专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用

第九章(二) 重积分的应用
重积分的应用十分广泛。

尤其是在几何和物理两方面。

几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。

物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。

在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析
例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围
成。

如图： y
1=xy （2，2）
)2
1
,2(
O 1 2 x [错解]8
9)2(2
2
12
2
2
1=
-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S y
D
σ [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。

问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。

[正确解] 2ln 23
2
2
11
212
1-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y D
dx dy dx dy d S σ 例2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)2
0(π
θ≤
≤与直线
2
π
θ=
所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。

[错解] 24
0234
20320
220
π
θθθσρπ
θ
π
====⎰⎰
⎰⎰⎰d r dr r d d M
D
[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第
一步是正确的。

注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为
22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。

问题
在于在直角坐标转化为极坐标时，dxdy 应由θrdrd 来代替，解题过程中缺少了一项r 。

导致计算结果错误。

因此r 务必不能遗漏。

[正确解] 40
024520420
22
π
θθθσρπ
θ
π
==⋅==
⎰⎰
⎰
⎰⎰d r rdr r d d M D
例3. 计算以xoy 面上的圆周122=+y x 围成的区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积。

[错解] ⎰
⎰
⎰⎰⎰+----==2
22
2
111
1
y x y y D
dz dx dy dV V
[分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极易导致计算错误。

该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。

[正确解] 2
4)(1
220
1
2
222
π
θπ
=
⋅=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+rdr r d dxdy y x dV V y x D
例4.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积。

[错解] 锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xoy 面上的投影
区域为x y x 22
2
≤+，因此=
==
⎰
⎰
⎰⎰θ
π
θcos 20
20
2rdr d dxdy S D
πθθπ
=⎰20
2cos 4d [分析]求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确
的。

但解法中忽略了求曲面积分在dxdy 前应有一因子2
2
1⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z 。

[正确解] 锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xoy 面上的投
影区域为x y x 22
2≤+。

而2112222222
2
=++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y x y y x x y z x z 。

因此
===⎰
⎰⎰⎰θ
π
θcos 20
20
222rdr d dxdy S D
πθθπ
2cos 2420
2=⎰d
例5．设薄片所占的闭区域D 为半椭圆区域：0;122
22≥≤+y b
y a x ，求均匀薄片的
重心),(y x 。

[错解]：2
ab
M πρ⋅
=，
0220
22=-=
⋅==⎰
⎰
⎰⎰⎰---dx x a x a
b
dy xdx xdxdy M x a a b
a
a
a
a
D
x ρρρ
所以0==
M
M y x。

又因23
2ab ydxdy M D
y ρρ=
=
⎰⎰，所以π34b M M
x y ==。

[分析]重心的计算公式为;M
M y x
=
π34b
M
M x y
=
=
，但⎰⎰=D
x ydxdy M ρ，而⎰⎰=D
y xdxdy M ρ。

此类公式容易混淆。

[正确解]如图，
0=x 。

-=
a
D
x ydy 232ab ρ
，2
ab M πρ⋅=，所以ab ab M M y x ρπρ23
2
2
==π
34b =，所以)34,0(),(πb y x =。

三、综合题型分析
例6.求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积：
D 由曲线3
3
3
3
4,,4,y x y x x y x y ====所围成的第一象限内的闭区域。

[分析]试着画草图发现区域D 的形状不容易确定。

但若注意到四条曲线方程可
变形为4,1,4,13333====y x y x x y x y 。

由此想到可令v y
x u x y ==33,，从而将不规则区域D 化成一个方形区域。

[解] 令v y x
u x y ==33,，则区域D 化为：41,41≤≤≤≤v u 。

8
38
18
18
3,-
-
-
-
==v u y v u x ，2
3
23
8
1),(),(--=∂∂=
v u v u y x J 。

81
8181414123
232323====⎰⎰⎰⎰⎰⎰----dv v du u v dud v u d A D
θσ
[方法小结]对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。

例7. 求平面
1=++c
z
b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积。

[分析] 根据曲面面积计算公式：⎰⎰∂∂+∂∂+=xy
D dxdy y
z x z A 2
2)()(
1，平面1=++c
z b y a x 在xoy 面上的投影为1=+b y
a x ，即以a,
b 为直角边的直角三角
形。

如图：
a x
[解]平面
1=++c z b y a x 可表示为y b c x a c c z --=。

故b
c y z a c x z -=∂∂-=∂∂,，
2
2
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2222222
22
211a c a b b a ab b c a c ++=++。

