九年级数学上册期末试卷达标检测卷(Word版 含解析)

九年级数学上册期末试卷达标检测卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，△ABC 的顶点在网格的格点上，则tanA 的值为（ ）
A ．
12
B ．
10 C ．
3 D ．
10 2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（ ） A ．⊙O 上
B ．⊙O 外
C ．⊙O 内
3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．50° 4．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）
A ．5d <
B ．5d >
C ．5d =
D ．5d ≤
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）
A ．70°
B ．65°
C ．55°
D ．45°
6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1
7．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．
A ．三条边垂直平分线
B ．三条中线
C ．三条角平分线
D ．三条高
8．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ） A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
23
9．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >> B ．312y y y >= C ．123y y y >> D ．123y y y => 10．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 11．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A ．(2，3)
B ．(﹣2，3)
C ．(2，﹣3)
D ．(﹣2，﹣3)
12．如图，AB 为
O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长
BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )
A ．54
B ．36
C ．32
D ．27
二、填空题
13．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________．
14．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
15．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．
16．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是
2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.
17．设x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1•x 2＝________． 18．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若
P 的半径为1，则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.
19．数据8，8，10，6，7的众数是__________． 20．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半
径是______.
21．已知关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．
22．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____．
23．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式
21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m
24．若二次函数2
4y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________
三、解答题
25．如图1，AB 、CD 是圆O 的两条弦，交点为P .连接AD 、BC ．OM ⊥ AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N.连接PM 、PN.
图1 图2 （1）求证：△ADP ∽△CBP ；
（2）当AB ⊥CD 时，探究∠PMO 与∠PNO 的数量关系，并说明理由； （3）当AB ⊥CD 时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON 的面积. 26．从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率．
27．已知：如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3交x 轴于点A 、B ，其中点A 在点B 的左边，交y 轴于点C ，点P 为抛物线上位于x 轴上方的一点．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）若△PAB 的面积为4，求点P 的坐标．
28．⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC ；
（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ．
29．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动． （1）求线段AD 的长；
（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由；
（3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．
30．解方程：（1）3x 2－6x －2＝0； （2）(x －2)2＝(2x ＋1)2．
31．如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm ，面积是242cm ，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？
32．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A B 、点重合)，分别以AC BC 、为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．
(1)求证: DB AE ； (2)求证: //MN AB ；
(3)若AB 的长为12cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段
MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据勾股定理，可得BD 、AD 的长，根据正切为对边比邻边，可得答案． 【详解】
解：如图作CD ⊥AB 于D, 22,
tanA=
21
2
22
CD
AD
==,
故选A.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.
【详解】
解：∵以AB为直径作⊙O，
当点C在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质
∴点C在圆外．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=
AC BC，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【详解】
∵BC的度数为50°，
∴∠BOC=50°，
∵半径OC⊥AB，
∴=
AC BC，
∴∠ADC=1
2
∠BOC=25°．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】
解：∵直线l与半径为5的O相离，
∴圆心O与直线l的距离d满足：5
d .
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交. 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵OA=OB，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=1
2
∠O=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】
解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据概率公式直接计算即可．
【详解】
解：在这6张卡片中，偶数有4张，
所以抽到偶数的概率是46＝23
， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据极差的概念最大值减去最小值即可求解． 【详解】
解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4． 故选A ． 【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标. 【详解】
解：y ＝（x ﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=h ，难度不大.
12．D
解析：D 【解析】
【分析】
由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠ 【详解】
切线性质得到90BAO ∠= 903654AOB ∴∠=-= OD OA =
OAD ODA ∠=∠∴
AOB OAD ODA ∠=∠+∠
27ADC ADO ∴∠=∠=
故选D 【点睛】
本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
二、填空题 13．5 【解析】 【分析】
根据根与系数的关系求出，代入即可求解． 【详解】 ∵是方程的两根 ∴=-=4，==1 ∴===4+1=5， 故答案为：5． 【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是
解析：5 【解析】 【分析】
根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解． 【详解】
∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根 ∴12x x +=-
b a =4，12x x ⋅=
c a
=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5， 故答案为：5．
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-
b a ，12x x ⋅=c
a
的运用． 14．14 【解析】 【分析】
先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】
解：x2﹣6x+8＝0， (x ﹣2)(x ﹣4)＝0， x ﹣2＝0，x ﹣4＝0
解析：14 【解析】 【分析】
先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】 解：x 2﹣6x+8＝0， (x ﹣2)(x ﹣4)＝0， x ﹣2＝0，x ﹣4＝0， x 1＝2，x 2＝4，
