沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形及方位角的应用

(1)求BC的长1； 3
(2)求tan∠DAE的值．
知3－练
感悟新知
知3－练
解： (1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，∴BD＝，
感悟新知
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形 知2－练
例如3图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，∠A 4 3
＝60°，解这个直角三角形．
导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的
度数，然后根据sinA＝，求 BC 出BC的长，再运用勾股定理求A出BAC的长．
感悟新知
知2－练
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－60°＝30°.
第23章解直角三角形
23.2解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形及 方位角的应用
学习目标
1 课时讲解
已知两边解直角三角形、 已知一边及一锐角解直角三角形、 已知一边及一锐角的三角函数值解
直角三角形、方位角
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 已知两边解直角三角形
感悟新知
知4－练
2．一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°的方向，继续向南航行 30 海里 到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°的方 向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是( B )(结果
保留小数点后两位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
直接抽象出直角 三角形
抽象出图形，再添 设辅助线求解
知一斜边一直角 解直角三角形
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
AC
的长． AB
BC
感悟新知
知2－练
解：在Rt△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠A＝90°－42°6′＝47°54′.
∵cosB＝，∴cos42°6′＝，
∴AB＝≈20BA.CB22.
15 AB
15
cos426
∵tanB＝，AC∴AC＝BC·tanB＝15·tan42°6′≈13.55. BC
a
(3)根据cosA＝求出b的值或根据勾股定理求出b的值．
c b c
感悟新知
例4如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15， ∠B＝42°6′.解这个直角三角形(精确到0.01)．
知2－练
导引：先根据∠A＋∠B＝90°求出∠A的度数，再根据cosB
＝求出AB的BC长，最后根据tanB＝求出AC
sin A BC ,sin60 BC ,
AB
43
BC 4 3 sin60 4 3 3 6. 2
AC AB2 BC2 (4 3)2 62 12 2 3.
感悟新知
归纳
知2－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题．已知斜边和一锐角
解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据∠A＋∠B＝90°求出另一锐角； (2)根据sinA＝求出a的值；
＝35，则
AB
16 边的长为____5____．
感悟新知
知识点 4 方位角
知4－导
方向角问题：指北或指南方向线(或者指东或指西方向线) 与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目 标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°， 北偏西70°.特别地，像目标方向线OD表示南偏西45°通常 称目标方向线OD为西南方向．同理还有东北方向、 西北方向、东南方向．
斜边解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据a＝或b＝求出另一直角边；
(2)根据sinA＝c（2 或bc2osA＝）求c2 出 a∠2A的度数；
(3)利用∠B＝90°a－∠A求出∠B的b 度数．
c
c
感悟新知
知1－练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 5，AC＝ 15， 则∠A 的度数为( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
感悟新知
解：如图所示，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝5，c＝
5 2,
b c2 a2 (5 2)2 52 5.
sin A a
5

2 ,
c 52 2
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.
知1－练
感悟新知
归纳
知1－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一直角边和
1
∴BC＝BD＋DC＝
AD sin B
2 2 1.
3
AB2 AD2 2 2
感悟新知
1 (2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝
2
∴DE＝CE－CD＝ 2 1 ,
∴tan∠DAE＝
2
DE 2 1 .
AD 2
知3－练
21, 2
感悟新知
知3－练
1．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，AC＝2，cos C
解： 过点C作CD⊥AB于点D，设CD=xnmile.
在Rt△ACD中，AD=. CD x
在Rt△BCD中,BD=. tanCAD tan30
由AB=AD-BD,得
CD x tanCBD tan60
AB=即
解 答方 ：程 这t， 船anx3得 继0 续ta向nx60东 航20，行是安x全3 的 .x3 20.
感悟新知
例如6图，一船以20的速度向n 东mi航le 行，在A处测 得灯塔C在北偏东60°的方向上h ，继续航行1h到达B
处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C 四周10nmile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安 全？
知4－练
感悟新知
知4－练
分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线 的距离是否大于10nmile.
感悟新知
归纳
知2－讲
本题运用数形结合思想和定义法求解．已知一直角边和 一锐角解直角三角形的一般步骤是： (1)根据∠A＋∠B＝90°，求出另一锐角； (2)当已知一锐角和其邻边时，运用余弦的定义求出斜边，运 用正切的定义求出其对边；当已知一锐角和其对边时，运用正 弦的定义求出斜边，运用勾股定理求出其邻边．
(3)利用∠B＝90°a －∠A求出∠B的度数. b
感悟新知
知1－练
例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝，解 5 2
这个直角三角形．
导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求 出另一条直角边，然后根据正弦(或余弦)的定义 求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B 的度数．
c a2 b2 62 (2 3)2 4 3.
tan A a 6 3, b 23
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
知1－练
感悟新知
归纳
知1－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题．已知两条直角边，
解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据c＝求出斜边的长；
(2)根据tanA＝a2求出b2∠A的度数；
A．4.64 海里 C．6.12 海里
B．5.49 海里 D．6.21 海里
课堂小结
解 直 角 三 角 形
直的 角边 三角 角关 形系
知一边一锐角解直
角三角形
解
直
角
三
角
知两边解直角
形
三角形
知斜边一锐角解直 角三角形
知一直角边一锐角 解直角三角形
知两直角边解直 角三角形
实际 应用
添设辅助线解直角 三角形
知1－练
例在1Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝，解这 2 3
个直角三角形．
导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求出 斜边长，然后根据正切的定义求出∠A的度数，再利 用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．
感悟新知
解：如图所示，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝
2 3,
感悟新知
知2－练
1．在△ABC 中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则 a 等于( B )
3 A. 3
B. 3
C．6
3 D.2
感悟新知
知识点 3 已知一边及一锐角的函数值解直角三角形
例(中5 考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上 的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB
＝，AD＝1.
x 10 3＞10. 3
感悟新知
知4－练
1．如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨 所 400 米的 A 处有一艘船向正东方向航行，航行一 段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处，则此时 这艘船与哨所的距离 OB 约为___5_6_6___米(结果精确 到 1 米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．