=∂∂+∂∂+=⎰⎰D
dxdy y z x z A 2
2)()(
1⎰⎰++D
dxdy a c a b b a ab 2222221 =
22222
22222222
1211a c c b b a ab a c a b b a ab ++=++ [方法小结] 根据曲面面积计算公式：⎰⎰∂∂+∂∂+=xy
D dxdy y
z x z A 2
2)()(
1。

首先须将曲面方程化成),(y x f z =的形式。

并求出曲面在坐标面上的投影区域。

本题
的特点在于因子2
2
1⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z 为一常数。

因此问题就转化为计算投影区域的面积。

而本题的投影区域恰好为一三角形。

故可直接求出其面积。

例8．计算由四个平面1,1,0,0====y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及
632=++z y x 截得的立体的体积。

[分析]首先要画出题设的柱体。

为此先考察柱体在xoy 面上的投影：
10,10≤≤≤≤y x 。

因为柱体被平面632=++z y x 所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。

x [解]
27229012326)326(101
21
10
3260
10
10
=⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰--dx x dx y xy y dy
y x dx dz dy dx dV V o y
x D
[方法小结]求立体图形的体积,关键在于正确地画出图形.为此须了解各类常见空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。

并能绘出各类几何体的交点或交线。

从而确定所求几何体的形状。

例9．求由平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面
z y x -=+622截得的立体的体积。

[分析]求立体的体积，首先需画出草图。

注意到抛物面z y x -=+622开口向下，因此截柱体所得立体以z y x -=+622为顶，以平面0=z 为底。

而在xoy 面上的投影区域为一三角形区域, 由1,0,0=+=
=y x y x 所围成。

z x [解]
617)1(316601316)6(103321
3210
2210
60
10
10
2
2=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰----dx x x x x dx x y y x y dy
y x dx dz dy dx dV V o x
y x x
D
[方法小结]若所求立体为柱体被其他曲面所截得，则只需确定其顶部曲面方程和底部曲面方程。

即得z 的积分区域。

而x,y 的积分区域则可根据顶部在xoy 面上的投影而定。

例10.利用三重积分计算下列曲面：球面)0(,2222>=++a az z y x 及
222z y x =+所围成的立体的体积。

[分析]所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在xoy 面上的投影区域为
x
[解] 用球面坐标，立体区域为⎪
⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕ
π
ϕπθcos 204020:a r
3
40333343
40cos 20
2
40
20
cos cos 3
16
cos sin 3820cos 23sin 2sin a d a d a d a r dr r d d dV V o a πϕϕπϕϕϕπϕ
ϕϕπϕϕθπ
ππ
ϕ
π
π
=-=====⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰Ω
[方法小结]若所求立体为球面、圆锥曲面等所围成，投影区域为圆域，则采用球面坐标计算更为方便。

例11．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方。

求该薄片的重心。

(y x ,)
O a x
[分析]由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，即22),(y x y x +=ρ。

由
对称性可知：重心（y x ,）满足：y x =。

套用重心公式，即可求得。

[解]
4
303
2
2200
06
1
])(31[)(),(a dx x a x ax dy
y x dx dy y x dx M a
x
a x
a a a =-+-=+==⎰⎰
⎰
⎰⎰--ρ
⎰⎰
⎰⎰-+==a
x
a D
y dy y x xdx xdxdy y x M 00
22)(),(ρ
5303215
1])(31[a dx x a x ax x a =-+-=⎰ 从而薄片的重心坐标为：a a a M M y x y 52
6
115145
====。

所以薄片的重心为
)5
2
,52(a a 。

[方法小结]求重心有固定的公式：⎰⎰⎰⎰==D
D
y
dxdy
dxdy x M M x ρρ，⎰⎰⎰⎰==D
D
x dxdy
dxdy
y M M
y ρρ
当面密度函数关于x,y 对称，而区域D 也为对称图形时，可得y x =，从而减 计算量。

例12．求位于两圆r = 2sinθ和r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心
[
轴, 重心（y x ,）必位于y 轴上, 所以0=x ,只需计算y .根据题设，用极坐标计算会比较方便。

[解] 不妨设密度为1，因为闭区域D 对称于y 轴，所以重心（y x ,）必位于y 轴上，于是0=x 。

再按公式⎰⎰⎰⎰==
D
D
x
dxdy
ydxdy
M
M y 计算y ，由于闭区域D 位于半径为1与半径为2的
两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。

