山东省临沂市苍山第一中学2020年高三数学理联考试题含解析

山东省临沂市苍山第一中学2020年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 曲线在点处的切线方程为（）
A．B． C. D．
参考答案：
A
2. 在△ABC中，分别是三内角的对边, ,,则此三角形的最小边长为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
3. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，
，则球O的表面积为（）
A．16πB．12πC．8πD．4π
参考答案：
A
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，
∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC==，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，
∴球O的半径R==2，
∴球O的表面积S=4πR2=16π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．
4. 已知实数a,b,c,d成等比数列，且对函数，当x=b时取到极大值c，则ad等于
（）
A．B．0 C．1 D．2
参考答案：
A
略
5. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线
y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
参考答案：
A
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意，A（﹣， c），代入双曲线方程，可得﹣=1，由此可得双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，A（﹣， c），代入双曲线方程，可得﹣=1，
整理可得e4﹣8e2+4=0，∵e＞1，∴e=+1，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）
A．15 B．29 C．31 D．63
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=31时不满足条件S＜20，退出循环，输出S的值为31．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=0，S=0
满足条件S＜20，执行循环体，S=1，k=1
满足条件S＜20，执行循环体，S=1+2=3，k=2
满足条件S＜20，执行循环体，S=3+4=7，k=3
满足条件S＜20，执行循环体，S=7+8=15，k=4
满足条件S＜20，执行循环体，S=15+16=31，k=5
不满足条件S＜20，退出循环，输出S的值为31．
故选：C．7. 执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）
A．15 B．14 C．7 D．6
参考答案：
A
【考点】程序框图．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
是否继续循环 S n
循环前/0 1
第一圈是 1 2
第二圈是 3 3
第三圈是 7 4
第四圈是 15 5
第五圈是 31 6
第六圈否
故S=15时，满足条件S＜p
S=31时，不满足条件S＜p
故p的最大值15．
故选A．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8. 函数在上的图象大致是
参考答案：
.
定义域关于原点对称，因为，所以函数为定义域内的奇函数，可排除，；因为，
，可排除.故选.
【解题探究】本题考查函数图象的识别. 求解这类问题一般先研究函数的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破．
9. 且是的（）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
10. 若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则的取值范围是
（）
A．B．C．D．R
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数
的取值范围是▲．参考答案：
圆心为
，半径
，
设两个切点分别为A 、B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有
，
圆心O 到直线
的距离
，
即， 即
，解得
或
.
故答案为：.
12. 根据表格中的数据，可以判定函数
有一个零点所在的区间为
，则
的值为******．
1
2
3 4 5
3
13. 已知集合，，则M∩N 等于 ．
参考答案：
14. 四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 ．
参考答案：
【考点】LR ：球内接多面体．
【分析】由球的球心在四棱锥P ﹣ABCD 的高上，把空间问题平面化，作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识即可求出高
【解答】解：由题意，四棱锥P ﹣ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上； 过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示： 其中PE ，PF 是斜高，A 为球面与侧面的切点， 设PH=h ，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF ?
∴
，解得h=，
故答案为：
15. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 ．
参考答案：
47
由已知，高二年级人数为
，采用分层抽样的方法
，则抽取高二的人数
为 .
16. 已知则= .
参考答案：
略
17. 函数的极值点为______
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数．
(I)当时，解不等式；
(Ⅱ)若存在，使得成立，求m的取值范围．
参考答案：
19. 设函数f（x）=lnx﹣﹣bx
（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；压轴题．
分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，知
导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．
（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．
解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣x﹣=．
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．
（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]
当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴，
设g（x）=，则g′（x）=．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，
g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，
所以m=1+，或1≤m＜1+．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．
20. （12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值．
参考答案：
【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．
【分析】：（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：=，化为2sinCcosA=sin （A+B）=sinC，即可得出；
（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．
解：（1）由正弦定理余弦定理得=，
∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，
∴，
∵A∈（0，π），
∴．
（2）由sinC=2sinB，得c=2b，
由条件a=3，，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=3b2，
解得．
【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求B；
（II）若a+c=5，△ABC的面积为，求b．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得，
（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得==，
∴b2﹣c2=a2﹣ac，
∴a2+c2﹣b2=ac，
由余弦定理，得cosB==，
∵B∈（0，π），
∴B=，
（Ⅱ）∵△ABC的面积为，
∴S△ABC=acsinB=ac=，
∴ac=6，
由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）=25﹣2×6×=7，
∴b=．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1: （为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线l的倾斜角（）
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与x轴的交点为M，与曲线C1的交点分别为A，B，求的值.
参考答案：
（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，
；
解法2：相交弦定理。