组数中，是勾股数的是( )
A ．123
B ．0.3，0.4，0.5
C ．15，8，17
D ．35，45
，1 10．在平面直角坐标系中，点P(1-，3)到原点的距离是( )
A 10
B ．4
C ．22
D ．2
11．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b 的值为（ ）
A ．25
B ．19
C ．13
D ．169
二、填空题
13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是_____寸．
14．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．
15．已知一个直角三角形的两边长为3和5，则第三边长为______．
16．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是______cm ．
17．如图，两个正方形的面积分别是118S =，2
12S =，则第三个正方形的面积
3S =_________．
18．如图所示，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长均为1的正方形网络的格点上，BD ⊥AC 于D ，则BD 的长＝_____．
19．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.
20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．
三、解答题
21．如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CD =CE ， △DCE 的顶点D 在△ABC 的斜边AB 上
（1）连结AE ，求证：△ACE ≌△BCD ．
（2）若BD =1，CD =3，求AD 的长．
22．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？
23．已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，2)、B(﹣4，0)、C(0，2)
（1）在下面的平面直角坐标系中分别描出A，B，C三点，并画出ABC；
（2）求线段BC的长；
（3）求ABC的面积．
24．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．
25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示
摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．
证明：如图2，连结DB 、DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-． ∵ABC DAE △≌△，
∴ABC DAE ∠=∠．
∵ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴90ABC BAC ∠+∠=︒，
∴DAB ∠=______+______=_______．
∵ADB DCB ADCB S S S =+=△△四边形_________．
∴222+=a b c ．
26．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC =AC=3，点D 是CB 延长线上的一个动点，线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连结BE ，与AC 的延长线交于点M ．
（1）若BD =1，△ADC 中AD 边上的高为h ，求h 的值；
（2）求证：M 为BE 的中点；
（3）当D 点在CB 延长线上运动时，探索
CM BD
的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．【详解】
解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．2．A
解析：A
【分析】
根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB即可求解．
【详解】
解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为AS=5，
根据题意，BS=1
2
BC=4，∠ABS=90°，
∴AB=22
AS BS
-=22
54
-=3，
∴圆柱的底面周长为2AB=6，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是AS是解答的关键．
3．B
解析：B
【分析】
设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．【详解】
解：设CD=x，则BC=5+x，
在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-（5+x）2，
所以，25-x2=64-（5+x）2，
解得x=1.4，
即CD=1.4．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC 2，然后列出方程是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.
【详解】
如图，根据题意，得
BC=20，CD=BD=102=EM ，
∴EG=GM=52，
∴EF=FG=5，
∴212522
EFG S EF ==， 故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.
5．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】
解：22222223134,a b c +=+=≠= 故A 不符合题意；
22222256618,a b c +=+=≠= 故B 不符合题意；
22222251216913,a b c +=+=== 故C 符合题意；
22222271219315,a c b +=+=≠= 故D 不符合题意；
故选：.C
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键
6．D
解析：D
【分析】
由折叠可得5AD BD ==，AE BE =，根据勾股定理可得CE ，AE ，DE 的长度，即可求面积比．
【详解】
解：
6BC =，8AC =，
10AB ∴=，
折叠，
5AD BD ∴==，AE BE =，
22BC CE BE +=2， 2236(8)CE CE ∴+=-， 74CE ∴=， 725844
AE ∴=-=， 22154DE AE AD ∴=-=
， 11::14:2522
BCE ADE S S BC CE AD DE ∆∆∴=⨯⨯⨯=， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是熟练运用勾股定理求线段的长度．
7．B
解析：B
【分析】
画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB ，然后根据勾股定理求出AB 即可求出结论．
【详解】
解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB
AB 恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12 宽为5
∴=13
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B ．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与最短路径问题，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键． 8．B
解析：B
【分析】
根据题意可知AOB 为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB 的长度，从而得出OP 长度，即可选择．
【详解】
∵AB OA ⊥
∴AOB 为直角三角形．
∴在Rt AOB 中，OB
根据题意可知2=1OA AB =，， ∴
OB
又∵OB OP =，
∴P
故选：B ．
【点睛】
本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB 的长是解答本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】
A. 1中不全是正整数，不是勾股数，不符合题意，
B. 0.3，0.4，0.5中都不是正整数，不是勾股数，不符合题意，
C. 152+82=172，且15，8，17都是正整数，是勾股数，符合题意，
D.
