教学大纲_微分方程

《微分方程》教学大纲
课程编号：121362B
课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课
□专业必修课√专业选修课
□学科基础课
总学时：32讲课学时：24实验（上机）学时：8
学分：2
适用对象：金融工程专业
先修课程：微积分、线性代数
一、教学目标
《微分方程》是为金融工程专业本科生而开设的专业选修课。

微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，作为基本数学工具，微分方程在数学及其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理相关学科中，微分方程的理论和方法也有其重要的作用。

现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济学相关问题具有极大帮助。

课程教学以常微分方程为主，学生在学完本课程后，在思想、知识和能力等方面应达到以下目标：
目标1：了解常微分方程基本理论及方法
目标2：系统理解各类常微分方程求解方法
目标3：通过本课程的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法。

目标4：培养学生分析和解决问题的能力，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些线性、非线性问题，初步具备运用微分方程方法解决系列问题的能力，为后续课程打下基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系
教学内容讲授上的要求：
本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。

对拟实现的教学目标所采取的教学方法、教学手段：
本课程以教师讲授为主，采用传统与现代教学方法、手段相结合，辅以课堂讨论及课后学生自主学习等。

重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。

对实践教学环节的要求：
要求理论方法密切联系实际，掌握运用微分方程分析和解决实际问题的能力。

对课后作业以及学生自学的要求：
随堂布置相应课后作业，自学内容推荐参考教材及参考书目。

该课程从哪些方面促进了毕业要求的实现：
本课程进一步丰富了学生运用现代数学方法与手段，解决经济学等相关领域应用问题的思维及能力。

三、各教学环节学时分配
以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：
教学课时分配
四、教学内容
第一章绪论
第一节微分方程及其解的定义 (理解)
1.微分方程、阶、解。

2.隐式解、通解与特解。

3.初值条件、初值问题。

第二节微分方程及其解的几何解释
积分曲线与方向场、奇异点、通积分等。

(了解)
教学重点、难点：微分方程的定义，通解与特解。

（教学中引入适当方程对内容加以理解和说明，并应用举例。

）
课程的考核要求：通过本章的学习使学生理解微分方程及其解的基本概念。

复习思考题：本章课后习题。

第二章一阶常微分方程的初等解法
第一节变量分离方程与变量变换
1.变量分离方程及基本解法。

(掌握、运用)
2.可化为变量分离方程的类型。

(了解)
3.应用举例。

(理解)
第二节线性微分方程与常数变易法
1.一阶线性微分方程。

(掌握、运用)
2.常数变易法求解。

(掌握、运用)
3.可化为一阶线性方程的方程类型(了解)、应用举例(理解)。

第三节初等变换法
1.齐次方程及基本解法。

(掌握、运用)
2.可化为齐次方程类型及基本变换解法。

(理解)
3.初等变换法概要及相关微分方程举例。

(了解)
4.贝努里方程及求解。

(了解)
第四节恰当微分方程与积分因子
1.恰当微分方程及基本解法。

(掌握、运用)
2.可化为恰当方程的一阶微分方程、积分因子的寻找。

(理解)
3.积分因子法求解。

(理解)
4.分组求积分因子法求解。

(理解)
第五节一阶隐式微分方程与参数表示(了解)
1.可以解出y（或x）的方程。

2.不显含 y（或x）的方程。

第六节一阶常微分方程应用举例（可以分散在以上各节之中讲授）
教学重点、难点：理解一阶常微分方程变量变换法，常数变易法，初等变换法，积分因子法，一阶隐式方程参数法等方法求解。

（教学中引入适当方程对内容加以理解和说明，并在各节中附以应用举例。

）
课程的考核要求：通过本章的学习使学生了解：
1.微分方程中某些物理过程的数学模型；
2.微分方程的背景，建立微分方程求解应用问题的基本方法；
3.微分方程的基本概念。