当x ＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x ＝2舍去， 当x ＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13， 故答案为：13． 【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．
15．6 【解析】 【分析】
取AB 的中点E ，连接OE ，DE ，OD ，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE ，再根据O ，E ，D 在同一直线上时，DE 的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC 的最小值等于6．
解析：6 【解析】
取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．
【详解】
解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，
由题可得，D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵点D坐标为(4，3)，
∴OD22
34
5，
∵Rt△ABO中，OE＝1
2AB＝
1
2
×4＝2，
∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，
∴BC的最小值等于6，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．
16．200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：
所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用
解析：200
【解析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可. 【详解】
解：()
()2
2
2
200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+
所以当t=20时，该函数有最大值200. 故答案为200. 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
17．2 【解析】 【分析】
先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论． 【详解】
解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x －5＝0的两个根， 根据根与系数的关系，得，x1+x2=
解析：2 【解析】 【分析】
先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论． 【详解】
解：∵x 1，x 2是关于 x 的方程x 2＋3x －5＝0的两个根， 根据根与系数的关系，得，x 1+x 2=-3，x 1x 2=-5， 则 x 1+x 2-x 1x 2=-3-（-5）=2， 故答案为2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x 1+x 2=-3，x 1x 2=-5是解题的关键．
18．24 【解析】 【分析】
根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM ，根
解析：24 【解析】 【分析】
根据题意做图，圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交
AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根据Rt △AMH 中利用勾股定理求出x 的值，作EK ⊥BC 于K 点，利用
△BEK ∽△BHC ，求出BK 的长，即可求出EF 的长，再根据△EFG ∽△BCA 求出FG ，即可求出△EFG 的面积. 【详解】
如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG ，连接BE ，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ． ∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =， ∴AB=2212915+=
根据圆的性质可知BH 平分∠ABC
∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9, ∴AM=15-9=6
在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2 即AH 2=HM 2+AM 2 （12-x ）2=x 2+62 解得x=4.5 ∵EK ∥AC ， ∴△BEK ∽△BHC ，
∴
EK BK HC BC =，即14.59BK
= ∴BK=2，
∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6， ∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ，
∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ， ∴△EFG ∽△ACB ，
故
EF FG BC AC =,即6912FG
= 解得FG=8
∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=1
2
×8×6=24, 故答案为24.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.
19．8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8 故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解
解析：8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．
20．3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA
解析：3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
21．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围. ，，方程有两个不相等的实数
k<
解析：3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.
a，23
1
=方程有两个不相等的实数根，
b=-，c k
241240
∴∆=-=->，
b a
c k
∴<.
k
3
k<．
故答案为：3
【点睛】
本题考查了根的判别式．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
22．4π
【解析】 【分析】
直接利用弧长公式计算即可求解． 【详解】 l ＝＝4π， 故答案为：4π． 【点睛】
本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝（n 是弧所对应的圆心角度数）
解析：4π 【解析】 【分析】
直接利用弧长公式计算即可求解． 【详解】 l ＝
6012
180
π⨯＝4π， 故答案为：4π． 【点睛】
本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝
180
n r
π（n 是弧所对应的圆心角度数） 23．56 【解析】 【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：∵ = =， ∵，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ． 故
解析：56 【解析】 【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】
解：∵21220h t t =-++ =2(23636)120t t -+-+- =2(6)56t --+， ∵10a =-<， ∴抛物线开口向下，
当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ． 故答案为：56． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．
24．【解析】 【分析】
当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图 解析：18b -<<
【解析】 【分析】
当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解． 【详解】
解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，
当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ， 当直线处于直线n 的位置时，此时直线n 过点B （4，0）与新图象有三个交点， 当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点， 当直线处于直线m 的位置：
联立y=-2x+b 与y=x 2-4x 并整理：x 2-2x-b=0， 则△=4+4b=0，解得：b=-1；
当直线过点B 时，将点B 的坐标代入直线表达式得：0=-8+b ，解得：b=8， 故-1＜b ＜8；
故答案为：-1＜b＜8．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A、B两个临界点，进而求解．
三、解答题
25．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON=63
【解析】
【分析】
（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.
【详解】
（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.
（2）∠PMO=∠PNO
因为OM⊥ AD，ON⊥BC，
所以点M、N为AB、CD的中点，
又AB⊥CD，
所以PM=1
2
AD,PN=
1
2
BC，
所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，
所以∠AMP=∠CNP,得到∠PMO与∠PNO. （3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.
因为AB⊥CD，AM=1
2
AD,CN=
1
2
BC，
所以PM=1
2
AD,PN=
1
2
BC.
由三角形中位线性质得，ON=1
BQ 2
.
因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，则∠Q+∠QCB=90°，
由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q ， 所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD ， 所以PM=ON.
同理可得，PN=OM.所以四边形MONP 为平行四边形.
S 平行四边形 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP 为平行四边形是求解（3）的关键. 26．表见解析，13
【解析】 【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【详解】 解：列表如下：
∴该点在第二象限的概率为412＝13
． 【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键.
