第28讲算术平均数与几何平均数课件课件

2
＝
a－b2 2.
当且仅当 x－a＝b－x，即 x＝a＋2 b时，上式等号成立． ∴当 x＝a＋2 b时，ymin＝a－2 b2.
[点评] (1)因为 4x－5<0，所以首先要“调整”符号；又(4x－ 2)·4x－1 5不是常数，所以要对 4x－2 进行拆(添)项“配凑”．
(2)注意到ax＋by＝1，将 x＋y 乘以 1 后数值大小不变，可转化成基本 不等式．
类型二 利用基本不等式求最值
解题准备：在运用基本不等式证明不等式或求最值时，注意掌 握“凑”(凑项、凑因式)的技巧，其目的一是创造一个应用重要 不等式的情境；二是找使等号成立的条件．
【典例 2】 (1)已知 x<54，求函数 y＝4x－2＋4x1－5的最大值； (2)设 a、b 是正常数，x、y∈R＋，ax＋by＝1，则 x＋y 的最小值是多少？ (3)已知 a、b 为实常数，求函数 y＝(x－a)2＋(x－b)2 的最小值． [解析] (1)∵x<54，∴5－4x>0， y＝4x－2＋4x1－5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立．故当 x＝1 时， ymax＝1.
A．a2＋b2
B.2 ab
C．2ab
D.a＋b
解析：∵a，b∈R，且 a≠b， 则 a2＋b2＞2ab，a＋b＞2 ab. 又 0＜a＜1,0＜b＜1，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b. (本题也可以用特殊值法)．
答案：D
3．设 a、b∈R＋，且 a＋b＝4，则有( )
A.a1b≥12
分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体
现了分类讨论这一重要的数学思想．本题中的分类讨论思想很
隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中 要重视．
解析：设每小时的燃料费为 y1，比例系数为 k(k>0)，则 y1＝kv2. 当 v＝12 时，y1＝720. ∴720＝k·122，得 k＝5.
(3)从函数解析式的特点看，本题可以化为关于 x 的二次函数，再通 过配方求最小值(留给读者去完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值， 则用变形不等式m2＋2 n2≥m＋2 n2 更简捷．
探究 1：已知函数 y＝4x＋9x， (1)若 x＞0 时，当 x＝________时，函数有最________值________；
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费 用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时， 其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
[分析] 列出函数表达式，用均值不等式或单调性或导数法求 解．
[解析] (1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，由 题意知，面粉的保管等其他费用为
[点评] a2＋b2≥2ab(a，b∈R)可变形为 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab( b∈R＋)可变形为 ab≤a＋2 b2 等．同时要从整体上把握重要不等式，如 a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R 的灵活运用．本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通 不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式．这种证明方法在证明 类轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为 y1 元， 则 y1＝[9xx＋1x＋900]＋1800×6
＝90x0＋9x＋10809≥2 90x0·9x＋10809＝10989. 当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时取等号． 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少．
a b
＝
－
－ba＋
－ab ≤ －
－ba·－ab＝－2
解析：A 中a13与 a3 未必均为正，论证错误；
B 中，当 x＞0 时，cosx 与co1sx同样也未必为正，论证错误； C 中，当 x＜0 时，
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
[证明] (1)∵a2＋2 b2≥a＋2 b2， ∴ a2＋2 b2≥|a＋2 b|≥a＋2 b，即 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 同理 b2＋c2≥ 22(b＋c)， c2＋a2≥ 22(c＋a)， 三式相加得
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
(2)∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2， c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)， 即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc ＝abc(a＋b＋c)． 综上得，a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
(2)若 x∈(0，25]时，当 x＝________时，函数有最________值________； (3)若 x∈[4，＋∞)时，当 x＝________时，函数有最________值 ________．
分析：用算术平均数与几何平均数定理可求得(1)，而求(2)，(3) 时，必须使用函数单调性，不能用算术平均数与几何平均数定 理，因为“＝”取不到．
－x·－4x＝－4，论证错误；
D 中ba与ab均为负，转化为－ba与－ab均为正，可利用基本不等式，故
选 D.
答案：D
类型一 利用基本不等式证明不等式
解题准备：证明不等式时应根据求证两端的结构，合理选择重 要不等式及其变形不等式．
【典例 1】 已知 a，b，c∈R，求证： (1) a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)； (2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
2 P. (2)x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时 xy 有最大值
S2 4.
考点陪练
1.函数 f(x)＝x＋x1的最大值为(
)
2
1
A.5
B.2
2
C. 2
D.1
解析：将解析式整理，得 y＝
1 x＋
1 ，利用均值不等式求得 x
f(x)的
最大值为12.