再利用极坐标计算积分：πθθθθθ
θ
π7sin sin sin 4sin 220
2===⎰
⎰⎰⎰⎰⎰dr r d drd r ydxdy D
D
，所以
3
7
37==
==
⎰⎰⎰⎰ππD
D
x
dxdy
ydxdy
M
M y 。

所以重心为（37,0）。

[方法小结] 求重心有固定的公式：⎰⎰⎰⎰=
=
D
D
y dxdy
dxdy
x M
M x ρρ，
⎰⎰⎰⎰=
=D
D
x dxdy
dxdy
y M
M
y ρρ，如果物体为均匀薄片，可设密度为1，从而进一步简化计
算。

而题中薄片面积的计算也比较巧妙。

例13．求均匀半球体的重心。

[分析]为使物体关于坐标系具有对称性，可取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，这样半球体的重心就位于z 轴上，从而重心只需算一个坐标分量。

[解] 取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a ，则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式x 2+y 2+z 2≤a 2，z≥0来表示。

显然，重心在z 轴上，故0==y x 。

8
3sin cos 23sin cos 231
120200332
3a dr r d d a d drd r r a zdv V dv z M
z a =
=⋅===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
ΩΩ
ππ
ϕϕϕθπθϕϕϕπρ，
因此重心为)8
3,
0,0(a。

[方法小结] 求物体的重心,也可尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。

而该题中由于物体为半球体，因此用球面坐标计算三重积分会更为方便。

例14.在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上,问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少?
[分析]设半圆形薄片的半径为R ，所接矩形薄片的另一边长度为H （如下图）,根据题意,均匀薄片的重心（y x ,）满足：y x ==0。

从中可逆推出H 值。

[解] 设半圆形薄片的半径为R ，所接矩形薄片的另一边长度为H 。

由题意，均匀薄片的重心（y x ,）满足：0==y x 。

而)3
2
(232
2R H R ydy dx ydxdy M R
R
x R H
D
x -===⎰⎰
⎰⎰---ρρρ,又因
0==
M
M y x。

所以得
03223
=-R H R 。

从中解得R H 3
2
=。

所以接上去的均匀薄片另一边的长度为
R 3
2
时，其重心恰好落在圆心上。

[方法小结]对于本题，选择一个合理的坐标系有助于我们解题。

由于将圆心置于原点，从而使重心坐标（y x ,）满足：0==y x 。

从中可求得待定的边长。

例15．设有一半径为R 的球体，P 0是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P 0距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心位置。

[分析]恰当地选取坐标系可以简化计算，因此可选球心为原点，射线OP 0为正x 轴建立直角坐标系。

[解]记所考虑的球体为，以的球心为原点O ，射线OP 0为正x 轴建立直角坐
标系，则点P 0的坐标为（R ，0，0），球面的方程为，设的重心位置为，
由对称性，得，，而
，
ΩΩ2222R z y x =++Ω),,(z y x ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰Ω
Ω++-++-⋅=
dV z y R x k dV
z y R x k x x ])[(])
[(2
22222
0=y 0=z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
+++=++-dV R dV z y x dV z y R x 2
222222](])[(⎰⎰⎰=+⋅=2
05
52220
1532
34sin 8ππ
ππϕϕθR
R R dr r r d d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
-=++-dV x R dV z y R x x 2
2222])[(⎰⎰⎰Ω-=++-
=62
22158](32R dV z y x R π41532158
56R
R k k
R x -
=-
=ππ
所以的重心位置为。

[方法小结]本题也可将定点P 0设为原点，球心为，射线P 0为正z 轴建立直
角坐标系，则球面的方程为，采用如上方法可求的重心位置为（0，0，5R/4）。

例16．已知均匀半球体的半径为a ，在该球体的底圆的一旁拼接一个半径与球的半径相等，材料相同的均匀圆柱体，使圆柱体的底圆与半球的底圆重合，为了使拼接后的整个立体重心恰好是球心，问圆柱的高应为多少？
[分析]建立坐标系，使圆柱体与半球的底圆在XOY 面上，圆柱体的中心轴为z 轴。

这样立体关于坐标系具有对称性，由题意知重心恰好为原点，利用重心坐标计算公式可反解出圆柱的高。

[解]如图所示，设所求圆柱的高为H ，半球和圆柱体分别为21,ΩΩ，
x
由题意知重心恰好为原点，故0===z y x ，于是
)(1
1
12
1⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ
+===
zdv zdv V zdv V dv z M
z ρ 而
)2(4
sin cos 2
2
20
20
3
2
20
2
1
=-=
+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩa H a zdz
rdr d dr r d d zdv zdv H
a a
π
θϕϕϕθππππ
从
中解得a H 2
2
=。