27．（1）A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）；（2）P 点坐标为（1，2），
（，2） 【解析】 【分析】
（1）当0y =时，可求点A ，点B 坐标，当0x =，可求点C 坐标；
（2）设点P 的纵坐标为y ，利用三角形面积公式可求得2y ＝，代入y =﹣x 2+2x +3即可求得点P 的横坐标，从而求得答案. 【详解】
（1）对于抛物线y =﹣x 2+2x +3，
令y=0，得到﹣x 2+2x +3=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=3，
则A （﹣1，0），B （3，0），
令0x =，得到y =﹣x 2+2x +3=3，
则C 点坐标为（0，3）；
故答案为：A （﹣1，0），B （3，0），（0，3）；
（2）设点P 的纵坐标为y ，
∵点P 为抛物线上位于x 轴上方，
∴0y >，
∵△PAB 的面积为4，
∴
()13142
y ⨯+⨯=， 解得：2y =， ∵点P 为抛物线上的点，
将2y =代入y =﹣x 2+2x +3得：﹣x 2+2x +3=2，
整理得x 2﹣2x ﹣1=0，
解得：x 1=1﹣2，x 2=1+2，
∴P 点坐标为：（1﹣2，2），（1+2，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键．
28．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）过点C 作直径CD ，由于AC=BC ，弧AC=弧BC ，根据垂径定理的推理得CD 垂直平分AB ，所以CD 将△ABC 分成面积相等的两部分；
（2）连结PO 并延长交BC 于E ，过点A 、E 作弦AD ，由于直线l 与⊙O 相切于点P ，根据切线的性质得OP ⊥l ，而l ∥BC ，则PE ⊥BC ，根据垂径定理得BE=CE ，所以弦AE 将△ABC 分成面积相等的两部分．
试题解析：（1）如图1，直径CD 为所求；
（2）如图2，弦AD 为所求．
考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．
29．（1）5；（2）PQ ∥A D ''，理由见解析；（35
【解析】 【分析】 （1）求出AE ＝5，证明△ABE ∽△DEA ，由AD AE AE BE
=可求出AD 的长； （2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，证明△PEF ∽△QEC ，再证△EPQ ∽△A'ED'，可得出∠EPQ ＝∠EA'D'，则结论得证；
（3）由（2）知PQ ∥A ′D ′，取A ′D ′的中点N ，可得出∠PEM 为定值，则点M 的运动路径为线段，即从AD 的中点到DE 的中点，由中位线定理可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AB ＝2，BE ＝1，∠B ＝90°，
∴AE ＝22AB BE +＝2221+＝5，
∵∠AED ＝90°，
∴∠EAD+∠ADE ＝90°，
∵矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，
∴∠BAE+∠EAD ＝90°，
∴∠BAE ＝∠ADE ，
∴△ABE ∽△DEA ，
∴AD AE AE BE
=， ∴515
=， ∴AD ＝5；
（2）PQ ∥A ′D ′，理由如下：
∵5,
5AD AE ==，∠AED ＝90° ∴22DE DA AE =-＝225(5)-＝25，
∵AD ＝BC ＝5，
∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣1＝4，
过点E 作EF ⊥AD 于点F ，
则∠FEC ＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED ＝90°，
∴∠PEF ＝∠CEQ ，
∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，
∴
21
42 EP EF
EQ EC
===，
∵
51
2
25
EA EA
ED ED
'
'
===，
∴EP EA EQ ED
'
'
=，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N，
由（2）知PQ∥A′D′，
∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
∴PM＝ME，
∴∠EPQ＝∠PEM，
∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，
又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，
∴△PEF∽△EMN，
∴NM EM
EF PE
=＝
PQ
2PE
为定值，
又∵EF＝AB＝2，
∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，
∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝1
AE
2
＝
5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
30．（1）x1＝115
x2＝1
15
2）x1＝
1
3
，x2＝－3
【解析】
【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）解：x 2－2x ＝
23 x 2－2x ＋1＝
23＋1 (x －1)2＝
53
x －1＝±3
∴x 1＝1＋
3，x 2＝1－3 （2）解：[ (x －2)＋(2x ＋1)] [ (x －2)－(2x ＋1)]＝0
(3x －1) (－x －3)＝0
∴x 1＝
13
，x 2＝－3 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键．
31．一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．
【解析】
【分析】
可设较短的直角边为未知数x ，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．
【详解】
解：设一条直角边的长为xcm ，则另一条直角边的长为（x+2）cm ．
根据题意列方程，得
1(2)242
x x •+=． 解方程，得：x 1=6，x 2=8-（不合题意，舍去）．
∴一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半．
32．(1)见解析；(2) 见解析；(3) 存在,请确定C 点的位置见解析，MN=3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△DCB ≌△ACE 即可得出结论；
（2）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论；
（3）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，
∴AC=CD ，CE=BC ，
∴∠ACE=∠BCD ，
在△ACE 与△DCB 中，
AC CD ACE BCD CE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴DB=AE ；
（2）∵△ACE ≌△DCB ，
∴∠CAE=∠BDC ，
在△ACM 与△DCN 中，
CAE BDC AC CD
ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ACM ≌△DCN ，
∴CM=CN ，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN 是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN ∥AB ；
（3）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ，
∵MN ∥AB ， ∴
MN EN AC EC =， 即1212y x y x x
--=-， ()2211631212y x x x =-
+=--+， 当x=6时，y max =3cm ，
即点C 在点A 右侧6cm 处，且MN=3．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质和二次函数问题，能够将所学知识联系起来，从而熟练求解．。