赣马高级中学高三数学解答题专题训练

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （2sin
x -，)2
sin x ， B （2sin
x ，)2cos 2x -，C （2
cos x
，0）． （Ⅰ）求向量AC 和向量BC 的坐标；
（Ⅱ）设x f ⋅=)(，求 )(x f 的最小正周期；
（Ⅲ）求当12[π∈x ，]65π
时，)(x f 的最大值及最小值．
16.（本小题满分13分）
已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时，)(x f 取得极值2-．
（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）当∈x ]3,3[-时，m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．
17.（本小题满分13分）
已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．
（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{
n n
a 2
}是等差数列；（Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S ． 18.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD 内的射影为A ，
P
D
B A
C
E
且2==AB PA ，E 为PD 中点．
（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；
（Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；
（Ⅲ）求二面角D PC B --的大小．
15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）=2sin 2(cos x x +，)2
sin x -，
BC =2sin 2(cos x
x -，)2
cos 2x ． …………………………………2分
（Ⅱ）ΘBC AC x f ⋅=)(
= 2
cos 2)2sin ()2sin 2(cos )2sin 2(cos x
x x x x x ⋅-+-⋅+ …………4分
= 2
cos 2sin 22sin 2cos 22
x
x x x -- = x x sin cos - …………………………………6分
= )2
2
sin 22(cos 2⋅-⋅
x x =)4
cos(2π
+x …………………………………8分 ∴)(x f 的最小正周期π2=T ． …………………………………9分
（Ⅲ）∵
≤
≤x 12
π
65π， ∴12
1343πππ≤+≤x ．
∴ 当ππ
=+
4
x ，即x =
4
3π
时，)(x f 有最小值2-， ………………11分 当3
4
π
π
=
+
x ，即x =
12
π
时，)(x f 有最大值22． ……………12分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由)(x f 是R 上的奇函数，有)()(x f x f -=-， …………………………1分
即d cx ax d cx ax ---=+--33，所以0=d ．
因此cx ax x f +=3)(． …………………………………2分
对函数)(x f 求导数，得c ax x f +='23)(． ……………………………3分
由题意得2)1(-=f ，0)1(='f , ……………………………4分
所以⎩⎨⎧=+-=+.03,
2c a c a …………………………………5分
解得3,1-==c a ,
因此x x x f 3)(3-=．
…………………………………6分
（Ⅱ）)(x f '332-=x ． ………………………7分
令332-x >0，解得x <1-或x >1，
因此，当∈x (－∞,－1)时，)(x f 是增函数；
当∈x (1,＋∞)时，)(x f 也是增函数． …………………………………8分
再令332-x <0, 解得1-<x <1，
因此，当∈x (－1,1)时，)(x f 是减函数． ……………………………9分
（Ⅲ）令)(x f '=0，得1x =－1或2x =1．
当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化如下表.
…………………………………11分
从上表可知，)(x f 在区间]3,3[-上的最大值是18 .
原命题等价于m 大于)(x f 在]3,3[-上的最大值,
∴18>m ． …………………………………13分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）622212=+=a a ，
2022323=+=a a ． …………………………………2分
O
E
C
A
B
D
P
（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ，
∴
),2(12
2*
11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， …………………………………3分 即
),2(12
2*
11N n n a a n n n n ∈≥=---且． …………………………………4分 ∴数列}2{
n
n a 是首项为21
211=a ，公差为1=d 的等差数列． …………5分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
,21
1)1(21)1(2
12-=⋅-+=-+=n n d n a n n ……………………………7分
∴n n n a 2)2
1
(⋅-=． ……………………………8分
……………………………10分
32)23(-⋅-=n n ．
∴32)32(+⋅-=n n n S ． ……………………………13分
18．(本小题满分14分)
（Ⅰ）
证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．
ΘO 为BD 中点，E 为PD 中点，
P
D
B
A
C
E
H
C
B
P
H O
C
A
B
D
P
F ∴EO//PB ． ……………………1分
ΘEO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………2分
∴ PB//平面AEC ． ……………………3分 （Ⅱ）
证明：ΘP 点在平面ABCD 内的射影为A ，
∴PA ⊥平面ABCD ．
Θ⊂CD 平面ABCD ，
∴CD PA ⊥． ……………………4分
又Θ在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分
∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分
又Θ⊂CD 平面PCD ，
∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分
（Ⅲ）
解法一：
过点
B 作BH ⊥P
C 于H ，连结
DH ． ……………………8分
易证PDC PBC ∆≅∆，∴DH ⊥PC ，BH=DH,
∴BHD ∠为二面角B —PC —D 的平面角． ……………………10分
Θ PA ⊥平面ABCD,
∴AB 为斜线PB 在平面ABCD 内的射影，
又BC ⊥AB,
∴BC ⊥PB.
又BH ⊥PC,
∴PB BC PC BH ⋅=⋅,
36
23
2222=⨯=
BH , ……………………11分 在BHD ∆中，
=21316383
6
2362283838-=-
=⨯
⨯-+， ……………………12分
∴ ο120=∠BHD ， ……………………13分
∴二面角B —PC —D 的大小为ο120． ……………………14分。