答案：B
2．0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，下列各数中最大的是( )
类型三 利用均值不等式解实际问题
解题准备：1.应用均值不等式解决实际问题时，关键是如何把 等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，要审清题 意，找出相应关系，利用均值不等式解决有关最优化问题．
2．基本步骤是：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不 等式关系；④作出问题结论．
【典例3】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均 每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．
第二十八讲 算术平均数与几何平均数
回归课本 1.基本不等式 设 a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)，要认识到 a 和 b 代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量式，应用 广泛． 2．均值不等式 设 a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，不等式取等 号．它的证明要能从②中得出，既是对②中 a，b 的灵活变式，又具有自 身特点，a，b∈(0，＋∞)．
B.1a＋1b≥1
C. ab≥2
D.a2＋1 b2≥14
解析：由 a，b∈R＋，且 a＋b＝4 得 2 ab≤4⇔ ab≤2，a1b ≥14，又
由a2＋1 b2
≤a＋1b

2
＝14
，即a2＋1 b2
≤14
.由此可知，A，C，D
都不正
2
确，则只有 B 正确，故选 B.
答案：B
4．设 0<x<1，a，b 都为大于零的常数，则ax2＋1－b2 x的最小值为(
(2)∵a，b 为正常数，x、y∈R＋且ax＋by＝1，
∴(x＋y)＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋axy＋byx≥a＋b＋2 ab
故(x＋y)min＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2.
(3)
∵
y
＝
(x
－
a)2
＋
(x
－
b)2
＝
(x
－
a)2
＋
(b
－
x)2≥
[x－a＋b－x] 2
3. 灵活变式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤a＋2 b2； (4)a＋2 b2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab. 当且仅当 a＝b 时各式中等号成立．
4．利用两个定理求最大、最小值问题 (1)x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时 x＋y 有最小值
(2)∵不少于 210 吨，每天用面粉 6 吨，∴至少每隔 35 天购买一次面 粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面粉．
平均每天支付的总费用为 y2 元，则 y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90
＝90x0＋9x＋9729(x≥35)． 令 f(x)＝x＋10x0(x≥35)，x2>x1≥35，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋1x010－x2＋1x020
[点评] 当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在 定义域内时，就不能使用均值不等式求出最值，而是根据变量 的范围用函数的单调性或用导数法求解．
探究2：已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地， 水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8<v≤v0)．若船每小 时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h 时，每小时的燃料费为720元．为了使全程燃油费最省，船的实 际速度v0应为多少？
(3)y＝4x＋9x，在 x∈23，＋∞上单调递增，
∴当 x＝4 时，ymin＝37.
∴若 x∈[4，＋∞)，当 x＝4 时，函数有最小值为 37.
答案：(1)23
小
12
2 (2)5
小
68 5
(3)4
小
37
点评：此题考查函数 f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，x＞0)最值的求法．可 用算术平均数与几何平均数定理求解，但必须保证等号取到．若等号取 不到，可用其单调性求最值．函数 f(x)＝ax＋bx，在 x∈(0, ab)上单调递 减，在[ ab，＋∞)上单调递增．
＝x2－x1x11x020－x1x2
∵x2>x1≥35， ∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， 即 f(x)＝x＋10x0，当 x≥35 时为增函数， ∴当 x＝35 时，f(x)有最小值，此时 y2<10989. ∴该厂应该接受此优惠条件．
)
A．(a－b)2
B.(a＋b)2
C．a2b2程正确的是( )
A．若 a∈R，则a13＋a3≥2
a13·a3＝2
B．若 x＞0，则 cosx＋co1sx≥2 cosx·co1sx＝2
C．若 x＜0，则 x＋4x≤2 x·4x＝4
D．若
a，b∈R，且
ab
＜
0
，
则
ba＋
设全程燃料费为 y，依题意有
y
＝
200 y1·v－8
＝
1000v2 v－8
＝
1000
v＋8＋v6－48
＝
1000(v
－
8
＋
64 v－8
解析：(1)∵x＞0，∴y＝4x＋9x≥12 (当且仅当4x＝9x，即 x＝23时，取“＝”号)． ∴当 x＝23时，函数 y 有最小值为 12. (2)∵y＝4x＋9x 在 x∈0，23上单调递减， 在 x∈23，＋∞上单调递增， ∴当 x＝25时，ymin＝658， 故 x∈0，25，当 x＝25时，函数有最小值为658，