【完整】高中数学必修四平面向量基本定理资料PPT

学以致用
1、如图，已知梯形ABCD，
DM
C
AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别
是DC、AB的中点.
A
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
平面向量基本定理的应用
例 2：e设 1,e2是两个不共已 线A 知 的B 向 2e1量 ke2,， CB e13e2,CD 2e1e2,若 A,B,D三点共线k， 的求 值
1、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点. 说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已
时,
， 与 共线.
b a 0 2. 当 下列说法中，正确的有： （
）
当
时：
时：
与 方向相反。
3. 当 0 时： b0a0
创设情境、提出问题
a
b
请大家现在用平行四边形法则作出 a2b,a1b 2
小结
1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来
3理）零解向量，不可它以为说基底明中的在向量同. 一平面内任一向量都可以表示为不共线向
思考：平面内的任一向量 是否都可以用不共线的向量
表示出来呢？说出你做的步骤。
时量, 的，线与性共组线. 合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质
,用 、 表示 .
即 a1e1+2e2
演示
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
»探究定理 1. 基底 e 1、e 2 条件： 不共线向量
内涵
基底组数： 无数组
2 . 定 理 中 a 1 ， a 2 的 值 是 否 唯 一 ？
当
时：
基底 、 条件：
b a
3、定理中 、 的值是否唯一？能为0吗？
当
时：
长度： b a 变式 设M是△ABC的重心，若MA= a,
变式 设M是△ABC的重心，若MA= a,
量用这组基底表示出来.
当
时：
方向：1. 当 0 时： b 与 a 方向相同。 请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其它向
知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而
三维：空间向量的基本定理
例3 如右图, O、A O不B共线，
P
APtAB(,t用R 、) 表O 示A O. B O P
B
分析：求O P ，由图可知
O
A
O PO AA P APtAB
OAtAB 而 A BO BO A
解： APtAB O PO AA P
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其它向
例3 如右图, 、 不共线，
思考：平面内的任一向量 是否都可以用不共线的向量
表示出来呢？说出你做的步骤。
二维：平面向量的基本定理 1、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别是DC、AB的中点.
揭示内涵、理解真理
a1e12e2
3、定理中 1 、 2 的值是否唯一？能为0吗？
答案： ， 1唯一 确2 定,可以为零.
特别的：1 0Leabharlann 2 0 时,a ，2 e2与
a共线e. 2
1 0,2 0 时, a ，1e1 与 a 共线.e 1
1 2 0 时, a 0
学以致用
下列说法中，正确的有： （ 2、3 ） 1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平
高中数学必修四平面向量基本 定理
温故知新
一. 向量的加法： a
b
1.三角形法则：
B
b
a
ab
A
首尾相接
2.平行四边形法则：
B
C
C
a
ab
A
D
b
共同起点
二. 向量的减法：
B
a
ab
共同起点 指向被减数 A b
D
温故知新
二、向量共线定理:
向量 与b 非零向量 共a 线,则有且只有一个实数 ，
使得 ：
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示
若向 e1,e2量 不共线 a1 ， e1且 2e2,b3e14e2 如a果 b,那 么 2 1 3 4
本题在解决过程中用到了共线向量基本定理，以及待定系数法 列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切 实掌握好。
学以致用
3.已i,知 j是不共A 线 B 3i 的 2j,C 向 B i量 j,C， D 2ij， 若 A ,B ,D 三点共 的 线 值 ， 。 求
面所有向量的基底；
2）若 1e12e20(e1与 e2不共 ,则 1线 2） 0
3）零向量不可以为基底中的向量.
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
分析：为了求MA和MD， D
C
关键是先求AC,DB. b
M
A
a
B
M A A C 1(a b )1a1b
OAtAB
O A t(O B O A )
(1t)O A tO B
说明：同上题一样，我们要找到与未知相关连的量，来解 决问题，避免做无用功！
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
试用 a , b 表示AG。
2
22
M D1DB1a1b
2
22
平面向量基本定理的应用
例1：在 ABCD中，ABa，ADb。
D
(1)如果 E 、F 分别是B C 、D C 的中点，
试用 a 、b 分别表示B F 和 D E 。 A
F
C
N•
E
•
B
M
说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已 知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而 使问题简化.
是一个向量在其他两个向量上的分解。 知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而
试用 、 分别表示 和 。
下列说法中，正确的有： （
）
不共线的向量，那么对于这一平面内
变式 设M是△ABC的重心，若MA= a,
与 方向相反。
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示
2.一维：向量的共线定理 3）零向量不可以为基底中的向量.
B a
A
b
a+2b
D
b
C
C
B
a1b a
2
D'
D1 1 b
2
A
b
D
数形结合 探究规律
思考：平面内的任一向量 a 是否都可以用不共线的向
量 e1与e2表示出来呢？说出你做的步骤。
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2