35，45
，1中不全是正整数，不是勾股数，不符合题意， 故选C ．
【点睛】 本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足222+=a b c ，且a ，b ，c 是正整数，则a ，b ，c 叫做勾股数”是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解．
【详解】
∵P(1-，3)，原点坐标为（0，0），
∴点P(1-，3)到原点的距离=22(10)(30)10--+-=，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握“若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB=221212()()x x y y -+-”，是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．
【详解】
设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，
则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，
在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，
∴S=3，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【详解】
解：由条件可得：
2213 113
1
24
a b
ab
a b
⎧+=
⎪
-
⎪
=
⎨
⎪
>>
⎪⎩
，
解之得：
3
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
所以2
()25
a b
+=，
故选A
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．
二、填空题
13．101【分析】取AB的中点O过D作DE⊥AB于E根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB的中点O过D作DE⊥AB于E如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸则
解析：101
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝
1
2
CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
14．11cm12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大h最大=24﹣12=12（cm
解析：11cm 12cm
【分析】
根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度=13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．15．4或【分析】分5是斜边和5是直角边两种情况再分别利用勾股定理即可得【详解】由题意分以下两种情况：（1）当5是斜边时则第三边长为；（2）当5是直角边时则第三边长为；综上第三边长为4或故答案为：4或【点
解析：4
【分析】
分5是斜边和5是直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）当5是斜边时，
=；
4
（2）当5是直角边时，
=
综上，第三边长为4
故答案为：4
【点睛】
本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
16．25【分析】要求长方体中两点之间的最短路径最直接的作法就是将长方体侧面展开然后利用两点之间线段最短解答【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形如图1：∵长方体的宽为1
解析：25
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴10515BD CD BC =+=+=，20AD =，
在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得： ∴2222152025AB BD AD ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴20525BD CD BC =+=+=，10AD =， 在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得：
∴22221025529AB BD AD =+=+=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5．
∴201030AC CD AD =+=+=，
在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：
∴2222305537AB AC BC +=+=
∵25529537<
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
17．6【分析】根据题意和图形可以得到AB2和AC2再根据△ABC 是直角三角形和勾股定理可以得到BC2【详解】解：∵两个正方形的面积分别是
S1=18S2=12∴AB2=18AC2=12∵△ABC 是直角三角
解析：6
【分析】
根据题意和图形，可以得到AB 2和AC 2，再根据△ABC 是直角三角形和勾股定理，可以得到BC 2．
【详解】
解：∵两个正方形的面积分别是S 1=18，S 2=12，
∴AB 2=18，AC 2=12，
∵△ABC 是直角三角形，
∴BC 2=AB 2-AC 2=18-12=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．【分析】先根据勾股定理求出AC 的长再利用网格的特点和三角形的面积解答即可【详解】解：如图△ABC 的面积＝×BC×AE ＝2由勾股定理得AC ＝＝则××BD ＝2解得BD ＝故答案为：【点睛】本题主要考查了勾
【分析】
先根据勾股定理求出AC 的长，再利用网格的特点和三角形的面积解答即可．
【详解】
解：如图，△ABC 的面积＝12
×BC ×AE ＝2，
由勾股定理得，AC
则12BD ＝2，解得BD
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握勾股定理、明确求解的方法是关键．
19．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm
【分析】
由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．
【详解】
∵90C ∠=︒ ∴222217815BC AB AC -=-=
同理 22221086CD AD AC =-=-=
∴1569BD BC CD =-=-=
故答案为：9cm ．
【点睛】
本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．
20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直 解析：13【分析】