[方法小结] 本题由于适当选取了坐标系，使重心坐标简化，而是否应用柱面坐标和球面坐标计算三重积分又是根据立体的特征而定。

Ω⎪
⎭⎫ ⎝⎛-0,0,4
R Q ~Q ~
Rz z y x 22
22=++
例17．设均匀薄片，面密度为1，薄片所占区域为：122
22≤+b
y a x ，求转动惯量
y I 。

y
[分析一]由于区域D 为椭圆，中心位于原点。

因此具有对称性。

所以求转动惯量时，只须求
4
1
区域D 上的转动惯量。

[解一] dx x a x a
b dy dx x dxdy x I a
a
x a a b D
y
22
200
2
2
442
2-===⎰⎰⎰
⎰⎰-
令2
,,0,0,cos ,sin π
θθθθθ=
=====a x x d a dx a x ，
⎰⎰⎰-===2
03
202322420)4cos 1(2
)2(sin cos sin 4π
ππθθθθθθθd b a d b a d a a b I y b a b a 334
02]44sin [2ππ
θθ=-=
[分析二]解法一中的变量替换是比较常见的。

考虑到区域D 是椭圆，可通过适当的变量替换，将椭圆区域化为圆，从而简化计算。

[解二] 令θ
θsin ,cos br y ar x ==，则在此变换下，D ：122
22≤+b
y a x 化为：
πθ20,10≤≤≤≤r 。

又
abr r y x =∂∂)
,()
,(θ。

所以
⎰⎰⎰⎰⎰⎰===π
θθθθ20
1
32
3
2222cos cos dr r d b a abrdrd r a dxdy x I D
y
b a 34
π
=
[方法小结]在遇到积分区域为对称图形时，常利用对称性来简化计算。

而根据积分形式或积分区域采用适当的变量替换往往可以提高计算效率。

对于特殊图
形,例如椭圆122
22=+b
y a x ,可令θθsin ,cos br y ar x ==,从而变换为圆
1=r 。

例18.求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数ρ）对于直线1-=y 的转动惯量。

[分析] 均匀薄片对于x 轴（其方程为0=y ）的转动惯量有公式
⎰⎰=D
x dxdy y I 2ρ，类似地，对于直线1-=y ，其转动惯量
⎰⎰+=-=D
y dxdy y I 21)1(ρ。

[解]
ρ
ρ
ρ
ρρ105
368
])1(8[31)
1(3)1()1(31
121
1
2
3
1
2
11
2
12=+-=+=
+=+=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰----=dx x dx
x
y dy y dx dxdy y I x
D
y
[方法小结]当遇到求物体关于非坐标轴的转动惯量时，可根据物体关于坐标轴的转动惯量公式作平行推广。

从而使重积分的应用更为广泛。

例19.求半径为a 的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯
量。

[分析]设薄片所占闭区域D 可表示为0,222≥≤+y a y x ，而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量x I 。

[解] 设薄片所占闭区域D 可表示为0,222≥≤+y a y x ，则所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量x I 。

2
40
3
2
2
324
1
2
41sin sin Ma a
dr r d drd r dxdy y I a
D
D
x =====⎰
⎰⎰⎰⎰⎰πρθθρθθρρπ
其中ρπ2
2
1a M =
为平面薄片的质量。

[方法小结]求物体关于某一条边的转动惯量,可将该边置于坐标轴上,尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。

例20．求高为h ，半顶角为4
π
，密度为μ的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯
量。

[分析]取对称轴为z 轴，圆锥体顶点为原点，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。

可直接套用公式。

[解] 取对称轴为z 轴，圆锥体顶点为原点，建立坐标系。

则所求转动惯量为
z I 。

50
2
20
2
2
10
)(h rdr r d dz dv y x I z
h
z πμ
θμμπ
=
⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω。

[方法小结] 取转动轴为坐标轴，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。

可直接套用公式。

而柱面坐标的运用可进一步简化计算。

例21. 求均匀柱体：h z R y x ≤≤≤+0,222对于点M （0,0,a ）(a>h)处的单位质量的质点的引力。

[分析]根据柱体的对称性，及3
3
,r ydv
G
r xdv
G ρρ分别是x,y 的奇函数,易知y
x F F ,均为零。

因此只需计算z F 。

[解] 由柱体的对称性，及3
3
,r ydv
G
r xdv
G
ρρ分别是x,y 的奇函数,易知
0,=y x F F 。

而 dv a z y x a
z G dv r a z G F z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ
-++-=-=32223)
)((ρρ
⎰⎰⎰
≤+-++-=h
R y x a z y x dxdy
dz
a z G 0
3
2
2
2
2
22)
)(()(ρ
]
)([2))(()(22220
3
2220
a h R h a R G a z r rdr d dz a z G h R
-+--+=-+-=⎰⎰
⎰ρπθρπ
[方法小结]从上题中可以看出，匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利用其对称性，及被积函数的奇偶性来简化计算。