复习思考题：本章课后习题,各节适当补充课堂练习题。

第三章一阶常微分方程的解的存在定理
第一节解的存在唯一性定理与逐步逼近法
1．解的存在唯一性定理及其证明。

(理解)
2. Lipschitz条件。

(了解)
3. Picard逼近序列、逐次逼近法。

(了解)
第二节解的延拓
解的延拓定理与延拓条件 (了解)
第三节解对初值的连续性和可微性定理 (了解)
教学重点、难点：解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理。

（教学中引入适当方程对内容加以理解和说明，并附以应用举例。

）课程的考核要求：通过本章的学习使学生了解：
1.解的存在唯一性定理与逐次逼近法；
2.解的延拓定理与延拓条件。

复习思考题：本章课后习题。

第四章高阶微分方程
第一节线性微分方程的一般理论
高阶齐次、非齐次线性微分方程、基本解组、基解矩阵等。

(理解) 第二节常系数齐次线性微分方程的求解和欧拉方程
1. 常系数齐次线性微分方程的求解。

(掌握、运用)
2. 欧拉方程求解。

(了解)
第三节常系数非齐次线性微分方程、比较系数法 (掌握、运用)
第四节高阶常微分方程的降价和幂级数解法 (了解)
1.可降阶的一些方程类型。

2.二阶线性微分方程的幂级数解法。

第五节应用举例（振动问题等）。

(了解)
教学重点、难点：
1.掌握高阶常系数线性微分方程（包括齐次方程、非齐次方程）的一般理论及求解。

2.理解特征根法、比较系数法、常数变易法、幂级数解法等方法求解。

（教学中引入适当方程对内容加以理解和说明，并附以应用举例。

）课程的考核要求：通过本章的学习使学生了解：
1. 线性微分方程的一般理论和解法；
2. 常系数线性微分方程的解法、特征根法、待定系数法等。

复习思考题：本章课后习题,各节适当补充课堂练习题。

第五章线性微分方程组
第一节解的存在唯一性定理。

(了解)
第二节线性微分方程组的一般理论。

(理解)
1.线性微分方程组的一般理论，矩阵表示法。

2.基解矩阵及常数变易法。

第三节常系数线性微分方程组的求解
1．矩阵指数函数的定义与性质。

(了解)
2. 常系数线性微分方程组一般理论，系数矩阵。

(理解)
3. 常系数线性齐次微分方程组的特征方程，及待定指数函数法求解。

(掌握、运用)
4.常系数线性非齐次微分方程组的求解-常数变易法。

(了解)
教学重点、难点：理解线性微分方程组的一般理论及解法，重点掌握并运用常系数线性微分方程组的基本求解。

（教学中引入适当方程对内容加以理解和说明，并附以应用举例。

）
课程的考核要求：通过本章的学习使学生了解：
1.线性微分方程组的一般理论；
2.基解矩阵及常数变易法，微分方程组解法；
3.常系数线性方程组的一般理论与求解。

复习思考题：本章课后习题,各节适当补充课堂练习题。

第六章非线性常微分方程 (了解)
1. 非线性微分方程的基本理论和运动稳定性概念。

2. 二维线性微分方程孤立奇点的分类。

3. 按线性近似决定奇点的分类与稳定性。

4. 李雅普诺夫第二方法。

5. 周期解与极限环。

教学重点、难点：理解非线性微分方程的基本理论的叙述和运动稳定性概念。

（教学中引入适当方程对内容加以理解和说明，并附以应用举例。

）课程的考核要求：了解二维线性微分方程孤立奇点的分类，按线性近似决定奇点的分类与稳定性，李雅普诺夫第二方法，周期解与极限环等。

复习思考题：本章课后习题。

五、考核方式、成绩评定
本课程采用的考核方法为考查形式。

平时成绩（包括作业和课堂讨论、出勤率）占总评成绩的百分之三十；期末考查成绩占总评成绩的百分之七十。

六、主要参考书及其他内容
[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第三版）．北京：高等教育出版社．2006.7
[2] 丁同仁，李承志．常微分方程教程（第二版）．北京：高等教育出版社．2004.7
执笔人：于威威教研室主任：系教学主任审核签名：。