直接根据勾股定理求解可得．
【详解】
解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，
∴224+6=213 故答案为：13
【点睛】
本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长
的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）17AD =
【分析】 （1）根据△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形可得DC CE =，BC CA =，再根据两个角的和可得BCD ACE ∠=∠，从而判断两个三角形全等；
（2）根据△ACE ≌△BCD ，以及角的和可得DAE △为直角三角形，根据DCE 为等腰直角三角形，可求出DE 的长度，再根据勾股定理求出AD 的长度即可．
【详解】
（1）△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形
∴90BCA DCE ∠=∠=，DC CE =，BC CA =
∴BCD DCA DCA ACE ∠+∠=∠+∠
∴BCD ACE ∠=∠，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；
（2）△ACE ≌△BCD
∴CBD CAE ∠=∠
∴90CBD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠=
∴DAE △为直角三角形
DCE 为等腰直角三角形
∴22223332DE DC CE =+=+=△ACE ≌△BCD
∴BD=AE=1
∴2218117AD DE AE =-=-=
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的性质、判定定理以及勾股定理得运用，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，熟练运用角和角之间的关系是解题的关键．
22．132
试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．
试题
过点B 作BC ⊥AD 于C ，
所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，
在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =
+=+=m, 答：机器人从点A 到点B 之间的距离是
132m ． 考点：勾股定理．
23．（1）见解析；（2）25；（3）3
【分析】
（1）在平面直角坐标系中，描出A ，B ，C 三点，然后顺次连接，即可画出△ABC ； （2）由勾股定理来求线段BC 的长度；
（3）△ABC 的底是BC 的长度，高是点C 的纵坐标，由三角形的面积公式进行解答．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）在直角△BOC 中，由勾股定理得到：BC ＝22OB OC +＝2242+＝25，即线段BC 的长是25；
（3）S △ABC ＝12AC×OC ＝12
×3×2＝3，即△ABC 的面积是3．
【点睛】
本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
【分析】
在直角△ACD 中利用勾股定理得出CD 的长，再利用在直角△BCD 中利用勾股定理求得BD ，再根据线段的和差关系求得AB 的长．
【详解】
解：（1）∵CD ⊥AB 于D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵在直角△ACD 中，AC=20，AD=16，
∴
=12；
∵在直角△BCD 中，BC=15，CD=12，
∴
，
∴AB=AD+BD=25．
【点睛】
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．正确求出CD 的长是解题的关键．
25．见详解
【分析】
先推出DAB ∠=90°，再根据ADB DCB ADCB S S S =+=△△四边形ADC ACB S S +△△，即可得到结论．
【详解】
证明：如图2，连结DB 、DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-． ∵ABC DAE △≌△，
∴ABC DAE ∠=∠．
∵ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴90ABC BAC ∠+∠=︒，
∴DAB ∠=∠DAE+∠BAC=90°． ∵ADB DCB ADCB S S S =+=△△四边形212c +1()2
a b a -． 又∵21122ADC ACB ADCB S S S b ab =+=
+△△四边形， ∴212c +1()2a b a -=21122
b ab +， ∴222+=a b
c ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明，添加辅助线，利用割补法表示图形的面积，是解题的关键．
26．（1）125
；（2）见解析；（3）不变，12
（1）根据勾股定理求出AD=5，再根据等积法可求出h的值；
（2）过E点作EF⊥AC于F，证明△ACD≌△EFA，可得CB=EF，再证明△BCM≌△EFM即可得到结论；
（3）由△BCM≌△EFM，得CM=FM，即CM=1
2
CF，再证明CF=
BD，即可得出结论．【详解】
解：（1）∵AC=BC=3，BD=1
∴CD=3+1=4，
在Rt△ACD中，2222
345
AD AC CD
=+=+=
∵11
22
⋅=⋅
AD h AC CD，
∴3412
55
⋅⨯
===
AC CD
h
AD
（2）过E点作EF⊥AC于F，
∵AD⊥AE，EF⊥AF，
∴∠DAE=∠AFE=90°，
∵∠DAC+∠EAF=90°，
∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠DAC=∠AEF，
在△ACD和△EFA中，
DAC AEF
ACD AFE
AD AE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACD≌△EFA（AAS）
∴EF=AC=3 ，AF=CD，
∵AC=CB，
∴CB=EF，
在△BCM和△EFM中，
90 BCM EFM BMC EMF
CB EF
∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△BCM ≌△EFM （AAS ） ，
∴BM =EM ，
∴M 为BE 的中点
（3） 由（2）知△BCM ≌△EFM ，
∴CM =FM ，
∴CM =12
CF ， 由（2）知△ACD ≌△EFA ，∴AF =CD ，
∵AC =CB ，
又∵CF =AF -AC ，
∴CF =CD -CB=BD ，
∵CM =
12CF =12BD ， ∴CM BD =12
． 【点睛】
本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用等积关系解决线长度问题．。