当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。

例22．在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片，占有平面区域：
0,222≥≤+y R y x ，的，过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，，求半圆形薄片对质点P 的引力。

[分析]根据引力计算公式，首先需求出匀质半圆形薄片的密度。

由 区 域 D 的 对 称 性 知,0=x F z y F F ,的计算可套用公式。

[解]由 已 知，令为 面 密 度 ，薄 片 面 积22
1
R S π=， 薄 片 质 量
，
a OP =ρM S =ρ
建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D 的 对 称 性 知
其 中
])([2))(()(22220
3
2220
a h R h a R G a z r rdr d dz a z G h R
-+--+=-+-=⎰⎰
⎰ρπθρπ
[方法小结]从上题中可以看出，匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可
利用其对称性来简化计算。

当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。

∴=
ρπ22M R F x =0()
⎰⎰
++=D
y a
y x
yd Gm F 2
3
2
22
σ
ρ()⎰⎰+-=R dr a r r d R Gm M 023222
02sin 2πθθπ()
R
a r r a r r R GmM 022222ln 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=π=++-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪422222GmM R R R a a R
R a πln ()
⎰⎰++σ
ρ-=D
2
3
22
2
z a
y x
d Gma F ()⎰⎰+-
=R a r rdr d R GmMa 02
322022πθ
π()
()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++•-=⎰1a R a
R GmM 2a r a r d 21R GmM 2222R 02322222{}
z
y x F ,F ,F F =∴→
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-
++π==22222y x a R R a a R R ln R GmM 4F ,
0F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=
1a R a
R GmM 2F 222z
2
22
四、考研试题分析 例23.(1989年高数一)
设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部分面积最大?
[答案]a R 3
4=
. [分析] 球面∑在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。

欲求空间曲面面积，必须建立曲面方程0),,(=z y x F ，并且明确曲面在坐标面上的投影区域。

球面∑在定球面内部的那部分可视为球面∑与定球面相交而成，因此明确所求曲面在xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面∑与定球面的交线。

[解答] 设球面∑方程为：.)(2222R a z y x =-++两球面的交线在xoy 面上的投
影为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0
)4(422222
2z R a a
R y x 设投影曲线所围平面区域为xy D ，球面∑在定球面内部的那部分方程为：
222y x R a z ---=，这部分的面积为
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
--=--=
++=
22420
2
2
20
2
2
2
221)(R a a R
D D y
x dr r
R rR d dxdy y
x R R dxdy z z R S xy
xy
π
θ
)20(,23
2
a R a
R R <<-
=ππ
a
R
R S a R R R S ππππ64)(,34)(2-=''-='。

令034)(2=-
='a
R R R S ππ，得驻点a R 34=，又因为,04)34
(<-=''πa S 所以当a R 3
4
=
时，球面∑在定球面内部的那部分面积最大。

例24.(2000年高数一)
设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。

[答案] 重心为)4
,0,0(R。

[分析]为了便于计算，首先需建立一个合适的坐标系。

为此可将球心定为原点，而令),0,0(0R p -=。

利用球体的对称性，立即可得到0==y x 。

从而只需算z 。

而z 的计算也可以借助于对称性得以简化。

[解答] 将球心定为原点，而令),0,0(0R p -=。

则球面方程为
2222R z y x =++。

密度函数为])([222R z y x k +++=ρ。

利用球体的对称性，得到0==y x 。

而
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
++++++⋅=
dv
R z y x
k dv
R z y x
k z z ])([])([2
2
2
222
，利用球体Ω的对称性，当被积函数为
奇函数时，积分为零，故式中：
5
2
22222215
32)()([R dv R dv z y x dv R z y x π=+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
， 62
22215
8
2)([R dv z R dv R z y x z π==+++⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω。

故⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++++++⋅=dv R z y x
k dv
R z y x k z z ])([])([222222=4
R 。

所以重心为)4,0,0(R 。

例25.(2005年高数一)
设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz 。

[答案]3)2
21(2R -π [分析]本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.
[解答]⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ω
dxdydz 3 =.)221(2sin 33200402R d d d R ⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ。